圆锥曲线的定义与几何性质 课件-2026届高三数学二轮复习

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专题15 圆锥曲线的定义与几何性质 1 知识点1 椭圆与双曲线定义、方程的应用 知识点2 椭圆与双曲线的性质及其应用 知识点3 抛物线方程与性质的应用 ◆ 2 【考情分析】 圆锥曲线的定义与性质是解析几何的重要考点.选择题、填空题 考查定义的理解与简单应用；解答题以定义与性质为切入点.需熟练 掌握圆锥曲线的定义本质，注重数形转化思维，提高综合运用能力. 3 知识点1 椭圆与双曲线定义、方程的应用 例1（1）[2025·江西新余模拟]已知椭圆 的 左、右焦点分别为，，右顶点为，点在椭圆 上，且 ，若，则 ( ) A.1 B.2 C. D.3 [解析] 依题意，，则，故 . 在中，，且 ，所以 为等 边三角形，所以，得 ，则 .故选D. √ 4 （2）设双曲线的离心率为 ，实轴长为6， 若曲线上的点到双曲线的两个焦点的距离之和为26，则曲线 的方程为( ) A. B. C. D. √ 5 [解析] 因为双曲线的实轴长为6，所以，又因为双曲线 的 离心率为，所以，则，所以双曲线 的 方程为. 因为曲线上的点到双曲线 的两个焦点的距离之和为26， ，所以由椭圆的定义可知，曲线 是以双曲线的 两个焦点为焦点，长轴长为26的椭圆. 设椭圆 的方程为，则 ，所以 ， 因此椭圆 的方程为 .故选D. 6 【规律提炼】 椭圆和双曲线的方程问题求解策略：利用椭圆和双曲线的定义求解， 要注意二者的定义的区别，一个是“和”，一个是“差的绝对值”，要 利用转化与化归的思想进行适当的转化. 7 【巩固训练】 1.[2025·四川成都三模]已知动圆与圆 外切，同时 与圆内切，则动圆圆心 的轨迹方程为( ) A. B. C. D. √ 8 [解析] 设圆的圆心为，且与圆切于点 ，圆 的圆心为，且与圆切于点 . 由题意得，，其中 ，所以 . 由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹为以, 为焦点， 长轴长为6的椭圆， 设椭圆方程为，则,，所以 , ，故动圆圆心的轨迹方程为 .故 选A. 9 2.已知椭圆的左、右焦点分别为,，点 在 椭圆上，且 ,的延长线与椭圆交于点 ，若 ，则该椭圆的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 由题意知，， ，因为 ，所以 ， 即，解得，所以 ， 则，所以 ， ，所以该椭圆的方程为 ，故选C. √ 10 知识点2 椭圆与双曲线的性质及其应用 考向1 离心率问题 例2（1）[2025· 全国一卷]双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则 的离心率为( ) A. B.2 C. D. [解析] 由题知,即 ，则双曲线的离心率 .故选D. √ 11 （2）[2025·四川攀枝花三模]已知椭圆 的 上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆 于 另一点，若，则椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. [解析] 由题可知， ，根据 ，可设, ， 则，可得，所以, ， . √ 12 在 中，由余弦定理得 , 在直角三角形 为原点中，， 则 ， 代入①式可得，所以 ， 所以，所以离心率 . 考向2 渐近线问题 例3（1）[2025·安徽合肥模拟]已知椭圆 和 双曲线，双曲线的渐近线的斜率小于 ，则椭圆离心 率的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 14 [解析] 因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以 ， 所以. 设椭圆的焦距为，离心率为 ，则, 所以，又，所以 .故选B. （2）若直线与双曲线 有两个不同交点， 则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 双曲线的渐近线方程为 ，直线 与双曲线有两个不同的交点，又直线 过原点，所以，则的取值范围是 .故选B. √ 16 【规律提炼】 椭圆离心率求解策略：利用定义找到<m></m>，<m></m>的关系，可得离心率；借 助几何性质，如焦点三角形，结合三角函数等知识确定<m></m>，<m></m>的关系， 可得离心率；依据椭圆的标准方程，通过系数关系得出<m></m>，<m></m>的关系， 可得离心率. 双曲线离心率求解策略：从定义出发，依据双曲线上点到两焦点的 距离差与<m></m>的关系及焦点坐标，可得离心率；利用渐近线斜率与<m></m>，<m></m> 的关系，结合<m></m>推出<m></m>，<m></m>的关系，可得离心率；借助双曲 线的几何性质，如焦点三角形等相关条件确定<m></m>，<m></m>的关系，可得离 心率. 17 双曲线渐近线求解策略：由标准方程直接写出渐近线方程；已知离 心率<m></m>，结合<m></m>（双曲线方程为<m></m>或 <m></m>），求出<m></m>或<m></m>，得渐近线方程；利用双曲 线与渐近线的几何关系，如渐近线与坐标轴夹角等确定渐近线方程. 【巩固训练】 1.[2025·江苏淮安模拟]双曲线与双曲线 的渐近线 相同，且过点，则双曲线 的方程为( ) A. B. C. D. [解析] 设双曲线的方程为 ，，将 代入， 得 ，所以，则双曲线 的方程为 ，即 .故选B. √ 19 2.（多选题）[2025· 全国二卷]双曲线 的 左、右焦点分别为,，左、右顶点分别为,，以 为直径的 圆与的一条渐近线交于,两点，且 ，则( ) A. B. C.的离心率为 D.当时，四边形的面积为 √ √ √ 20 [解析] 对于A，由对称性知，四边形 是平行 四边形， ， ， 故A正确. 对于B，如图，不妨设直线 的方程为,点在第一象限， 由题知以 为直径的圆的方程为， 由解得 或则, 21 , 轴，在中，, ，，， 即 ，故 ，故B错误. 对于C，由B知为直角三角形，且 ，则 ，即, ， 设双曲线的离心率为 ,则, ,故C正确. ， ，， ，即四 边形的面积为 ，故D正确.故选ACD. 知识点3 抛物线方程与性质的应用 例4（1）[2025·北京卷] 抛物线 的顶点到焦点的距 离为3，则 ___. 6 [解析] 因为抛物线的顶点到焦点的距离为，所以，解得 . 24 （2）[2025· 全国二卷]设抛物线的焦点为，点 在上，过作的准线的垂线，垂足为.若直线 的方程为 ，则 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 方法一：由题知直线与轴交于点， 则,故 ,解得，即抛物线的方程为. 设直线与 轴交于点，则. 设准线与轴交于点 ，如图，由，得 ,故,代入 得，即， 故 . √ 25 方法二：由直线与轴交于点，知 ，所以,故， 所以抛物线的方程为 ，准线方程为， 所以，所以 ，代入抛物线的方程得 ，所以 . 26 【规律提炼】 （1）求解与抛物线有关问题时，要结合抛物线的定义，对抛物线上 的点到焦点的距离与到准线的距离灵活转化； （2）利用抛物线的性质解题时，要灵活运用抛物线的焦半径构造与 之相关的几何图形. 27 【巩固训练】 1.（多选题）[2024· 新课标Ⅱ卷]抛物线的准线为，为 上动点，过作的一条切线，为切点，过 作的垂线，垂足为 ，则( ) A.与 相切 B.当，，三点共线时， C.当时， D.满足的点 有且仅有2个 √ √ √ 28 [解析] 点到准线的距离为1,圆的半径为1，故 与 相切，选项A正确. 当，，三点共线时，， ，， 则，选项B正确. 当 时，,得,当点的坐标为时， , ，不满足； 当点的坐标为 时，,, 不满足 ，选项C不正确. 29 设抛物线的焦点为，则，连接， ,由抛物线的定义可得 ，则满足的点在线段 的垂直平分 ，易知线段的垂直平分线的方程为 , 由得 ,因为 ,所以满足的点 有且仅 有2个，选项D正确.故选 . 2.（多选题）[2025· 全国一卷]设抛物线的焦点为，过 的直线交于，两点，过且垂直于的直线交准线于 ， 过点作准线的垂线，垂足为 ，则( ) A. B. C. D. [解析] 方法一：如图，由抛物线的定义可知 ， 故A正确. 当轴时，不妨令, ，易知， 所以，，故B错误. √ √ √ 31 当不与轴垂直时，设直线的方程为 ，则直线 的方程为，所以 , 由可得 ，设 , ， ，， 所以 ； 当轴时，.故C正确. 当 轴时，，则； 当不与 轴垂直时，由C的分析知 , 由题易知 ，所以 ， 则.故D正确.故选 . 方法二（二级结论）如图，过点作准线 的垂线，垂 足为，设准线与轴的交点为 . 由抛物线的定义得,， 易知，分别为 和的平分线， 因为 ,所以 ，所以 ，所以 （事实上就是阿基米德三角形，两条直线， 都 是抛物线的切线），故A正确，B错误； 设直线的倾斜角为 ，由焦半径公式可知， ， ，故C正确； ,所以 ,故D正确. 故选 . 在椭圆、双曲线、抛物线问题中，要熟练掌握基本量的计算以及一 些常见的重要性质. 例1 （多选题）[2025·湖南长沙模拟]已知椭圆 的左、 右焦点分别为,，点是椭圆 上的一个动点，则下列说法 正确的是( ) A.椭圆 的长轴长为5 B.椭圆的离心率为 C. D.恰好存在两个点使得 √ √ 36 [解析] 由椭圆，可得,,，故椭圆 的 长轴长为，A错误； 椭圆的离心率 ，B正确； 点是椭圆上的一个动点，则 ，即 ，C正确； 由可知点位于以 为直径的圆上，,， 则该圆的方程为 ， 与联立，解得,，则或 或或，故满足题意的点 有4个，D错误.故选 . 37 例2 （多选题）[2025·山西太原三模]已知双曲线 的左、右焦点分别为，，是 上一点， 且， ，则( ) A. B.的离心率为 C.的面积为 D. √ √ √ 38 [解析] 对于A，由，解得 ，故A正确； 对于B，双曲线，所以， 的离心率 ，故B错误； 对于C，因为，所以 ， 则 的面积为，故C正确； 对于D，在 中，， 所以 ，故D正确.故选 . 39 例3 （多选题）[2025·安徽合肥模拟]已知抛物线 的焦点 为，过点的直线与交于， 两点，则下列说法正确的是 ( ) A.焦点到抛物线 的准线的距离为8 B. C.若线段的中点的横坐标为3，则 D.若，为原点，则 √ √ √ 40 [解析] 对于A，抛物线的焦点为 ，准线， 所以焦点到抛物线 的准线的距离为4，A错误； 对于B，设,，易知直线 不垂直于轴， 当直线垂直于轴时， ，此时, 得， 当直线 不垂直于轴时，设直线的方程为 ，由 得，则 则 ， 41 所以 ，B正确； 对于C，由线段 的中点的横坐标为3，可得 ， ，又 ，所以 ，C正确； 对于D，根据对称性，取直线 的斜率大于0，如图， 分别过点,作,，垂足分别为， ， 设直线与轴分别交于点, ，设，则, ， ，所以，得 ，则，则 ，故直线的斜率为，则直线的方程为 ， 与联立得，可得 , ，所以，可得 ，所以 ，D正确. 故选 . $