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第九章·图形的相似 章末能力突破 一、选择题 1.如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项1 920×1080调整成1 400×1 050 时,由于比例改变(1 920 :1 080≠1 400 : 1 050),画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题.判断阿成将他的计算机画面分辨率从1 920×1 080调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域 ( ) A.1 680×1 050 B.1600×900 C.1440×900 D.1280×1024 2.已知 则 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 3.如图,在平面直角坐标系中，C为△AOB 的OA 边上一点,AC:OC=1:2,过 C 作CD∥OB 交 AB 于点 D,C，D两点纵坐标分别为1，3，则 B 点的纵坐标为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.将直角三角形纸片 ABC(∠C=90°)按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是 ( ) A. MN∥DE∥PQ B. BC=2DE=4MN C. D. 5.如图，一张锐角三角形纸片ABC,点 D,E分别在边AB,AC 上,AD=2DB,沿 DE 将△ABC 剪成面积相等的两部分，则 的值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图,在△ABC 中,∠BAC=108°,∠B=36°,分别以点A,C为圆心，以大于 AC 长为半径画弧，两弧交于点 D,E,作直线 DE 分别交AC,BC 于点F,G,以 G 为圆心,GC 长为半径作弧,交BC 于点 H,连接 AG,AH,下面结论错误的是 ( ) A. AH=2GF B.∠C=2∠BAH C. D. 7.宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形 ABCD 是黄金矩形(AB<BC),点 P是边AD 上一点,则满足 PB⊥PC 的点 P的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 8.如图，一棵树的顶梢点 A的影子落在台阶的G 点处.若台阶 CD=EF=HG=0.2m, DE=FG=0.4m, 台阶在地面的影子QM=0.45 m，树的底部到台阶的距离BC=1.9 m,则这棵树的高度 AB为 ( ) A.3.2m B.3.6m C.4m D.4.2m 二、填空题 9. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录.为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝.风筝的形状如图所示，其中对角线AC⊥BD.已知大、小风筝的对应边之比为3 ：1，如果小风筝两条对角线的长分别为 30cm和35 cm，那么大风筝两条对角线长的和为 cm. 10.如图，在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为矩形,OA =8,OC=6,连接AC,D 为AC 的中点,点 P在坐标轴上，若以 P，A，D为顶点的三角形与△ABC 相似,则点 P 的 坐 标为 11.如图,在△ABC 中,A,B 两个顶点在x 轴的上方，点C 的坐标是(1，0)，以点 C 为位似中心，在x 轴的下方作△ABC 的位似图形,并把△ABC 的边长放大到原来的2 倍得到△A'B'C，设点B 的横坐标是m，则点 B 的对应点 B'的横坐标是 . 12.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=5,CD=4,BD=12.点 P 在 BD 上移动,当以 P,C,D 为顶点的三角形与△ABP 相似时，则 PB 的长为 . 13.如图,在Rt△ABC 中,∠A=90°,点 M,N分别为AB，AC 上一个动点，以 MN 为对称轴将△AMN 折叠得到△DMN,点 A的对应点为 D，若点 D 落在 BC 上，且△AMN 与△ABC 相似,已知 AC =6,AB=8,则CD 的长为 . 三、解答题 14.如图,在△ABC 中,延长CB 至点D,使BD=BC,在 AC 上取一点 F,连接DF 交AB 于点E,过F 点作FH∥AB 交CD 于点H,已知AC=DE=3,EF=2. (1)求 DB: BH 的值; (2)求AF 的长. 15.如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为点A(-3,5),B(-4,1),C(0,3). (1)把△ABC 先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A₁B₁C₁，并写出点C₁的坐标； (2)以点O 为位似中心,将△A₁B₁C₁放大两倍得到△A'B'C'; (3)直接写出△ABC 的面积: . 16.如图,AC 是▱ABCD 的对角线,在 AD 边上取一点 F,连接 BF 交AC 于点E,延长BF 交CD 的延长线于点G. (1)若∠ABF=∠ACF,求证:△ECF∽△EGC; (2)若 DG=DC,BE=6,求 EF 的长; (3)在(2)的条件下,若S△AEF =3,求S四边形CDFE· 17. 一线三等角 如图,在△ABC 中,AB =AC,∠BAC=90°,P 为 BC 上的动点,小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点 P，三角板可绕 P 点旋转. (1)如图1，当三角板的两边分别交 AB，AC 于 点 E, F 时, 求 证: △BPE ∽△CFP; (2)将三角板绕点 P 旋转到图2 情形时，三角板的两边分别交 BA 的延长线，边AC 于点 E,F,△BPE 与△CFP 还相似吗?(只需写出结论) (3)在(2)的条件下,连接 EF,△BPE 与△PFE 是否相似?若不相似，则动点 P运动到什么位置时,△BPE 与△PFE 相似?说明理由. 18.如图,已知△ABC 是边长为6 cm的等边三角形，动点 P，Q同时从A,B 两点出发,分别沿 AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是1 cm/s,点 Q运动的速度是 2cm /s,当点 Q 到达点 C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t(s)，解答下列问题： (1)设△BPQ 的面积为 S(cm²),求 S 与t的函数关系式； (2)作QR∥BA 交AC 于点R,连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ. 综合与实践 综合与实践一 制作视力表 项目主题 标准视力表(E字表)中的数学知识 研究目标 探究视力表中蕴含的数学知识，通过探究活动，积累数学活动经验，发展综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力 研究过程 背景引入 近年来，我国近视发生率呈明显上升趋势，近视已成为影响我国国民尤其是青少年眼健康的重大公共卫生问题 实验操作 利用一张标准视力表，选择其中两行中的一个视标，使用硬纸板进行1：1复制，并分别标号①②，放置于桌面.将①②纸板中的②向右侧移动，直到右上侧点在同一直线为止，此时学生从右侧进行观测，发现在视角下二者大小相同，即视力相同 建立模型 探究上图中检测者眼睛和视标的距离与视标边长的比例的关系，即与之间的关系，并说明理由 解决问题 问题1：小明想制作一张测试距离为3米的“E”形视力表.如图所示，①号“E”是测试距离为5 m的标准对数视力表中视力为4.2的“E”字，其高度AB 为 45 mm，求小明在制作视力为4.2 的②号“E”字时,②号“E”的高度 CD 应为多少? (A,C,O 在一条直线上,B,D,O在一条直线上) 问题2：为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为5 m的视力表，但书房空间过小，小明同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题.如图，在相距3m 的两面墙上分别悬挂视力表(AB)与平面镜(MN)，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表 AB 的上、下边沿 A，B发出的光线经平面镜MN 的上下边沿反射后射入人眼 C 处，通过测量视力表的全长(AB)就可以计算出镜长MN.如果视力表的全长为0.8m，请计算出镜长至少为多少米 综合与实践二 直觉的误导 在数学综合实践课上，同学们将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片(其中a<b)，进行拼图操作. 【探究一】 甲同学将一张边长为8的正方形纸片按a=3，b=5的尺寸剪成4块，按图2所示重新拼合.这4块纸片恰好能拼成一个长为13，宽为5 的矩形吗? 甲同学经过操作和思考后，用反证法证实了图2不是矩形，他的理由如下： 如图3，过点 D 作DF⊥AC，垂足为F，假设图2 是矩形，那么图2的右下角就应是直角，于是，在图3中,有∠α+∠γ=90°,因为∠β+∠γ=90°,这样∠α=∠β. 又因为∠ACB=∠DFE,所以① ,可得② ,即 这是不可能的，因而图2不是矩形. 事实上，若按照甲同学的方案拼成的一个矩形的话，这个矩形内部是有空隙的. 在甲同学的证明过程中，①处填写的一组相似三角形是 ；②处的比例式是 ； 【探究二】 如图4，乙同学也将一张边长为8的正方形纸片用相同的方法，按一定的尺寸剪成4块进行操作.如图5，在拼图时让点A，E，D在一条直线上，点B，F，C也在一条直线上，这样拼成了一个矩形ABCD，他发现这个矩形内部重叠的纸片的面积为1. 根据乙同学的操作，求剪开的三角形纸片的短边a 的长； 【探究三】 丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠.在丙同学的操作中，求ᵃ/b的值. 1.B 2. D 解析: ∴a=2bc,b=2ac,c=2ab, 3. C 4. D 5. C解析：如图所示，过点 D作DF∥BC 交AC 于点F,证明出△AFD∽△ACB,得到 设S△APD=4s,S△ACB=9s,表示出 然后得到 进而求解即可. 6. D 解析：由作图可知DE 是AC的垂直平分线， ∴点 F 是AC 的中点. 以G为圆心，GC长为半径作弧，交BC 于点H,连接AG,AH, ∴CG=HG, ∴点G是CH 的中点, ∴GF 是△CAH 的中位线, ∴AH=2GF, 故 A选项正确； 由作图可知DE 是AC 的垂直平分线， ∴GF⊥AC,∴∠CFG=90°. ∵GF 是△CAH 的中位线, ∴GF∥AH, ∴∠CFG=∠CAH=90°. ∵∠BAC = 108°, ∴∠BAH = ∠BAC - ∵在△ABC中,∠BAC=108°,∠B=36°, ∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-108°- ∴AB=AC,∠C=2∠BAH,故 B选项正确; ∵DE 是AC 的垂直平分线,∴GC=AG, ∴∠CAG=∠C=36°. ∵∠C=∠C,∠CAG=∠B, ∴△GCA∽△ACB,∴CCCAC=△AC, ∵∠BAG=∠BAC-∠CAG=108°-36°=72°, ∴∠BAG=∠BGA,∴BG=BA. ∵AB=AC,∴BG=AC,∴BG²=BC·CG,故C选项正确； 设BC=a,CG=b,则.BG=BC-CG=a-b, 整理，得 或 (不符合题意，舍去), 故D选项错误. 7. D 8. C 9.195 10.(4,0)或( 或 解析：由题意可得∠B=90°,AB=CO=6,BC=OA=8, 如图1,当点 P在x轴上,且∠DPA=90°时, 此时△DPA∽△ABC,∴ABC=ADC, ∵D 为AC 的中点, ∴AP=4,OP=AO-AP=4, ∴P(4,0); 如图2,当点 P在x轴上,且∠PDA=90°时, 此时△DPA∽△BAC,∴AD=ABC, 如图3,当点 P 在y轴上,且∠PDA=90°时, ∵∠DCP=∠BAC,∴△ABC∽△CDP. ∵CD=AD,∴PD 是AC 的垂直平分线, ∴∠DCP=∠DAP,∴△ABC∽△ADP, 当点 P 在y轴上,且∠DAP=90°时,不成立. 11.-2m+3 12. 或2或10 13. 或5 14.解:(1)∵DE=3,EF=2,∴DE:EF=3:2.又∵FH∥AB,∴DB:BH=DE:EF= (2)∵BD=BC,DB:BH= ∵FH∥AB,∴AC:AF=BC:BH= 又∵AC=3,∴AF=2. 15.解:(1)如图,△A₁B₁C₁即为所求作;点C₁的坐标为(2,0); (2)如图,△A'B'C'和△A'B'C'即为所求作; 故答案为：7. 16.解:(1)证明:∵AB∥CG, ∴∠ABF=∠G. 又∵∠ABF=∠ACF, ∴∠ECF=∠G. 又∵∠CEF=∠CEG, ∴△ECF∽△EGC; (2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD. ∵DG=DC, ∴AB=CD=DG, ∴AB:CG=1:2. ∵AB∥CG, 即 ∴EG=12,BG=18. ∵AB∥DG, ∴EF=BF-BE=9-6=3; (3)过点 A 作AM⊥BG 于点M,过点 C 作CN⊥BG 于点N. ∵AB∥CG, ∴△ABE∽△CGE, ∴AM=2, ∴CN=4, ∵∠ABF=∠G,∠AFB=∠DFG,AB=CD=DG, ∴△ABF≌△DGF(AAS), ∴S四边形CDFE=S△CDF+S△CEF=9+6=15. 17.解:(1)证明:∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C=45°. ∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°, ∴∠BPE+∠BEP=135°. ∵∠EPF=45°, ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°, ∴∠BPE+∠CPF=135°, ∴∠BEP=∠CPF. 又∵∠B=∠C, ∴△BPE∽△CFP; (2)△BPE∽△CFP; 理由:∵在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠B=∠C=45°. ∴∠BPE+∠BEP=135°. ∵∠EPF=45°, ∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°, ∴∠BPE+∠CPF=135°, ∴∠BEP=∠CPF. 又∵∠B=∠C; ∴△BPE∽△CFP; (3)不相似.动点 P 运动到BC 中点位置时，△BPE 与△PFE 相似. 理由:同(1),得△BPE∽△CFP, ∴CP:BE=PF: PE,又∵CP=BP, ∴PB: BE=PF: PE, 又∵∠EBP=∠EPF, ∴△BPE∽△PFE. 18.解:(1)过 Q 作QE⊥AB,垂足为 E, 在 Rt△BEQ中, QB=2t,∴BE=t,QE= t. 由AP=t,得PB=6-l, (2)∵QR∥BA,∴∠QRC=∠A =60°,∠RQC=∠B=60°, ∴△QRC 是等边三角形, ∴QR=RC=QC=6-2t. ∴EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t, ∴EP∥QR,EP=QR, ∴四边形EPRQ 是平行四边形， 又∵∠PEQ=90°. ∴∠APR=∠PRQ=90°, ∵△APR∽△PRQ,∴ORPR=PRP, 解得 ∴当 时,△APR∽△PRQ. 综合与实践一 制作视力表建立模型 相等，理由如下： ∵P₁D₁∥P₂D₂, ∴△P₁D₁O∽△P₂D₂O, 即 解决问题 问题1：由题意，得 ∵AB=45 mm,OB=5000 mm, OD=3000 mm, ∴CD=27 mm, 答:②号“E”的高度 CD 应为27 mm; 问题2:如图,作CF⊥A'B'于F,交 MN 于E, 由题意知,A'B'=AB=0.8m,A'B'∥MN, ∴CE⊥MN,△CMN∽△CA'B', 由题意,得CE=2m,EF=3m, ∴CF=5m, ∴MN=0.32m, ∴镜长至少为0.32m. 综合与实践二 直觉的误导 解:探究一:①△ABC∽△DEF,( 探究二:由题意可得AB=CD=DE=8-a,∴AD=BC=8+8-a=16-a. ∵矩形面积为正方形面积减去重叠部分面积， 整理得 解得 ∵a<8, 探究三：∵丙同学将正方形纸片按照图1所示的方式剪成4块小纸片，用这4块小纸片恰能拼成一个矩形，且矩形内部无空隙也无重叠，如图： ∴矩形的面积等于正方形的面积， 由题意可得 AE=CH=a+b,DE=CD=AB=BH=b,EF=GH=a, ∴矩形边长AD=BC=a+2b, ∴由矩形的面积等于正方形的面积可得b(a+ 整理得 解得 ∵a,b为正数, 学科网（北京）股份有限公司 $