27.3.8 位似1-2025-2026学年九年级下册数学同步辅导（人教版2012）

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27.3位 似 第8课时卜位似（一） 基础巩固 1.下列关于位似中心的说法正确的有( 4.图27一8一2中两个四边形是位似图形，它们 ①位似中心都在图形外部；②位似中心可以 的位似中心是( 取在图形内部；③位似中心可以取在图形的 A.点M B.点NC.点O D.点P 一边上；④位似中心可以取在图形的一个顶 点上 A.1个B.2个 C.3个 D.4个 2.如图27-8一1，正五边形FGHMN是由正五 图27-8-2 边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB: 5.如图27-8-3，把四边形ABCD进行如下 FG=2:3,则下列结论正确的是() 作图： ①连接OA,并延长OA到A',使AA'=OA; ②连接OB,并延长OB到B',使BB'=OB; ③连接OC,并延长OC到C',使CC=OC: ④连接OD,并延长OD到D',使DD=OD. 图27-8-1 求位似中心和相似比 A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F 3.下列各图中，位似中心是图形上的某一点的 是( 图27一8一3 能力提升 1.如图27-8-4，△ABC与△DEF是位似图 5.图形上某一对对应点到位似中心的距离分 形，相似比为号，已知AB=4,则DE的长等 别为5cm和10cm,则它们的相似比为 于( ) 6.如图27一8一7，五边形ABCDE与五边形 A'B'CD'E是位似图形，且相似比为2.若五 边形ABCDE的面积为17cm,周长为 图27-8-4 20cm,那么五边形A'B'C'D'E'的面积为 A.6 B.5 C.9 D含 ,周长为 2.如图27-8-5，已知△EFH和△MNK是位 似图形，那么其位似中心是点() A.D B.G C.P D.Q 图27-8-7 图27-8-8 NT 7.圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆 洞)正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线 图27-8-5 照射到平行于地面的桌面后，在地面上形成 3.已知△ABC和△A'B'C是位似图形，△A'B'C 如图27一8一8所示的圆环形阴影.已知桌面 的面积为6cm,周长是△ABC的一半，AB= 直径为1.2m,桌面距离地面1m,若灯泡距 8cm,则AB边上的高等于() 离地面3m,则地面上圆环形阴影的面积是 A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm m2. 4.如图27一8-6①，正方形ABCD绕中心O逆 8.如图27一8一9，判断各组图形哪些是位似图 时针旋转45°得到正方形A'BC'D',现将整 形，并找出位似图形的位似中心 个图形的外围以O为位似中心缩小为原来的 2如图27一8一6@所示，若整个图形的外周 (1) (3) 周长为16，则图中阴影部分的面积为( 图27-8-9 图27-8-6 A.2+√2 B.4+2√2 C.6+3√2 D.8+4√2 9.如图27一8一10，某小区内有一矩形花坛 精彩-题 ABCD,现对该小区进行规划，按要求作出相 如图27一8-12，正三角形ABC的边长为3十√3. 应的位似图形. (1)如图27一8一12①，正方形EFPN的顶点 (1)在原地将花坛扩建，使各边的对应边为原 E、F在边AB上，顶点N在边AC上.在正 来的3倍； 三角形ABC及其内部，以A为位似中心， (2)在异地修建一块矩形草坪，使它与花坛的 作正方形EFPN的位似正方形E'FP'N', 对应边的比为4：1. 且使正方形EF'P'N'的面积最大（不要求 D 写作法)； (2)求(1)中作出的正方形EF'P'N'的边长； 图27-8-10 (3)如图27-8-12②，在正三角形ABC中放 入正方形DEMN和正方形EFPH,使得 DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、 CA上，求这两个正方形面积和的最大值及 最小值，并说明理由。 10.如图27-8-11，点F在BD上，BC、AD相 交于点E,且AB∥CD∥EF 图27一8-12 (1)图中有哪几对位似三角形，选其中一对 加以证明； (2)若AB=2,CD=3,求EF的长. 图27-8-118.解：(1)设DE=xcm,则AD=(8-x)cm, 根据题意，得2(8一x+8)×3×3=3X3X6, 解得x=4,.∴.DE=4cm (2).'∠E=90°，DE=4cm,CE=3cm, .根据勾股定理得 CD=√DE+CE2=/42+32=5(cm), 由题意得∠BCE=∠DCF=90°， ∴.∠DCE+∠DCB=∠BCF+∠DCB, .∠DCE=∠BCF 由题意得∠DEC=∠BFC=90°， △CDEn△CBP,÷器-器 CF=24 cm. 5 故水面高度CF是cm 精彩一题 (1)180cm 解：(2)设横向影子A'B的长度为xcm, 根据超意得即。18的s。0。 解得x=6, .横向影子A'B,D'C的长度和为12cm. (3).AD∥AD', ∴.∠PAD=∠PA'D',∠PDA=∠PD'A'. .△PAD∽△PA'D' 根据相似三角形对应高的比等于相似比， 可得品别 设灯泡离地面距离为ycm,由题意， 得PM=ycm, PN=(y-a)cm,AD=na cm, A'D'=(na+b)cm, 6n+a. 27.3位似 第8课时位似（一） 【基础巩固】 1.C点拨：位似中心是位似图形的对应点连 线的交点，而这个交点可在位似图形之间、 外部、内部及某一个图形上 2.B3.B4.D 5.解：点O为位似中心，四边形A'B'C'D'与 四边形ABCD的相似比为2. 【能力提升】 1.A2.B3.B4.C 5. 7 6.4 cm210cm7.0.72π 8.解：图(1)(3)是位似图形，其位似中心分别 为答图27一8-1中的O、P两点. 答图27-8-1 点拨：判断位似图形，要通过连接相似图形 对应点的连线来确定是否存在位似中心， 只靠直觉观察有时不容易准确判断 9.解：(1)取矩形ABCD的对角线的交点O 为位似中心， ①作射线OA,OB,OC,OD; ②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点E, 5.G,H,位得股8那8瓷8器-3 ③连接EF,FG,GH,HE,则四边形EFGH 即为所求作的图形，如答图27一8一2①所 示.（答案不唯一） 0 ② 答图27-8-2 (2)在矩形ABCD外取一点O为位似中心， ①作射线OA,OB,OC,OD; ②分别在射线OA,OB,OC,OD上取点 “,,心，H,使有器-g品-8g形 OH' =4; O'D ③连接EF',FG,GH',H'E',则四边形 EF'G'H'即为所求作的矩形草坪，如答图 27一8一2②所示.（答案不唯一） 10.解：(1)△DFE与△DBA,△BFE与△BDC, △AEB与△DEC都是位似图形. 理由如下： .AB∥CD∥EF, ∴.△DFE△DBA,△BFE△BDC, △AEB∽△DEC,且对应边都交于一点， ∴.△DFE与△DBA,△BFE与△BDC, △AEB与△DEC都是位似图形： (2).'△BFE∽△BDC,△AEBP△DEC, AB=2,CD=3, 提器器器 - 精彩一题 解：(1)如答图27一8-3①，正方形EFP'N 即为所求 答图27一8一3 (2)设正方形EF'P'N'的边长为x. ,△ABC为正三角形，∴.AN′=2AE. 又：AN-AE=x2,AE'=3x 3. 3.x+28 同理，BF=3,· x=3+, x=9+3 25+3 即x=3√5-3. (3)如答图27-8一3②， 连接NE、EP、PN,则∠NEP=90°. 设正方形DEMN、正方形EFPH的边长 分别为m、n(m≥n),它们的面积和为S, 则NE=√2n,PE=√2n. .∴.PN2=NE2+PE=2m2+2n2=2(m2+ n2). iS-w+r-ZPN. 延长PH交ND于点G,则PG⊥ND, 在Rt△PGN中， PN2=PG2+GN2=(m+n)2+(m-n)2. : 3m十n+n+ 3n=3+3,∴m十n=3. （i)当(m-n)2=0,即m=n时，S最小， S小=号×3=号： (i)当(m一n)2最大时，S最大. 即当m最大且n最小时，S最大. :m十n=3,由(2)知，m最大=3√3-3， .n最小=3一m最大=3一(3√3-3)=6 3√5. “S张天=)[9十(m数大一n绿小)2门 =2[9+(35-3-6+33)门 =99-54√3.