"该高中数学课件聚焦导数正负与函数单调性的关系，新课导入从已学导数概念出发，提出“利用导数研究函数性质”的问题，搭建从局部变化率到整体单调性的学习支架，帮助学生衔接前后知识。\n其亮点在于通过具体函数图像与导数符号的对应分析，培养数学眼光观察函数变化，通过归纳一般规律发展数学思维中的推理能力，结合例题和检测题训练数学语言表达。采用“观察-归纳-应用”教学方法，学生能直观理解联系，教师可高效开展教学。"

5.3.1 课时1 导数正负与函数的单调性 第五章 一元函数的导数及其应用 回顾：判断函数单调性的方法有哪些？ 1. 图象法：直接观察单调性； 2. 定义法：定义域判断函数单调性； 导数法！ 新课导入 在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化。能否利用导数更精确地研究函数的性质？本节我们就来讨论这个问题. 利用导数研究函数的单调性 新课导入 问题：观察下面一些函数的图象，你能说明函数的单调性与导数的正负的关系吗？ x y O y＝x (1) x y O y＝x2 (2) x y O y＝x3 (3) x y O (4) 知识讲解 x y O f (x)＝x x y O f ′(x)＝1 在(-∞，+∞)上， f (x)单调递增 在(-∞，+∞)上，f ′(x)>0 知识讲解 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′(x)<0 x y O f (x) ＝x2 x y O f ′(x)＝2x 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上，f ′(x)>0 知识讲解 在(-∞, 0)上， f (x)单调递增 在(-∞, 0)上， f ′(x)>0 x y O f ′ (x) ＝3x2 在(0, +∞)上， f (x)单调递增 在(0, +∞)上， f ′(x)>0 x y O f (x) ＝x3 知识讲解 在(-∞, 0)上， f (x)单调递减 在(-∞, 0)上， f ′ (x)<0 在(0, +∞)上， f (x)单调递减 在(0, +∞)上，f ′ (x)<0 x y O x y O 知识讲解 问题：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 导数f ′(x0) 在区间上， f ′(x)>0 函数y=f (x)的图象在点(x0, f(x0))处切线的斜率 在x=x0处f ′(x0)>0 函数y=f (x)的图象上升，在x=x0附近单调递增 切线“左下右上”上升 在区间上，f (x) 单调递增 f (x0)>0 f (x)在x0附近↗ 切线“左下右上” 知识讲解 导数f ′(x1) 在区间上， f ′(x)<0 函数y=f (x)的图象在点(x1, f(x1))处切线的斜率 在x=x1处f ′(x1)<0 函数y=f (x)的图象下降，在x=x1附近单调递减 切线“左上右下”下降 在区间上，f (x) 单调递减 f (x1)<0 f (x)在x1附近↘ 切线“左上右下” 问题：为什么函数的单调性与导数的正负之间有这样的关系？ 新课导入 一般地，函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减. 函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大 若恒有f′(x)＝0，则y＝f (x)是常数函数，不具有单调性． 知识讲解 1. 若函数y＝f ′(x)图象如左图所示，则y＝f (x)图象可能是（ ） C 解：由y＝f ′(x)图象可得：在(－∞，b)上f ′(x)≥0，在(b，＋∞)上f ′(x)<0， 则y＝f (x)在(－∞，b)上单调递增，在(b，＋∞)上单调递减，可排除A，D， 在x＝0处，f ′(x)＝0，即在x＝0处，f (x)的切线的斜率为0，可排除B，故选C. 知识讲解 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 解：(1)因为 ，其定义域为 . 所以 所以，函数 在 上单调递增， 如右图所示. 知识讲解 解：(2)因为 ， 所以 所以，函数 在 上单调递减，如右图所示. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 知识讲解 解：(3)因为 ，所以 所以，函数 在区间 和 上分别单调递增， 如右图所示. 例1 利用导数判断下列函数的单调性： （1） （2） （3） 知识讲解 判断函数单调性的步骤： 求出函数的定义域； 1 判定的符号； 3 确定函数的单调性. 4 注意： (1)当＝0时，函数在处切线斜率为0； (2)原函数的图象只看增(减)的变化，导函数的图象只看正(负)变化. 求出函数的导数； 2 归纳总结 解: (1)因为f(x)=x2-2x+4是二次函数，其定义域为R. 所以其对称轴方程为x=1，又因为f(x)的图象开口向上， 所以，函数f(x)=x2-2x+4在(-∞,1)上单调递减， 在(1,+∞)上单调递增. 判断下列函数的单调性： (1)f (x)=x2-2x+4； (2)f (x)=ex-x. 当堂检测 解: (2)因为f (x)=ex-x ，其定义域为R. 所以f ′(x)=ex-1. 令f ′(x)= 0，得x=0 所以当x∈(-∞,0)时， f ′(x)<0 当x∈(0,+∞)时， f ′(x)>0 . 所以，函数f(x)=ex-x在(-∞,0)上单调递减， 在(0,+∞)上单调递增. 判断下列函数的单调性： (1)f (x)=x2-2x+4; (2)f (x)=ex-x. 当堂检测 例2 已知导函数的下列信息： 当1<x<4时， f ′(x)>0 ；当x<1，或x>4时， f ′(x)<0 ； 当x=1，或x=4时， f ′(x)=0.试画出函数f (x)图象的大致形状. 解：当1<x<4时， f ′(x)>0，可知f (x)在区间 (1,4)上单调递增； 当x<1，或x>4时， f ′(x)<0，可知f (x)在区间(-∞,1)和(4,+∞)都单调递减； 当x=1，或x=4时， f ′(x)=0，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点” 知识讲解 2. 函数f (x)的图象如图所示，则导函数f ′(x)的图象可能为（ ） C 解：∵f (x)在(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在(1，4)上单调递增， ∴当x＜1或x＞4时，f ′(x)＜0；当1＜x＜4时，f ′(x)＞0；故选C. 当堂检测 2. 函数 f (x) 的导函数f ′(x)的图象如图所示，则下列判断中正确的是( ) A．函数 f (x) 在区间 (-3，0) 上是减函数 B．函数 f (x) 在区间 (1，3) 上是减函数 C．函数 f (x) 在区间 (0，2) 上是减函数 D．函数 f (x) 在区间 (3，4) 上是增函数 A 当堂检测 2. 函数 y=f (x) 的图象如图所示，试画出函数y=f ′(x)图象的大致形状. 解：由图可知， 当x∈(0，a)时，函数f (x)的图象没有升降，所以f ′(x)=0 当x∈(a，b)时，函数f (x)的图象是下降的，所以f ′(x)<0 当x∈(b，c)时，函数f (x)的图象没有升降，所以f ′(x)=0 当堂检测 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 1 (A) (B) (C) (D) C 3.设 是函数 的导函数， 的图象如右图所示，则 的图象最有可能的是( ) 当堂检测 1. 函数的单调性与导数的正负的关系： 在某个区间(a,b)上，如果f′(x)＞0，那么函数y＝f (x)在区间(a,b)上单调递增； 在某个区间(a,b)上，如果f'(x)＜0，那么函数y＝f (x)在区间(a,b)上单调递减. (1)求函数的定义域； (2)求f′(x)； (3)解不等式f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)；即为f (x)的单调增(或减)区间。 2. 用导数判断函数单调性的步骤： 本节课你学到了哪些知识？ 3. 应用导数判断函数图象. 课堂总结 $