"本讲义聚焦因式分解的概念这一核心知识点，系统梳理其定义（多项式化为整式积的恒等变形）、与整式乘法的互逆关系（和差化积与积化和差）及几何意义（面积不同表示推导恒等式），为后续分解方法学习搭建基础支架。\n资料以分层题型设计为特色，基础题型强化定义识别与检验，培优题型结合几何直观与整除应用，通过两步判定法、乘法检验法等培养推理能力与模型意识。课中辅助分层教学，课后易错点与巩固练习助力学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。"

专题9.1 因式分解的概念 知识点1：因式分解的定义 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 2.因式分解的核心特征：①对象是多项式，单项式不存在因式分解；②结果是几个整式相乘的形式，整式包括单项式和多项式；③变形为恒等变形，左右两边相等且取值范围一致。 3.反例判定：若变形后出现分式、和差形式、非整式相乘，均不是因式分解，如、都不是因式分解。 知识点2：因式分解与整式乘法的关系 1.核心关系：因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系，整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 2.具体对应示例： 3.检验作用：可以利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确，将分解后的整式相乘，若结果与原多项式一致，则分解正确。 知识点3：因式分解的几何意义 1.核心思想：同一个几何图形的面积可以用不同形式表示，多项式形式表示面积的和/差，整式积的形式表示图形的长×宽，由此推导因式分解的恒等式。 2.常见示例：由1个边长为的正方形和2个长、宽的长方形拼成大长方形，面积可表示为（和差形式），也可表示为（积的形式），故。 知识点4：因式分解的基本要求 1.范围要求：现阶段因式分解限定在有理数范围内，无需考虑无理数、实数范围。 2.结果要求：分解后的整式要化为最简，每个因式不能再继续分解（本小节仅作概念要求，后续章节学习具体分解方法）。 3.形式要求：结果中若有相同因式，可写成乘方形式，且因式中首项系数一般为正。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的定义识别与判断 1.核心知识点 因式分解的定义；因式分解的三个核心特征（多项式、整式积、恒等变形）。 2.解题方法技巧 两步判定法：第一步判断左边是否为多项式，若不是则直接排除；第二步判断右边是否为几个整式的积的形式，若为和差、分式形式则排除； 关键词排除：看到右边含“”“”和差形式、分母含字母的分式，直接判定不是因式分解； 熟记易混形式：区分“整式乘法（积化和差）”和“因式分解（和差化积）”，如是整式乘法，反向才是因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．依据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项进行判断，即可作答． 【详解】解：A、左边是单项式，不符合因式分解的对象要求； B、是整式乘法运算，是从整式的积到多项式的变形，不属于因式分解； C、右边不是整式积的形式，是和的形式，不属于因式分解； D、将多项式转化为，符合因式分解的定义． 故选：D 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解．根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式逐项判断即可． 【详解】解：A选项的右边不是积的形式，不是因式分解，故不符合题意； B选项的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故不符合题意； C选项是整式的乘法，不是因式分解，故不符合题意； D选项的右边是积的形式，是因式分解，故符合题意， 故选：D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是掌握因式分解的形式． 需明确因式分解是把多项式化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解定义； B选项：左边是多项式，右边是整式的乘积，符合因式分解定义； C选项：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； D选项：左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不符合因式分解定义； 故选：B． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，即把一个多项式转化为几个整式乘积的形式； 逐一分析各选项是否符合因式分解的定义即可． 【详解】解：A、左边为单项式，右边是两个单项式的乘积，该变形是正确的，但因式分解是指将一个多项式分解为几个整式的乘积，故不符合题意； B、为分式，非整式，不符合因式分解的要求，故不符合题意； C、左边为多项式，右边为与的乘积，均为整式，符合因式分解的定义，故符合题意； D、右边为，仍包含加法运算，没有完全转化为积的形式，故不符合题意； 故选：C． 【题型2】利用整式乘法检验因式分解的正确性 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆关系；单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。 2.解题方法技巧 乘法检验法：将分解后的所有整式按乘法法则展开，计算出结果； 对比验证法：将展开后的结果与原多项式对比，若各项系数、字母、次数完全一致，则分解正确，否则错误； 快速检验：对于简单因式分解，可通过首项、末项快速验证，如分解，若结果为，首项、末项，再验证中间项即可。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的理解，根据其定义及理解即可解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、右边不是积的形式，不符合题意． 故答案为：C ． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，逐一验证各选项因式分解的正确性，包括等式是否成立及是否分解彻底． 【详解】解：选项A: ，右边展开为，与左边相差，故A错误； 选项B: ，等式成立，但可继续分解为 ，分解不彻底，故B错误； 选项C: ，右边展开为，与左边相等，且为完全平方式，故C正确； 选项D: ，右边展开为，与左边不符，应为，故D错误． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·天津河东·期末）下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解）是解此题的关键． 根据因式分解的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．故原式不成立，不属于因式分解，故本选项不符合题意； C．，属于因式分解，故本选项符合题意； D．因式分解不彻底，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键． 因式分解是指把一个多项式化为几个整式积的形式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A：是整式乘法运算，不符合因式分解定义，故A错误； 对于选项B：右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解定义，故B错误； 对于选项C：，变形错误，故C错误； 对于选项D：，符合因式分解定义，且变形正确，故D正确． 故选：D． 【题型3】利用因式分解与整式乘法的关系求字母系数 1.核心知识点 因式分解的恒等变形；多项式恒等的条件（对应项系数、次数相等）。 2.解题方法技巧 展开法：将因式分解的结果按整式乘法展开，化为多项式的标准形式； 对应法：根据多项式恒等，令展开式与原多项式的对应项系数相等，建立一元一次方程； 求解法：解出方程的解，即为字母系数的值，如，展开得，则，。 【例题3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【答案】2 【分析】将展开后与比较求出，，然后代入求解． 【详解】解： ∵因式分解的结果为， ∴ ∴， ∴． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【答案】1 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．通过将给定的因式分解形式展开，与原二次三项式比较系数，可求出 m 的值即可． 【详解】解：， ， ， 解得， 故答案为． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【答案】 【分析】此题考查了已知因式分解的结果求原式，将展开为，然后比较求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·期末）多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式和多项式各项系数的确定； 将因式分解结果展开，与原多项式比较对应项系数，建立方程求解和的值． 【详解】解：∵多项式因式分解结果为， ∴展开得，与多项式比较系数， 二次项系数：；一次项系数：， 代入得，解得； 常数项系数均为， ∴， 故答案为：． 【题型4】已知一个因式求另一个因式及字母参数 1.核心知识点 因式分解的恒等变形；多项式乘多项式的运算法则；解二元一次方程组。 2.解题方法技巧 设未知因式法：根据原多项式的次数和已知因式的次数，设出另一个因式（如二次三项式有一个一次因式，另一个因式也为一次二项式）； 展开等式：将已知因式与未知因式相乘，展开为多项式标准形式； 列方程组：根据对应项系数相等，列出关于未知字母的二元一次方程组； 求解验证：解方程组得到未知因式的系数和字母参数，将结果代入验证是否符合题意。 【例题4】.（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键．先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 【详解】解：∵将展开得, 又∵, ∴, 由得, 将，代入得，符合条件, ∴, 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键． 通过展开因式分解形式并比较系数，求出和的值，再计算． 【详解】解：由题意得， ∴， 比较系数，得：，且 ， 解得：，， ∴； 故选：A． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 计算，进而根据“多项式可分解因式为”即可得出的值． 【详解】解：， ∵多项式可分解因式为， ∴． 故答案为：． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【答案】(1) (2), (3) 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值； （3）把，，代入多项式中，使原式值为零，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，把代入， ∴ ∴； （2）解：把和分别代入， 即 解得： （3）解：∵能使多项式的值0， ∴是多项式的一个因式 又∵当时， ， 当时， ∴是的因式 ∴． 【培优高频题型】 【题型5】几何图形与因式分解的互推 1.核心知识点 因式分解的几何意义；图形面积的不同表示方法（和差法、公式法）。 2.解题方法技巧 面积和差表示：将组合图形拆分为基本图形（正方形、长方形），用多项式表示各基本图形的面积和/差； 面积公式表示：确定组合图形的整体长和宽，用“长×宽”表示面积（整式积的形式）； 恒等推导：根据“同一图形面积相等”，将两种形式用等号连接，得到因式分解的恒等式。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【答案】（1）；（2）；（3）另一个因式为，的值为3．（4）1，7，13，29． 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）分别表示出图甲、图乙中长方形的面积，即可得出结果； （2）利用多项式乘以多项式的法则将展开，对应相等即可得出结果； （3）设另一个因式为，则，再分别对应相等即可得出结果； （4）设这两个一次式为和，则，从而得出，，，再结合、、、均为整数，分情况计算即可得出结果． 【详解】（1）由图甲可得，长方形的面积为， 由图乙可得，长方形的面积为， 故得到的等式是； （2） ， ∵， ∴； （3）∵关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是， ∴设另一个因式为， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴另一个因式为，的值为； （4）∵可以分解成关于的两个一次式乘积的形式， ∴设这两个一次式为和， ∴， ∴，，， ∵、、、均为整数， ∴当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，符合题意； 当，，，时，此时，不符合题意； 综上所述，所有正整数的值为1，7，13，29． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 【变式题5-2】.计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【答案】（1）；； ；（2），过程见解析；（3）第三个因式为 【分析】本题考查了多项式乘法与因式分解的应用； （1）根据多项式乘以多项式进行计算即可求解； （2）根据题意进行计算即可求解； （3）根据题意按照（2）中的方法，设第三个因式为，根据多项式的乘法即可求解． 【详解】解：（1） ； ； 故答案为：；；． （2）选择霖霖的解题思路： ∵， ∴， ∴， ∴； 选择欣欣的解题思路： ， ∴， ∴， ∴； 选择丞丞的解题思路： ∵的一个解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； （3）∵可以因式分解为三个因式乘积的形式，其中两个因式分别是，， 设第三个因式为， ∴` ∴，， ∴第三个因式为． 【变式题5-3】.（2024·山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊 【答案】A 【分析】本题考查了数形结合思想的应用，根据图形中的等量关系推导出因式分解，属于数形结合思想． 【详解】解：根据图形面积的两种不同的表示方式得出等式，从而推导出，属于数形结合思想． 故选A． 【题型6】因式分解在整除问题中的初步应用 1.核心知识点 因式分解的定义；整除的概念（若，、为整数，则能被、整除）。 2.解题方法技巧 提取公因式法：将原式提取各项的公因式，化为“一个整式×一个整数”的形式； 验证法：判断变形后的结果中是否含有除数这个因数，若含有则能被整除； 步骤规范：先因式分解，再明确指出“原式可表示为除数与某整数的乘积”，最后得出整除结论。 【例题6】.（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示．    (1)如图1，图中的大正方形由两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式：________； (2)实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2的图形表示的等式是：________； (3)试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式：，其中． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题是完全平方公式的应用，因式分解，仔细观察图形是解题的关键． （1）根据图形的两种面积计算方法，即可解答； （2）根据图形的两种面积计算方法，即可解答； （3）根据分解结果画出图形即可． 【详解】（1）解：根据图形的两种面积计算方法，可得， 故答案为：； （2）解：根据图形的两种面积计算方法，可得， 故答案为：； （3）解：根据， 可得大长方形的长为，宽为， 并且化分为2个边长为的正方形，2个边长为的正方形，5个长为，宽为的矩形， 如图所示： 【变式题6-1】.（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式分解因式，即可判断． 【详解】解： ， 由于m为整数，则为4的倍数，从而能被4整除； 故选：A． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）对于任意整数，多项式都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用．利用平方差公式分解因式，化简后判断整除性即可． 【详解】解：∵ ， ∵ 为整数， ∴ 为整数， ∴ 原式能被9整除． 故选：D 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 【例题7】.（2026七年级下·全国·专题练习）用因式分解的知识，说明下列说法的正确性． (1)能被整除． (2)总能被整除． (3)两个连续奇数的平方差能被整除． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，通过因式分解将表达式变形，从而验证整除性质． （1）提取公因式后得到的倍数； （2）使用平方差公式后提取公因数； （3）设出连续奇数，利用平方差公式直接计算． 【详解】（1）解：提取公因式，得， 能被整除， 原式能被整除； （2）解：使用平方差公式，得 ， 提取公因式，得 ， 表达式含有因数， 能被整除； （3）证明：设两个连续奇数为和，其中为整数， 平方差为， 则， 因此两个连续奇数的平方差能被整除． 易错点 1.混淆因式分解和整式乘法，误将“积化和差”的整式乘法判定为因式分解； 2.忽略因式分解的对象是多项式，将单项式的恒等变形判定为因式分解（如）； 3.认为只要结果是积的形式就是因式分解，忽略“整式”要求，将含分式的变形判定为因式分解（如）； 4.利用整式乘法求字母系数时，展开因式后未将各项按标准形式排列，导致对应项系数匹配错误； 5.解决看错系数的因式分解问题时，无法区分“看错常数项保留一次项系数”“看错一次项系数保留常数项系数”的规律； 6.几何建模推导因式分解时，错误计算组合图形的长或宽，导致整式积的形式出错。 重点 1.理解因式分解的定义，掌握“多项式→几个整式的积”的核心特征，能准确识别因式分解变形； 2.掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，能利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确； 3.能根据多项式恒等的条件，利用整式乘法展开求因式分解中的字母系数； 4.理解因式分解的几何意义，能通过图形面积的不同表示方法推导因式分解恒等式； 5.掌握因式分解在整除问题中的初步应用，能通过提取公因式将原式化为“整数×整式”的形式证明整除。 难点 1.准确区分因式分解、整式乘法和一般的代数恒等变形，尤其是易混的形式判定； 2.利用因式分解与整式乘法的关系解决“已知一个因式求另一个因式及字母参数”的问题，掌握设未知因式、列方程组求解的方法； 3.理解看错系数的因式分解问题的本质，能准确提取正确的系数并合并求解原多项式； 4.建立几何图形与代数因式分解的联系，能通过拼图操作和面积表示推导因式分解恒等式，实现几何直观与代数运算的结合； 5.掌握因式分解的整体思想，能将因式分解与代数式求值、整除问题结合，实现知识的灵活迁移。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是指把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：是整式的乘法运算，从整式的积转化为多项式，不符合因式分解定义； B选项：，将多项式转化为两个整式的积的形式，符合因式分解定义； C选项：，分解不彻底且计算错误，不符合因式分解的要求； D选项：，右边是整式的积加常数，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义； 故选：B． 2．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式将展开，与原多项式比较即可求解，掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵原多项式为， ∴， 故选：． 3．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，能得出关于的方程是解此题的关键．因多项式有一个因式是，则当时，多项式的值为零，由此得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：∵多项式有一个因式是， ∴当时，多项式值为零，即， 解得， 即k的值为． 故选：B． 二、填空题 4．因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式． 【答案】整式 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，根据因式分解定义：“把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解”． 【详解】解：因式分解的结果是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 故答案为：整式． 5．如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【详解】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知二次三项式因式分解的结果是，则___________． 【答案】1 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 三、解答题 7．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解的意义，解决此题的关键是灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 设分解后的另一个因式为．根据题意得到，然后得出，，进而求解即可． 【详解】解：设分解后的另一个因式为． 由题意，得， ∴，， ∴， ∴． 8．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不是因式分解． (2)是因式分解． (3)是因式分解． (4)不是因式分解． 【分析】本题考查的知识点为因式分解，因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式． （1）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （2）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （3）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； （4）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积； 【详解】（1）左边是，是整式的积， 右边是，是多项式， 这是整式乘法，不是因式分解． （2）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （3）左边是，是多项式， 右边是，是整式的积，并且等式成立， 符合因式分解定义， 故该变形为因式分解． （4）左边是，是多项式， 右边是，不是整式的积，而是和的形式， 不符合因式分解定义． 9．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 【答案】(1) (2)的值为，的值为 (3) 【分析】本题考查因式分解的创新应用、解一元一次方程、解二元一次方程组等知识，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键． （1）将代入多项式并使多项式等于0，求解即可得答案； （2）将和分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，即可获得答案； （3）将（2）中解得的的值代入多项式，然后设，利用待定系数法求出k即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴当时，得， 解得：； （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴可有，整理可得， 解得， 即的值为，的值为； （3）解：由（2）可知，的值为，的值为， ∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1， ∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为， ∴， 解得：， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 因式分解的概念 知识点1：因式分解的定义 1.因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，也可称为分解因式。 2.因式分解的核心特征：①对象是多项式，单项式不存在因式分解；②结果是几个整式相乘的形式，整式包括单项式和多项式；③变形为恒等变形，左右两边相等且取值范围一致。 3.反例判定：若变形后出现分式、和差形式、非整式相乘，均不是因式分解，如、都不是因式分解。 知识点2：因式分解与整式乘法的关系 1.核心关系：因式分解与整式乘法是互为逆变形的关系，整式乘法是“积化和差”，因式分解是“和差化积”。 2.具体对应示例： 3.检验作用：可以利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确，将分解后的整式相乘，若结果与原多项式一致，则分解正确。 知识点3：因式分解的几何意义 1.核心思想：同一个几何图形的面积可以用不同形式表示，多项式形式表示面积的和/差，整式积的形式表示图形的长×宽，由此推导因式分解的恒等式。 2.常见示例：由1个边长为的正方形和2个长、宽的长方形拼成大长方形，面积可表示为（和差形式），也可表示为（积的形式），故。 知识点4：因式分解的基本要求 1.范围要求：现阶段因式分解限定在有理数范围内，无需考虑无理数、实数范围。 2.结果要求：分解后的整式要化为最简，每个因式不能再继续分解（本小节仅作概念要求，后续章节学习具体分解方法）。 3.形式要求：结果中若有相同因式，可写成乘方形式，且因式中首项系数一般为正。 【基础必考题型】 【题型1】因式分解的定义识别与判断 1.核心知识点 因式分解的定义；因式分解的三个核心特征（多项式、整式积、恒等变形）。 2.解题方法技巧 两步判定法：第一步判断左边是否为多项式，若不是则直接排除；第二步判断右边是否为几个整式的积的形式，若为和差、分式形式则排除； 关键词排除：看到右边含“”“”和差形式、分母含字母的分式，直接判定不是因式分解； 熟记易混形式：区分“整式乘法（积化和差）”和“因式分解（和差化积）”，如是整式乘法，反向才是因式分解。 【例题1】.（25-26八年级上·湖南益阳·期末）下列各式从左边到右边的变形是因式分解的为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26八年级上·山东烟台·期末）下列各式从左到右的变形过程是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·四川乐山·期末）下列各式从左到右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·山东淄博·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【题型2】利用整式乘法检验因式分解的正确性 1.核心知识点 因式分解与整式乘法的互逆关系；单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则。 2.解题方法技巧 乘法检验法：将分解后的所有整式按乘法法则展开，计算出结果； 对比验证法：将展开后的结果与原多项式对比，若各项系数、字母、次数完全一致，则分解正确，否则错误； 快速检验：对于简单因式分解，可通过首项、末项快速验证，如分解，若结果为，首项、末项，再验证中间项即可。 【例题2】.（2025八年级上·全国·专题练习）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·天津河东·期末）下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川宜宾·期末）下列各式属于因式分解且正确的是（    ）． A． B． C． D． 【题型3】利用因式分解与整式乘法的关系求字母系数 1.核心知识点 因式分解的恒等变形；多项式恒等的条件（对应项系数、次数相等）。 2.解题方法技巧 展开法：将因式分解的结果按整式乘法展开，化为多项式的标准形式； 对应法：根据多项式恒等，令展开式与原多项式的对应项系数相等，建立一元一次方程； 求解法：解出方程的解，即为字母系数的值，如，展开得，则，。 【例题3】.（25-26七年级上·上海青浦·期中）如果因式分解的结果为，那么_________． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若二次三项式可分解为，则m的值为_________． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·北京·期末）已知等式：，则________． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·全国·期末）多项式因式分解的结果为，则的值为_______． 【题型4】已知一个因式求另一个因式及字母参数 1.核心知识点 因式分解的恒等变形；多项式乘多项式的运算法则；解二元一次方程组。 2.解题方法技巧 设未知因式法：根据原多项式的次数和已知因式的次数，设出另一个因式（如二次三项式有一个一次因式，另一个因式也为一次二项式）； 展开等式：将已知因式与未知因式相乘，展开为多项式标准形式； 列方程组：根据对应项系数相等，列出关于未知字母的二元一次方程组； 求解验证：解方程组得到未知因式的系数和字母参数，将结果代入验证是否符合题意。 【例题4】.（25-26八年级上·河南商丘·期末）若多项式可因式分解为，其中，均为整数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·山东泰安·期末）若多项式可分解为，则的值为（   ） A．2 B．1 C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·河南周口·期末）已知多项式可分解因式为，则为_____． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·重庆·期中）因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0． 利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)若能使多项式的值0，请将多项式进行因式分解． 【培优高频题型】 【题型5】几何图形与因式分解的互推 1.核心知识点 因式分解的几何意义；图形面积的不同表示方法（和差法、公式法）。 2.解题方法技巧 面积和差表示：将组合图形拆分为基本图形（正方形、长方形），用多项式表示各基本图形的面积和/差； 面积公式表示：确定组合图形的整体长和宽，用“长×宽”表示面积（整式积的形式）； 恒等推导：根据“同一图形面积相等”，将两种形式用等号连接，得到因式分解的恒等式。 【例题5】.（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料，探究问题． 我们可通过运算得到和． 【探索归纳】 如图，甲、乙两图是两个长和宽都相等的长方形，其中长为，宽为． （1）根据甲图、乙图的特征，用不同的方法计算长方形的面积，得到的等式是________． 【尝试运用】 利用因式分解与整式乘法的关系，我们可以逆用上述表达式得到一些二次三项式的因式分解． （2）若，则________． 【拓展延伸】 （3）已知关于的整式可以写成两个因式的积，其中一个因式是．求另一个因式和的值． （4）若可以分解成关于的两个一次式乘积的形式（每个一次式的系数与常数项都为整数），直接写出所有正整数的值． 【变式题5-1】.（24-25八年级上·辽宁抚顺·月考）【数学活动】 【变式题5-2】.计算： （1）；（2）； （3）；（4）． 由上面计算的结果找规律，观察图，填空： ．    李老师在课堂上布置了一项数学活动，由霖霖和欣欣两位同学分别完成左侧一列，右侧一列两道计算题，两位同学通过计算的结果，并结合图，得出了运算规律． 请你试着回答下面的问题： （1）计算：________；________；________． 【方法感悟】 （2）若，求的值． 霖霖同学利用运算规律，求解出了m与n的值，进而求出的值；而欣欣同学从运算的结果出发，先将等号左边的两个多项式相乘的结果算出来，再与等号右边的多项式对比，使得各项的系数都相等，这样也能够求出m与n的值； 丞丞同学积极思考，在解法上另辟蹊径，从方程的解入手，会得到一个关于n的方程，通过计算，也能够求出的值． 请你选择一名同学的解题思路，写出解答过程． 【学以致用】 （3）若可以因式分解为三个因式乘积的形式，若其中两个因式分别是，，求第三个因式． 【变式题5-3】.（2024·山西阳泉·一模）如图，小明在学习因式分解时，从不同角度分别表示大矩形的面积，再根据面积相等将多项式因式分解成．这种方法体现的数学思想是（    ） A．数形结合 B．分类讨论 C．公理化 D．由一般到特殊 【题型6】因式分解在整除问题中的初步应用 1.核心知识点 因式分解的定义；整除的概念（若，、为整数，则能被、整除）。 2.解题方法技巧 提取公因式法：将原式提取各项的公因式，化为“一个整式×一个整数”的形式； 验证法：判断变形后的结果中是否含有除数这个因数，若含有则能被整除； 步骤规范：先因式分解，再明确指出“原式可表示为除数与某整数的乘积”，最后得出整除结论。 【例题6】.（24-25八年级上·山西吕梁·期末）阅读理解： 我们已经知道，乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）可以用平面图形的面积来表示．    (1)如图1，图中的大正方形由两个小正方形及两个大小相同的小长方形构成，利用大正方形的面积等于其它四个图形的面积之和可以得到一个乘法公式，写出这个公式：________； (2)实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，如图2的图形表示的等式是：________； (3)试用画图工具画出一个几何图形，使它能表示等式：，其中． 【变式题6-1】.（2025·河南南阳·二模）对任意整数都能（　　） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【变式题6-2】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）对于任意整数，多项式都能（　　） A．被6整除 B．被7整除 C．被8整除 D．被9整除 【变式题6-3】.（25-26八年级下·全国·周测）对于任何整数，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除 【例题7】.（2026七年级下·全国·专题练习）用因式分解的知识，说明下列说法的正确性． (1)能被整除． (2)总能被整除． (3)两个连续奇数的平方差能被整除． 易错点 1.混淆因式分解和整式乘法，误将“积化和差”的整式乘法判定为因式分解； 2.忽略因式分解的对象是多项式，将单项式的恒等变形判定为因式分解（如）； 3.认为只要结果是积的形式就是因式分解，忽略“整式”要求，将含分式的变形判定为因式分解（如）； 4.利用整式乘法求字母系数时，展开因式后未将各项按标准形式排列，导致对应项系数匹配错误； 5.解决看错系数的因式分解问题时，无法区分“看错常数项保留一次项系数”“看错一次项系数保留常数项系数”的规律； 6.几何建模推导因式分解时，错误计算组合图形的长或宽，导致整式积的形式出错。 重点 1.理解因式分解的定义，掌握“多项式→几个整式的积”的核心特征，能准确识别因式分解变形； 2.掌握因式分解与整式乘法的互逆关系，能利用整式乘法检验因式分解的结果是否正确； 3.能根据多项式恒等的条件，利用整式乘法展开求因式分解中的字母系数； 4.理解因式分解的几何意义，能通过图形面积的不同表示方法推导因式分解恒等式； 5.掌握因式分解在整除问题中的初步应用，能通过提取公因式将原式化为“整数×整式”的形式证明整除。 难点 1.准确区分因式分解、整式乘法和一般的代数恒等变形，尤其是易混的形式判定； 2.利用因式分解与整式乘法的关系解决“已知一个因式求另一个因式及字母参数”的问题，掌握设未知因式、列方程组求解的方法； 3.理解看错系数的因式分解问题的本质，能准确提取正确的系数并合并求解原多项式； 4.建立几何图形与代数因式分解的联系，能通过拼图操作和面积表示推导因式分解恒等式，实现几何直观与代数运算的结合； 5.掌握因式分解的整体思想，能将因式分解与代数式求值、整除问题结合，实现知识的灵活迁移。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．将关于的多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知多项式分解因式后有一个因式是，则的值为（    ） A．4 B． C．12 D． 二、填空题 4．因式分解的结果是把一个多项式化为几个__________的积的形式． 5．如果是的一个因式，则的值为______． 6．已知二次三项式因式分解的结果是，则___________． 三、解答题 7．已知关于的多项式因式分解后有一个因式是，试求的值． 8．下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4)． 9．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $