10.4三元一次方程组的解法（第2课时 三元一次方程组的应用）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

"该初中数学课件聚焦三元一次方程组的应用，通过三角形周长问题导入，引导学生从二元一次方程组过渡到三元，结合知识回顾（消元思想、五步解题法）搭建学习支架，帮助学生建立知识脉络。\n其亮点在于以探究案例（字母系数、三位数问题等）培养数学眼光（抽象能力）、数学思维（运算与推理）、数学语言（模型意识），如用表格梳理数位关系、通过数据矛盾强调检验，助力学生提升问题解决能力，教师可高效开展系统性教学。"

10.4 三元一次方程组 第2课时：三元一次方程组的应用 第十章 二元一次方程组 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 能够分析实际问题中的数量关系，找出三个等量关系，列出三元一次方程组；会用代入消元法或加减消元法求解所列方程组，并对解的实际意义进行检验；掌握列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 经历从实际问题抽象出三元一次方程组的过程，进一步体会数学建模思想；通过对比不同设元策略和消元方法，培养优化意识和灵活思维能力. 在解决具有现实背景的数学问题过程中，感受数学的应用价值；通过挑战含有三个未知量的实际问题，培养克服困难的信心和学习兴趣. 二元一次方程组的应用 核心步骤：审、设、列、解、答（五步解题法） 思想精髓： 将实际问题转化为数学模型，通过求解方程组解决问题。 三元一次方程组的解法 核心思想： 消元— 将“三元”转化为“二元”，再转化为“一元”。 主要方法：代入消元法、加减消元法。 关键策略：观察系数特点，灵活选择最优的消元顺序。 知识回顾 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 消元 消元 导入新课 已知某个三角形的周长为18 cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的.求这个三角形三边的长. （1）这个问题中有几个未知量？ 三个未知量：三角形三边的长 （2）几个相等关系？ 三个相等关系 三角形三边和 = 18 cm 两条边的长度之和 = 2×第三条边长度 两条边的长度之差 = ×第三条边长度 导入新课 已知某个三角形的周长为18 cm，其中两条边的长度之和等于第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的.求这个三角形三边的长. 三角形三边和 = 18 cm 两条边的长度之和 = 2×第三条边长度 两条边的长度之差 = ×第三条边长度 （3）如果设三角形三边的长分别为x cm、y cm、z cm，你能列出哪些方程？ x+y+z=18 x +y = 2z x − y= ​ z 新知探究 探究点1 求等式中字母系数问题 议一议 已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x= -1时，y=0；当x=2时，y=3；当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. （1）要确定a、b、c三个未知数的值，需要几个条件？ 三个条件. （2）问题中给出了几个条件？分别是什么？ 已知三个条件：是三组x、y的对应值满足已知等式. （3）如何利用这些条件列出方程？ 把 a，b，c 看作未知数 把已知 x、y 值代入原式 a-b +c=0 ① 4a+2b+c=3 ② 25a+5b+c=60 ③ 新知探究 探究点1 求等式中字母系数问题 议一议 （4）观察这个方程组，先消去哪个未知数比较简便？为什么？ a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 ① ② ③ 解：根据题意，列得三元一次方程组 ②-①，得 ③-①，得 ④与⑤组成二元一次方程组 a+b=1， 4a+b=10. ④ ⑤ 解这个方程组，得 a=3， b=-2. 把a=2，b=-2代入①，得 ∴a，b，c的值分别为3，-2，-5. a+b=1. ④ 4a+b=10. ⑤ c=-5. c的系数都是1，先消去c最容易. 已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x= -1时，y=0；当x=2时，y=3； 当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. 新知探究 探究点1 求等式中字母系数问题 议一议 （5）你还有其他解法吗？先消去a或b可以吗？试一试比较哪种更简便. a-b+c=0 4a+2b+c=3 25a+5b+c=60 ① ② ③ 解：根据题意，列得三元一次方程组 ①×4－ ② ，得 ①×25－ ③，得 联立④与⑤得： 2b－c=1， 5b－4c=10. ④ ⑤ 解这个方程组，得 b=-2 ， c= -5. 把b= -2, c= -5代入①，得 ∴a，b，c的值分别为3，-2，-5. 2b－c=1. ④ 5b－4c=10. ⑤ a=3. 已知：在等式y=ax2+bx+c中，当x= -1时，y=0；当x=2时，y=3； 当x=5时，y=60. 求a，b，c的值. 新知探究 探究点2 三位数问题 议一议 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 个位数字 十位数字 百位数字 三位数 原来 新数 （1）如何用代数式表示一个三位数？ （2）设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z， 完成下表 x y z 100z＋10y＋x x y z 100x＋10y＋z 100×百位数字＋10×十位数字＋个位数字. 新知探究 探究点2 三位数问题 议一议 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. （3）设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，问题中的相等关系如何表示？ ① 各数位上的数的和为14 x＋y＋z＝14 ② 百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 2x－y＝z ③ 新数比原数小99 (100z＋10y＋x)＋99＝100x＋10y＋z 新知探究 探究点2 三位数问题 议一议 解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z.由题意可得 ： ① ② ③ 解这个方程组，得 y=7， z=3. x=4， ∴这个三位数是473. x+y+z=14 2x-y = z 100z+10y+x+99=100x+10y+z 一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的.如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99.求这个三位数. 新知探究 探究点2 三位数问题 议一议 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审题，找题目中的等量关系 列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 设未知数 根据等量关系，列出相应的方程组 用“代入消元法”或“加减消元法”解方程组 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案(包括单位名称) 典例分析 例1：甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的.求这三个数. 解：设甲数为x，乙数为y，丙数为z.根据题意列方程组： 由方程③得：z＝， ④ 把④代入得： ⑤ ∴方程组的解： ∴甲、乙、丙三个数分别是10、15、10. 联立④ 、⑤ 解方程组得 ， 把5代入④ 得，z＝10. 典例分析 例2：某校七、八、九年级学生在植树节时参加植树活动，三个年级共植树50株.八年级植树的株数是七年级、九年级两组的和的，七年级植树的株数恰是八年级与九年级的和.求每个年级各植树多少株. 解：设七年级植树x株，八年级植树y株，九年级植树z株。 根据题意列方程组： 由方程③可得：x＝y＋z， 代入方程①得：(y＋z)＋y＋z＝50 ∴x＝25。 代入方程②：y＝×25 y＝6.25，这不符合实际（植树株数应为整数）. ⚠️ 发现“小意外”：数据矛盾 植树株数必须是整数，y=6.25 不符合实际意义，说明题目数据存在问题。 新知巩固 1.甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的 等于丙数的 ，求这三个数. 解:设甲、乙、丙三个数分别为x，y，z. x+y+z=35 2x=y+5 y=z 根据题意，列得三元一次方程组 解得 y=15， z=10. x=10， 答：甲、乙、丙三个数分别为10，15，10. 【选自教材P111 练习】 新知巩固 2.在等式 z=ax+by+c中，当x=1，y=2时，z=8；当x=2，y=1时，z=5；当x=-1，y=-1时，z=4；求a，b，c的值. a+2b+c=8， 2a+b+c=5， -a-b+c=4. ① ② ③ 解：根据题意，列得三元一次方程组 解这个方程组，得 b=2， c=5. a=-1， 【选自教材P111 练习】 答：a、b、c的值分别为-1，2，5. 拓展提升 1.两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答． 解:设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元、 第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，由题意得： 则：， 解得：，，； 100-40=60（个）． 故第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋． 真题感知 1．（2025·福州屏东中学校考）若方程组，其中不等于0，那么（    ） A． B． C． D． 解：， 得：， 整理得：， 得：， 整理得：， ∴， A 真题感知 2.（2025.南陵统考）如图是一个正方体的平面展开图，如果正方体相对的两个面上的式子的值相等，求未知的五个面上的数字的值． 解：根据题意得到一个三元一次方程组 解三元一次方程组得 ， 未知的五个面上的数字的值中间从左到右和下面的面依次是4、3、4、3、3. 真题感知 3（2025.铜陵校考）.购A、B、C三样商品各3件、2件、1件，共付款315元；购A、B、C三样商品各5件、3件、1件，共付款480元。求购A、B、C三样商品各1件共需多少钱。 解： ·设A、B、C三样商品的单价分别是x元、y元、z元.根据题意列方程组： ②－①，得 2x＋y＝165 ③ ①×2，得 6x＋4y＋2z＝630 ④ ②×1，得 5x＋3y＋z＝480 ⑤ ④－⑤，得 x＋y＋z＝150 作答：购A、B、C各1件共需150元。 课堂小结 知 识 总 结 （1）列三元一次方程组解决实际问题的一般步骤：审、设、列、解、验、答. (2)关键步骤：准确找出三个独立的等量关系.常见问题类型：求等式中字母系数问题、数字问题、和倍问题、比例问题、购物问题等. 课堂小结 方 法 总 结 (1)建模思想：将实际问题转化为数学问题（三元一次方程组），求解后再回归实际解释. (2)优化策略：根据方程组中未知数系数的特点，选择最优消元顺序（系数简单优先、缺某元消某元）. (3)检验意识：解后要代入原方程组检验，同时检验是否符合实际意义. 课堂小结 易 错 提 醒 (1)等量关系遗漏或重复：找出的三个等量关系不独立，导致方程组可解但解不符合实际。 (2)设元不当：设未知数时忽略单位，或没有根据问题特点选择直接设元或间接设元。 (3)解三元一次方程组消元策略不当：没有观察方程组特点，盲目消元导致计算复杂.（ 4）检验不完整：求出解后没有代入原方程组检验，也没有检验是否符合实际意义. 课后练习 教材p111页 3.在等式y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=-2；当x=-1时，y=20；当x= 与x= 时，y的值相等.求a，b，c的值. 解：根据题意，得三元一次方程组 解得 答：a的值为6，b的值为-11，c的值为3. 习题10.4 课后练习 4.一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11.求这个三位数. 解:设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z . 根据题意，列得三元一次方程组 解得 ∴这个三位数是245. 教材p111页 习题10.4 课后练习 5.甲地到乙地全程是 3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4km，下坡每小时走5 km，那从甲地到乙地需 51 min，从乙地到甲地需 53.4 min. 从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少? 解:设从甲地到乙地时，上坡的路程是x km，平路的路程是y km，下坡的路程是 z km. 根据题意，列得三元一次方程组 答:从甲地到乙地时，上坡的路程是1.2 km，平路的路程是0.6 km，下坡的路程是1.5 km. 解得 教材p111页 习题10.4 谢谢聆听 $