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长春市慧泽高中2025—2026学年高二年级下学期 数学学科第一次质量监测 时间120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】借助导数运算法则计算即可得. 【详解】结合题意得，则. 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 在上单调递减 D. 有极大值，没有极小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象得出导函数的符号分布情况，进而可得出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得解. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，仅时，；当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数只有一个极大值点，无极小值点， 所以有极大值，没有极小值， 故ABC错误，D正确. 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】m函数值的正负排除D，求出导函数确定函数的单调性，用排除法得正确结论． 【详解】，当时，，，排除D． 则， 单调递减，单调递增，排除C， 故选：A. 5. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设函数在区间上的“中值点”为， 求导得，而， 由“中值定理”得，得， 所以符合条件的“中值点”个数为2. 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数得函数在上单调递增，由单调性可得，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 7. 已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设过点的直线与相切于点，利用导数的几何意义，求出切线方程，代入点，根据关于的一元二次方程有两个不同解，利用求解即可. 【详解】因为，， 所以， 设过点的直线与相切于点， 则切线方程为， 代入， 得， 整理得， 因为有两条这样的切线， 所以此方程有两个不同解， 所以， 解得或， 所以实数的取值范围为. 8. 设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导结合题设条件判断其单调性，代值计算即可判断选项正误. 【详解】令，函数的定义域为，求导得， 因，，则，故函数在上均为增函数. 因，则，即，故可得，即C错误，D正确； 由可得，因， 显然，但由题设条件，无法推得的正负，故与的大小无法比较， 从而无法比较与的大小，故A,B错误. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A：若，则，故A正确； 对于B：若，则，故B正确； 对于C：若，则，故C错误； 对于D：若，则，故D正确. 10. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有27种 B. 所有可能的方法有9种 C. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 【答案】AC 【解析】 【详解】，，三名同学,每名同学都有三种选择，根据分步乘法计数原理， 所有可能的方法有种，故A正确，B错误； 同学A不去社区甲，则有2种选择；B不去社区乙，B也有2种选择；有3种选择. 根据分步乘法计数原理，同学A不去社区甲，B不去社区乙， 则不同的安排方法有种，故C正确，D错误. 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在上单调递增 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后利用导数正负可得其单调性及其极值，即可得A、B；结合零点存在性定理可得C；构造函数，利用导数可研究其单调性，再利用单调性计算其最值即可得D. 【详解】对A、B：， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，故A、B正确； 对C：由，， 故在上有一个零点， 当时，，故在上无零点， 故有一个零点，故C错误； 对D：令，则在上恒成立， ， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________． 【答案】48 【解析】 【分析】先确定五位数中的个位需为偶数的情况，再将其他数字进行全排列即可. 【详解】从2，4这两个字数字中选一个排在个位数，有 种，然后将剩余4个数字在其他位置全排列，有 种， 所以偶数的个数为个， 故答案为：48 . 13. 已知函数，则的值为______. 【答案】0 【解析】 【详解】由题意，， 则， 所以，则， 则. 14. 已知函数，，若对任意，存在，使成立，则a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用导数求得，分、和，求出函数的最大值，代入求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以， 由题意可得 又因为，开口向上，对称轴为， 当，即时，在上单调递减， 所以， 由，得， 所以； 当，即时，在上单调递增， 所以， 由，得， 又因为，所以； 当，即时， ， 所以当时， 由，得，所以； 当时，由，得， 所以； 综上，实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）求导，利用导函数的符号分析函数的单调性. （2）利用（1）的结论，可求函数在区间上的最值. 【小问1详解】 因为， 所以. 由或；由. 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得：函数在上单调递减，在上单调递增. 所以. 又，，所以. 综上，当时，函数的最小值为，最大值为. 16. 已知函数. （1）求在点处的切线方程（其中e为自然对数的底数）； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数求出切线斜率，利用求出切点坐标，代入点斜式方程可得答案； （2）利用导数判断出单调性可得答案． 【小问1详解】 ，切线的斜率为， 由得切点坐标为， 所以在点处的切线方程. 【小问2详解】 当时， 令，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得最小值，即. 因为，所以. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围. 【答案】（1）是函数的极大值点，无极小值点 （2） 【解析】 【分析】（1）直接对求导，利用导数研究函数的单调性，利用极值点的定义即可求出； （2）根据函数在区间上为减函数，利用分离参数法，得出对恒成立，再构造函数，根据导数确定函数在区间上的单调性，从而求出，即可得出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题可知，的定义域为， 当时，，， 令，则，而，解得：， 令，则，而，解得：， 的单调增区间为，单调减区间为， 故是函数的极大值点，无极小值点. 【小问2详解】 的定义域为， 函数在上单调递减， 在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 可知，当时，，即， 即在区间上，故在区间上单调递增， 则， 故实数a的取值范围为. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数与单调性的关系，分类讨论求解即可； （2）令，由题意可得函数与函数的图象在上有两个交点，求导，作出函数的图象，结合图象求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 令，当时，，， 当时，，当或时，，当时，， 因为，所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，，当或时，，当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 【小问2详解】 当时，令， 令，得或， 由题意可知，函数在定义域内有三个零点， 则函数与函数的图象在上有两个交点， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有最小值， 当时，，当时，， 所以函数的图象如图所示， 结合图象可知，要使函数与函数的图象在上有两个交点， 则，故实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）若在处的切线与直线垂直，求a； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的斜率可得的值，从而可求参数的值； （2）参变量分离结合同构求最值即可. 【小问1详解】 ，，解得 【小问2详解】 ，令 令，令，易得在上单调递增， 时，；时，， 故，.时，单调递增； 时，单调递减，故， 所以的最大值为，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市慧泽高中2025—2026学年高二年级下学期 数学学科第一次质量监测 时间120分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则（ ） A. 有2个极值点 B. 在处取得极小值 C. 在上单调递减 D. 有极大值，没有极小值 3. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心，其内容如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则内至少存在一个点，使得，其中称为函数在闭区间上的“中值点”.请问函数在区间上的“中值点”的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若曲线存在两条过点的切线，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 现安排高二年级，，三名同学到甲、乙、丙三个社区进行社会实践，每名同学只能选择一个社区，每个社区不限制志愿者名额，则下列结果正确的是（ ） A. 所有可能的方法有27种 B. 所有可能的方法有9种 C. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有12种 D. 若同学A不去社区甲，B不去社区乙，则不同的安排方法有14种 11. 对于函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处取得极大值 B. 在上单调递增 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为__________． 13. 已知函数，则的值为______. 14. 已知函数，，若对任意，存在，使成立，则a的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）求当时，函数的最值. 16. 已知函数. （1）求在点处的切线方程（其中e为自然对数的底数）； （2）当时，证明：. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的极值点； （2）若函数在上单调递减，求实数a的取值范围. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，若函数在定义域内有三个零点，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）若在处的切线与直线垂直，求a； （2）若恒成立，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $