第6章 阶段提升(七) 空间点、线、面之间的位置关系(范围：§3～§5)（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

"该高中数学课件聚焦空间点线面位置关系，涵盖垂直平行转化、空间角计算、翻折及探索性问题。通过选择填空基础题型导入，逐步过渡到综合解答题，构建从基础到应用的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。\n其亮点在于“感悟提升”总结方法，结合题型递进设计，培养数学思维与空间观念。如翻折问题分析不变量，空间角转化平面角，助力学生用数学语言表达空间形式，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。"

阶段提升(七)　空间点、线、面之间的位置关系(范围：§3～§5) 1 返回首页 题型一　垂直与平行 1．若α，β，γ表示不同的平面，l表示直线，则下列条件不能得出α⊥β的是(　　) A．α内存在一条直线垂直于平面β B．α∥γ，β⊥γ C．l⊥α，l∥β D．α⊥γ，β⊥γ 解析：若 α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行、可能垂直，也可能只相交不垂直，不能得出α⊥β，其他选项均能得出α⊥β. √ 返回首页 2．在三棱锥A-BCD中，点E，F分别在AB，CB上．若AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，则直线AC与平面DEF的位置关系为(　　) A．平行 B．相交 C．AC⊂平面DEF D．不能确定 解析：因为AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，所以EF∥AC. 又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，所以AC∥平面DEF. √ 返回首页 3．(2025·宿州月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面PAC⊥平面PCD，PA⊥CD. (1)若G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面PAD； 返回首页 证明：如图，连接BD，则AC∩BD＝H， 易知点H为BD的中点，又点G为PB的中点，所以GH∥PD， 因为GH⊄平面PAD， PD⊂平面PAD， 所以GH∥平面PAD. 返回首页 (2)求证：PA⊥平面PCD. 证明：取棱PC的中点N，连接DN，在等边三角形PCD中，DN⊥PC， 因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC， DN⊂平面PCD，所以DN⊥平面PAC， 又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA， 又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，所以PA⊥平面PCD. 返回首页 空间平行、垂直关系的转化 (1)平行、垂直关系的相互转化 返回首页 (2)证明空间线面平行或垂直需注意三点： ①由己知想性质，由求证想判定． ②适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一． ③用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论． 返回首页 √ 返回首页 返回首页 90° 返回首页 返回首页 3.如图所示的几何体，是将高为2，底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右平移后形成的封闭体，O1，O2，O′2分别为AB，BC，DE的中点，F为弧AB的中点，G为弧BC的中点． (1)求直线GO′2与平面BCDE夹角的正切值； 返回首页 返回首页 (2)求异面直线AF与GO′2夹角的余弦值． 返回首页 求空间角的大小一般都将其转化为平面角来计算，空间角的计算步骤：一作，二证，三计算． (1)求异面直线夹角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面夹角常用投影转化法(即作垂线，找投影). (3)二面角的平面角的作法常有三种： ①定义法； ②垂线法； ③垂面法． 返回首页 题型三　翻折问题 [例1] (2025·九江期末)如图1，山形图是两个全等的直角梯形ABCD和ABEF的组合图，将直角梯形ABEF沿底边AB翻折，得到图2所示的几何体．已知AB∥CD∥EF，AB＝2CD＝2EF，AB⊥BE，点N在线段CE上，且EN＝2NC.在几何体BCE-ADF中，解决下面问题． 返回首页 (1)证明：AE∥平面BND； 【证明】连接AC与BD相交于O，连接ON，因为AB＝2CD，且AB∥CD，所以OC∶OA＝CD∶AB＝1∶2，又EN＝2NC，所以ON∥AE，因为AE⊄平面BND，ON⊂平面BND，所以AE∥平面BND. 返回首页 (2)若平面BDE⊥平面ABCD，证明：BE⊥AD. 【证明】过C作CM⊥BD交BD于M，因为平面BDE⊥平面ABCD，平面BDE∩平面ABCD＝BD，CM⊂平面ABCD， 所以CM⊥平面BDE，又BE⊂平面BDE，故CM⊥BE，又四边形ABEF为直角梯形，故AB⊥BE， 又AB，CM是平面ABCD内的两条相交直线，所以BE⊥平面ABCD， 又AD⊂平面ABCD，故BE⊥AD. 返回首页 求解翻折问题的步骤 返回首页 [跟踪训练1] 如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，点M，N分别是边BC，CD的中点，AC∩BD＝O，AC∩MN＝G.沿MN将△CMN翻折到△PMN的位置，连接PA，PB，PD，得到如图2所示的五棱锥P-ABMND. 返回首页 (1)在翻折过程中是否总有平面PBD⊥平面PAG？证明你的结论； 解：因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD， 因为点M，N分别是边BC，CD的中点， 所以MN∥BD，MN⊥AG，MN⊥GC，即MN⊥GP，因为AG∩GP＝G，AG，GP⊂平面PAG， 所以MN⊥平面PAG，因为MN∥BD，所以BD⊥平面PAG， 因为BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAG. 所以在翻折过程中总有平面PBD⊥平面PAG. 返回首页 (2)当平面PMN⊥平面MNDB时，求直线PB和平面MNDB夹角的正弦值． 解：因为平面PMN⊥平面MNDB，MN⊥GP，平面PMN∩平面MNDB＝MN，GP⊂平面PMN. 所以GP⊥平面MNDB，连接BG(图略)，则GP⊥BG，所以∠PBG即为直线PB和平面MNDB的夹角． 因为菱形ABCD的边长为4，∠DAB＝60°， 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 返回首页 (2)在线段CC1上是否存在一点M，使得平面MEF∥平面A1BC1？若存在，请指出点M的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【解】　当M为CC1的中点时，平面MEF∥平面A1BC1. 证明如下： 取CC1的中点M，连接ME，MF，如图2， 因为E，F分别是AB和BC的中点，所以MF∥BC1，EF∥AC. 因为MF⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以MF∥平面A1BC1. 因为AC∥A1C1，所以EF∥A1C1， 返回首页 因为EF⊄平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1， 所以EF∥平面A1BC1. 又EF∩MF＝F，EF，MF⊂平面MEF， 所以平面MEF∥平面A1BC1. 返回首页 探索性问题的一般解题方法 先假设其存在，然后把这个假设作为已知条件，和题目的其他已知条件一起进行推理论证和计算．在推理论证和计算无误的前提下，如果得到了一个合理的结论，则说明存在；如果得到了一个不合理的结论，则说明不存在． 返回首页 返回首页 解：证明：因为AB⊥平面PAD，且PH⊂平面PAD，所以AB⊥PH. 又PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.又AD∩AB＝A，AD，AB⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD. 又BC⊂平面ABCD，所以PH⊥BC. 返回首页 (2)线段PB上是否存在点E，使EF⊥平面PAB？说明理由． 返回首页 所以四边形GDFE为平行四边形，故EF∥GD， 因为AB⊥平面PAD，GD⊂平面PAD，所以AB⊥GD，因此EF⊥AB. 因为G为PA的中点，且PD＝AD，所以GD⊥PA，因此EF⊥PA，又PA∩AB＝A， PA，AB⊂平面PAB，所以EF⊥平面PAB. 返回首页 $