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第4讲 平行线的性质 内容导航 题型1 利用平行线的性质求角度 1 题型2 平行线与直角三角板问题 2 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 3 题型4 补全推理过程 4 题型5 平行线之间的拐点问题 6 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 8 题型7 平行线判定和性质的综合运用 9 综合练习 10 中考真题再现 16 题型1 利用平行线的性质求角度 【典例】如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，，，平分，则的度数为_______． 【变式练习2】如图，已知，直线分别与、相交于点、，，求的度数． 【变式练习3】如图所示，已知，平分，，．求的度数． 题型2 平行线与直角三角板问题 【典例】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为____________． 【变式练习2】数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【变式练习3】实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 【典例】如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为___________． 题型4 补全推理过程 【典例】如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴　　　　． 【变式练习1】如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 【变式练习2】看图填空： 已知：如图，为上的点，为上的点，，．求证：． 证明： （____________） ，（___________） （____________） ____________ （____________） 又（____________） ∴____________ （____________） 【变式练习3】已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 题型5 平行线之间的拐点问题 【典例】如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【变式练习3】如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 【变式练习4】（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【变式练习3】如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 题型7 平行线判定和性质的综合运用 【典例】如图，，平分，平分交于点H，，下列结论：①；②平分；③，其中正确的有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【变式练习1】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【变式练习2】如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【变式练习3】如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 综合练习 一、选择题 1．如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 4．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 6．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 7．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 9．如图，，若，则_____． 10．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 11．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 12．如图， ，则 _______________． 13．如图，，则________． 14．某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 15．如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 三、解答题 16．如图，已知于点D，于点F，与互补． (1)试判断是否平行．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：，理由如下： ∵，（已知） ∴______（__________________） ∴（__________________） ∵与互补（已知） ∴（__________________） ∴______（__________________） ∴（__________________） (2)若，平分，求的度数． 17．如图所示，平分，，，求，，的度数． 18．如图，点B，C在直线上，，平分，．求的大小． 19．（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 20．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 21．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 22．如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 中考真题再现 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4讲 平行线的性质 内容导航 题型1 利用平行线的性质求角度 1 题型2 平行线与直角三角板问题 3 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 8 题型4 补全推理过程 10 题型5 平行线之间的拐点问题 14 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 20 题型7 平行线判定和性质的综合运用 23 综合练习 27 中考真题再现 50 题型1 利用平行线的性质求角度 【典例】如图，已知，点在上，点在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角以及平行线的性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式练习1】如图，，，平分，则的度数为_______． 【答案】70 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴． 【变式练习2】如图，已知，直线分别与、相交于点、，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角等知识点，掌握两直线平行、同位角相等是解题的关键． 由平行线的性质可得，再根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式练习3】如图所示，已知，平分，，．求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质和角平分线的定义，根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据垂直的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ， 题型2 平行线与直角三角板问题 【典例】一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线平行，同位角相等，计算即可得出结果． 【详解】解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线， ， ∵直尺的两边互相平行， ∴，， ∵， ∴． 【变式练习1】如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【变式练习2】数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线，，再将三角板放在黑板上，与直线相交于点，改变三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点在直线上，，求的度数； (2)如图2，若点在直线，之间，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查余角的性质、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）设三角板与直线b的交点为N，根据平行线的性质得到，进而得到，据此求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据，得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N，如图： ； （2）证明：过点B作，如图： 、 、 ． 【变式练习3】实践探究 (1)如图1，把一副三角板按照图1紧贴放置，图1中的度数为__________； (2)如图2，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若，求与的度数； (3)如图2，在（2）放置中，把其中等腰直角三角板的直角顶点放置在另一三角板的直角边上，若两三角板的斜边，求与的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）结合三角板各个角的度数，运用角的和差求解即可； （2）由得到，结合即可求解； （3）过点F作，则，得到，，根据角的和差即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， 即． 故答案为：． （2）解：根据题意，得， ∴， ∵， ∴，． （3）解：根据题意，得，，． 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 【典例】如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等，故无法确定， ∴不一定成立， 故选：． 【变式练习1】如图所示，长方形纸带，将纸带沿折叠成图2，再沿折叠成图3，则图3中的的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】长方形纸带隐含的条件，通过平行得到和的度数，再通过折叠前后，角的度数不变，得到折叠后对应角的度数，计算即可． 【详解】解：由题意，得， ∴，， ∴，， 图2中，由折叠，可知， ∴， 图3中，由折叠，可知， ∴， 故选：A． 【变式练习2】如图，点E，F分别在长方形纸片的边，上，分别沿，将，折叠得到，，其中，点恰好落在边上．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，角的和差．由折叠可得，，由长方形得到，，因此，再由平行线的性质得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：由折叠可得，， ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【变式练习3】如图：按虚线剪去长方形纸片的相邻两个角，并使，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是正确添加平行线． 设长方形右上角为，右下角为点，过点向左作，则，求得，即，再代入数据求解即可． 【详解】解：设长方形右上角为，右下角为点，如图， 过点向左作， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， 又， ． 故答案为：． 题型4 补全推理过程 【典例】如图，已知，，．求证：． 证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴（ ）， ∴　　　　． 【答案】同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 【分析】先由同位角相等证，再通过平行线性质和等量代换得到，最后由内错角相等证得． 【详解】解：证明：∵，（已知）， ∴（垂直的意义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴． 【变式练习1】如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴（ ）， ∴ （ ）， ∵， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴． 【答案】同位角相等，两直线平行；，两直线平行，同旁内角互补；，，同角的补角相等；，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】先由垂直的定义得到同位角相等，证出 ；再利用平行线的性质得到同旁内角互补，结合已知条件推出内错角相等，证出 ；最后由平行线的性质得到 ，并补全每一步的推理依据． 【详解】证明：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， ∴ （同位角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ∵ ， ∴ （同角的补角相等）， ∴ （内错角相等，两直线平行）， ∴ （两直线平行，同位角相等）． 【变式练习2】看图填空： 已知：如图，为上的点，为上的点，，．求证：． 证明： （____________） ，（___________） （____________） ____________ （____________） 又（____________） ∴____________ （____________） 【答案】见解析 【分析】根据已知条件及对顶角相等求得，从而推知两直线，所以同位角；然后由已知条件推知内错角，所以两直线． 【详解】证明：已知， ，对顶角相等， 等量代换， ， 两直线平行，同位角相等， 已知， ， 内错角相等，两直线平行． 【变式练习3】已知：如图，于点，于点，且． 求证：． 下面是推理过程，请你填空或填写理由． 证明：于点，于点（______）， （______）， （______）， （______）， （已知）， （等量代换）， ， ______（两直线平行，同位角相等）． ____________（等量代换）． 【答案】已知；垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；； ； 【分析】根据垂直的定义得到，根据平行线的判定得到，由平行线的性质得到，等量代换得到，由平行线的性质得到，等量代换即可得到结论． 【详解】证明：于点，于点（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， ， （两直线平行，同位角相等）， （等量代换）． 题型5 平行线之间的拐点问题 【典例】如图，已知，点E，F分别在上，点在的上方，连接．点在与之间，连接，连接并延长至点，满足，，设，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，添加平行线是解答的关键． 设，，作，，则，利用平行线的性质，结合图形中的角的数量关系列方程求得，进而由求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴，， 如图，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，， ∴，解得， ∴，即， 故选：C． 【变式练习1】在年哈尔滨第九届亚洲冬季运动会上，我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图为滑雪比赛的精彩瞬间，抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 过点作，得到，推出， 即可求解． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式练习2】机器人教育在中国青少年中悄然兴起，越来越多的城市开始举办机器人大赛，如图1是某次机器人大赛中的一个机械臂，可抽象出如图2的数学模型，，，，，则的度数为（   ） A．100° B．110° C．120° D．135° 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题的关键． 过作，过作，再由平行线的性质可得，进而得到，即可求解． 【详解】过作，过作， ，，，， ，， ， ， ，即， ． 故选：A． 【变式练习3】如图，，直线分别交、于点、，分别平分和．求的度数． 【答案】 【分析】过点P作，则，根据平行线的性质可得，，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵分别平分和， ∴， ∴ ． 【变式练习4】（1）如图①，，如果，，求的度数．请将下面的求解过程填写完整． 解：过点作直线，使． 因为，所以．（ ） 又因为，所以_____． 因为，且， 所以_____．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以_____． 所以． （2）如图②，，如果，，请问等于多少度？写出求解过程． （3）填空：如图③，，请用一个等式表示、与三个角之间的关系：_____． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质； （1）根据平行线的性质和判定进行填写即可； （2）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可； （3）过点作直线，使，根据平行线的性质和判定进行解题即可． 【详解】解：（1）过点作直线，使． 因为， 所以．（两直线平行，内错角相等） 又因为， 所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以． （2）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 又因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以． 所以 ∴ （3）如图．过点作直线，使． 因为，所以． 因为，且， 所以．（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．） 所以 ∴ 所以 题型6 根据平行线的性质探究角的关系 【典例】如图，，点E在上，点F，G在上，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵，， ∴ ，， ∴，即． 【变式练习1】如图，，的平分线交于点E，过点A作于点F．若，，则下列等量关系一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质以及角平分线的定义得，，再根据平行线的性质得，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式练习2】如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式练习3】如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， （2）解：∵， ∴． 题型7 平行线判定和性质的综合运用 【典例】如图，，平分，平分交于点H，，下列结论：①；②平分；③，其中正确的有（   ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的数量关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴平分；故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 故选：D． 【变式练习1】如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有______（填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 【变式练习2】如图，在四边形中，E、F分别是、延长线上的点，连接．分别交、于点G、H．若，．试证明 (1) (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质； （1）根据对顶角相等，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论； （2）由推出，结合已知，等量代换得到，再根据平行线的判定得出结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式练习3】如图，、和被所截，已知，平分交于点G． (1)如图1，，，，试判断与的位置关并说明理由； (2)如图2，已知． ①若，，求的度数； ②试探索、与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析； (2)①；②． 【分析】（1）由可得，则可得，进而可得，．由角平分线的定义可得，进而可得，由可得． （2）①由可得，则可得，．由角平分线的定义可得，则可得，由，，可得，，则可得． ②由可得，则可得，由角平分线的定义可得，进而可得，由，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 又， ， ． （2）①解：， ， ， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． ②证明：， ， ， 平分， ， ， ，， ， ， ． 综合练习 一、选择题 1．如图，点在射线上，直线，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据邻补角可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ． 2．如图，把一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵直尺的对边互相平行， ∴， ∵， ∴． 3．如图，有一条长方形纸带，按图折叠，则的度数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题的关键是合理的利用折叠的两个角相等；由图形可得，可得，由于翻折可得两个角是重合的，于是利用平角的定义列出方程可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为折痕， ∴， 即， 解得． 故选：A． 4．如图1为爆玉米花机器，图2为其模型，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作，利用平行线的性质，求解即可． 【详解】解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 5．如图，已知，点在上方，连接，．，与互相垂直，垂足为，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查根据平行线的性质求角度，理解题意，作出辅助线是解题关键． 过点作，得到，，推导出，，则，即可解答． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 6．图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱、和折叠杆“”组成．道闸工作时，折叠杆“”可绕点在一定范围内转动，且杆始终与地面保持平行，则下列判断中，正确的是（    ） A． B． C． D．的度数无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，垂线定义，过点A作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，求出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点A作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7．如图，直线，点O在直线上，下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，内错角相等和两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质得出，进而利用角的关系解答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．如图，已知，，分别为，的角平分线，，则下列说法：①；②；③平分；④．正确的有（    ）个 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；角平分线，两直线平行，同旁内角互补等知识．解题的关键在于对平行线的判定与性质的熟练掌握与灵活运用． 如图，延长交于，由，可得，由，可得，，进而可判断①的正误；由分别为的角平分线，则，，如图，过作，则，有，，根据，可得，可得，进而可判断④的正误；由，可知，，由，可得，进而可判断③的正误；由，可知，由于与的位置关系不确定，可知与的大小关系不确定，则不一定成立，进而可判断②的正误，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①正确，故符合要求； ∵分别为的角平分线， ∴，， 如图，过作， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴④正确，故符合要求； ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴， ∵与的位置关系不确定， ∴与的大小关系不确定， ∴不一定成立， ∴②错误，故不符合要求； ∴正确的共有3个， 故选：B． 二、填空题 9．如图，，若，则_____． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 10．如图，把一副三角板与一个直尺摆放成如图所示的图形，则______． 【答案】75 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，根据三角板中角度的特点可得的度数，则由平角的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∵直尺的对边平行，即， ∴， 故答案为：75． 11．将一个长方形纸片折叠成图所示的图形，若，则的度数为_______°． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质； 先利用平行线的性质得出，再根据折叠的性质和平角的定义计算即可． 【详解】解：如图， 由长方形纸片可得，， ， 由折叠得， ∴ 故答案为：． 12．如图， ，则 _______________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13．如图，，则________． 【答案】 【分析】作平行线，根据平行线的性质构造等量关系即可求解． 【详解】解：分别过点，，作，，， 则， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵， ， ， ∵ ， ， ． 14．某同学结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图所示，已知，点E的位置移到上方，点F在延长线上，与的平分线相交于点G，则与之间的数量关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，过点作，先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据平行线的性质可得，，最后根据角的和差、等量代换即可得出结论． 【详解】解：过点作，过点作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵与的平分线相交于点G， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为： 15．如图，已知，点F、G分别在、上，点E在、之间，连结、，平分，平分且交的反向延长线于点H，交于点P，，．给出下面四个结论： ①；    ②；    ③；    ④． 上述结论中，正确结论的序号有___________． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、利用邻补角求角的度数等知识点，熟练运用这些知识点是解题的关键． 由补角的性质以及角平分线的性质，计算的度数，得出的度数，判断结论①； 由平行的性质得出，结合，可证，判断结论②；分别计算出与的度数，判断结论③；由与平分，结合对顶角相等，找出等量关系，可证，判断结论④． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论②正确； ∵，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故结论③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， 故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 16．如图，已知于点D，于点F，与互补． (1)试判断是否平行．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）： 解：，理由如下： ∵，（已知） ∴______（__________________） ∴（__________________） ∵与互补（已知） ∴（__________________） ∴______（__________________） ∴（__________________） (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；补角的定义；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，证明是关键． （1）先证明，则，又由得到，即可证明结论成立； （2）根据平行线的性质得到，得到，由平分得到，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，（已知） ∴（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵与互补（已知） ∴（补角的定义） ∴（同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行） 故答案为：；同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；补角的定义；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行 （2）∵（已证） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴ ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已证） ∴（两直线平行，同位角相等） 17．如图所示，平分，，，求，，的度数． 【答案】；； 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，再由平行线的性质即可求出． 【详解】解：， ． 平分， ． ， 18．如图，点B，C在直线上，，平分，．求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，平行线的性质，结合图形综合运用以上知识是解题关键．先运用平角的定义，求出，再运用角平分线的定义，求出，最后由“两直线平行，同位角相等”得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据平行线的性质得出，再结合，得出，从而可得，于是可证得． （2）先根据平行线的性质得出再结合，，，得出，从而可得，于是可证得. （3）先根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的性质得出，从而可得，结合，得出． （4）先得出，再根据平行线的性质得出，得出，结合，从而可得． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． （2）解：如图1，∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴. （3）解：过E作. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：过点F作，如图4所示，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 20．【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点是外一点，连接，求的度数． 解：过点作， ______，______， 又____________， ______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】 （2）如图2，已知交于点，求的度数． （3）如图3，若，点在外部，请直接写出之间的关系． 【答案】（1）；；；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键； （1）过点A作，，从而利用平行线的性质可得，，根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答； （2）过点E作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答； （3）过点P作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 【答案】【探究一】，，；【探究二】，理由见解析；【探究三】． 【分析】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线是解题关键． 【探究一】根据平行线的性质即可得答案； 【探究二】过点作，过点作，根据平行线的性质得出，利用对顶角相等即可得答案； （3）过点作，交于，，根据平行线点性质得出，，，，利用（2）中所得结论即可得答案． 【详解】解：[探究一]∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． [探究二]如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，即， ∴ [探究三]如图，过点作，交于，， ∴，，，， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴． 22．如图1，已知直线，点是直线上两点，点在点左侧，点是直线上一点，连接，平分交于点． (1)若，则___________； (2)如图2，点是线段上一点，连接平分交于点．作交于点，点在线段上，且满足，当时，求证：； (3)如图3，若，点是射线上一点，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，射线以每秒的速度绕点逆时针转动，当射线转至与射线重合时立即以相同速度绕点顺时针回转，若它们同时开始转动，设转动时间为秒，当射线回到出发时的位置时，射线，同时停止转动，则在转动过程中，当射线所在直线与射线所在直线互相垂直时，请直接写出所有符合条件的的值，并写出求解的值的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的值是秒或秒或秒，见解析 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用． （1）根据得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的值； （2）设，则，根据得到，根据角平分线的定义得到，即，根据得到，即，根据角平分线的定义得到，即，即可证明； （3）分三种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：； （2）证明：设， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （3）解：当射线转至与射线重合，则（秒），当 时，（秒）， ，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 当时，如图， ， ； 综上：的值是秒或秒或秒． 中考真题再现 1．（2025·山东东营·中考真题）2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（2025·四川巴中·中考真题）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 根据平行线的性质即可直接得出，进而根据对顶角相等即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，． (1)求的度数； (2)平分交于点，．求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可求解； （2）根据平分，可得．再由，可得．即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $