课时分层检测(22)利用导数解决函数的相关问题-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

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班级 姓名 得分 课时分层检测（二十二） 利用导数解决函数的相关问题 ;5.某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千 …0 基础达标练 0 台)的函数：y1=17x2(x>0),生产成本y2 1.已知函数f(x)的定义域为[一1,4]，部分对 (万元)是产量x(千台)的函数：y2=2x3-x2 应值如下表. (x>0),为使利润最大，应生产 2 3 千台 f(x) 2 2 0 6.若函数f(x)=x2e一a恰有三个零点，则实 f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示. 数a的取值范围是 当1<a<2时，函数y=f(x)-a的零点的 :7.设函数f(x)=ax3-3.x十1(x∈R),若对于 个数为 任意x∈[-1,1]，都有f(x)≥0成立，则实 数a的值为 (x) 8.用长度为18m的钢条围成一个长方体形状 、4 的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1. 问：该长方体的长、宽、高各为多少时，其体 A.1 B.2 C.3 D.4 积最大？最大体积是多少？ 2.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为 ( A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知f(x)=n,则 ( x A.f(2)>f(e)>f(3) B.f(3)>f(e)>f(2) C.f(3)>f(2)>f(e) D.f(e)>f(3)>f(2) 4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进 一批商品.若该商品零售价定为P元，销量 为Q,销量Q(单位：件)与零售价P(单位： 元)有如下关系：Q=8300一170P一P2,则最 大毛利润为（毛利润=销售收入一进货支 出) A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元 115 班级 姓名 得分 9.已知函数f(x)=ae2十bx+1在x=0处有！3.将一块2m×6m的矩形钢板按如图所示的 极值2. 方式划线，要求①至⑦全为矩形，沿线裁去 (1)求a,b的值； 阴影部分，把剩余部分焊接成一个以⑦为 (2)证明：f(x)>ex-x. 底，⑤⑥为盖的水箱，设水箱的高为xm,容 积为ym3. ② ⑥ ① ⑦ ③⑤ ④ (1)写出y关于x的函数关系式； (2)当x取何值时，水箱的容积最大？ :4.证明ex≥x+1≥sinx十1(x≥0). …0 能力提升练0… 1,已知不等式≤上对任意的正实数x恒 成立，则实数的取值范围是 ( A.(0,1] B.（-∞，1] C.[0,2] D.(0,2] 2.已知曲线f(x)=-x3+3x2十9x十a与x轴 只有一个交点，则实数a的取值范围为 116则k=一lnx6 所以函数的极大值为f(一2)=0，极小值为f(2)=一32， Jo 当x→一∞时，f(x)<0,当x→十∞时，f(x)>0 令h(x)=- 所以函数的零点个数为2.] 则h'(x)=l血x-1 3.D[由fx)=兰(x>0),则f(x)=1n兰，令f)>0,解得 2 0<x<e,令f(x)<0,解得x>e,所以函效f(x)的单调递增区间为 令h'(x)>0,即Inx>1,解得x>e, (0,e),单调递减区间为(e,十o∞)，故当x=e时，f(x)mx=f(e),而 令h'(x)<0,即lnx<1,解得0<x<e, 则h(x)在(0，e)上单调递减，在(e,十∞)上单调递增， f(2)=1n2_ln8 6,f(3)—口3=D2,所以f(e)>f(3)f(2),7 3 所以h(x)≥h(x)mn=h(e)=-lhe=- !4.D[设毛利涧为L(P). e e. 则L(P)=PQ-20Q=(8300-170P-P2)(P-20) 所以≥] =-P3-150P2+11700P-166000. 2.A[因为函数f(x)=e一x十a的图象始终在x轴的上方，所以 所以L'(P)=-3P2-300P+11700. f(z)=e-x十a>0对-切实数x恒成立，即f(x)m>0,f(x)= 令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去). ex-1,令f(x)=0,解得x=0,当x<0时，f(x)<0,则f(x)在 此时，L(30)=23000. (一∞，0)上单调递减：当x>0时，f'(x)>0,则f(x)在(0，十∞)上 根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元 单调递增，所以当x=0时，f(x)取得极小值即最小值，最小值为： 时，最大毛利润为23000元，] f(0)=1十a,所以1十a>0,即a>-1,故实数a的取值范围为(-1,5.6[设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3十18x2 +∞).] (x>0),.y=-6x2+36x=-6.x(x-6).令y'=0,解得x=0或 3.(7,十∞)[f(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x十2)，令f(x)=0,得：x=6,经检验知x=6既是函数的极大值点又是函数的最大值点.] x=1或x=一3 2 .(0,g）[令g(x)=xe, f=1-2+5=（号）=号++5=5器 2 则g'(x)=2.xe十x2e=xe(x十2). 令g(x)=0,得x=0或一2， 又f-1)=-1-分+2+5=号f2)=8-2-4+5=7。 1 11 ∴g(x)在（一2,0）上单调递减，在(-∞，一2)，(0，十∞)上单调递增. 所以f(x) =f(2)=7,所以m>7.] 4.解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，十o∞)， g6a=-2》= 有f(x)=x+1 g(x)框小准=g(0)=0, 又f(x)=xe一a恰有三个零点。 当x∈[1，e]时，f(x)>0, fx)在区间[1，e]上为增函数， ∴f0m=fe)=2e+1,fx)m=f)=之. 7.4[若x=0,则不论a取何值，f(x)≥0显然成立； 2)证明设F)=f)Re)=宁2+hx号， 当>0即x(0,1]时，f(x)=ar3-3x+1≥0可化为a≥是 则F(x)=x+1-2x2=1-x)(1十x+2x2) 子成)=是立，时)=2，所以g)在区同 x 当x∈(1，+o∞)时，F()<0,F(x)在(1，十o∞)上单调递减，且FI)= (0,宁]小上羊洞递培，在区问[侵]小上单洞递减，因光g) 1∠0 6 g(分）=4，从而a≥4：当x<0即x∈[-1.0)时f(x)=a 故当x∈(1，十o∞)时，F(x)<0, +h<号 3+1≥0可化为a≤号一子R在区间[-一1,0上单调递增，周比 在区间(1，十o∞)上，函数fx)的图象在函数g)=号x的图象 g(x)mim=g(-1)=4,从而a≤4.综上，a=4.] .解设长方体的究为xm,则长为2xm,高为h=1812=4,5 的下方 创新拓展练 4[由题意得，f(x)=3ax2-3,当a>1时，令f(x)=3ax-3=0, 3x(<x<2) 解得=土区，士叵∈[-1,1门. 所以长方体的体积V(x)=2x2(4.5一3x)=9x2 6x(0<<2) ①当-1≤<-正时，f(x)>0,f()单调递增： 从而V'(x)=18x-18.x2=18.x(1x) @当一巨<<时，f(<0f)单调递减 令V(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1, 3 当0<x1时，V'(x)>0,当1<x<之时，V'()<0. ③当互<≤1时，f(x)>0,f(x)单调递增。 故在x=1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最 大值 所以只常f(慢)户0，且(-1)≥0即可 从而最大体积Vmm=V(1)=9X]2-6×13=3(m2),此时长方体的 长为2m,宽为1m,高为1.5m, ）≥0，得a· a -3.叵+1≥0，解得≥4， 9.解(1)由已知，f(x)=ae+b,则 由f(一1)≥0，可得a4,综上可得a=4.] 5f(0)=ae°+b=0, f(0)=ae°十b×0十1=2. 课时分层检测（二十二） 经检验，a-1,b=-1符合题意， 基础达标练 (2)证明由(1)可知，f(x)=e一x十1. 1.D[根据导函数图象知，2是函数的 要证f(x)>ex-x,只需证er-x十1>ex-x,即e-e.x十1>0. 极小值点，函数y=f(x)的大致图象 如图所示 设g(x)=e-ex十l,则g'(x)=er-e, 由于f(0)=f(3)=2,1<a<2,因此 2 y=f(x) 令g(x)=0,解得x=1, y=f(x)一a有4个零点.] 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表 2.C[由题意得f(x)=3x2-12 x (-0∞，1) (1,+∞) 3(x十2)(x-2), 5-4-3-2-1012345x 令f(x)>0,得x>2或x<-2: g'(x) 0 令f(x)0,得一2x2, 3 所以函数的单调递增区间为（一©∞， g(z) 单调递减 1 单调递增 2),(2,十∞)，单调递减区问为 所以当x=1时，g(x)有最小值g(1)=e1一e×1十1=1>0. (-2,2), 故f(x)>ex-x成立. 181 能力提升练 8.D[当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-(2a-1-1)=2a, 1.A[令y血k卫，剥y=1一血卫，可以验证当y=0即x=e, 2am-1,.an=2an-1,又a1=S1=2a1-1,.a1=1,.{an}是公比为 x x 2,首项为1的等比数列，所以an=2”-1,由an=2-1<2021得n-1 =时，m -冬又对>0恒成立<日 e e e ≤10，即≤1，所求和为S2=2047.故选D] 得k≤1，又kx>0,x>0,.k>0,.0<k≤1.] 9,BD[对于A.0=9-2,解得n=立，故A不满足： 2.(aa<-27或a>5}[f'(x)=-3.x2+6x+9. 对于B,3=9一2n,解得n=3,故B满足： 令f(x)=0,解得x=一1或x=3. 对于C,5=9-2n,解得n=2,故C满足： 当f(x)>0时，-1<x<3: 对于D,7=9-2,解得n=1,故D满足.] 当f(x)0时，x<-1或x>3, 10.AD[由等比数列的性质，可得a号=a1·a=4,由于奇数项的符号 所以当x=一1时，f(x)取得极小值为f(一1)=a一5： 相同，可得a=2,因此A正确：若a1十a3>0,则a2十a1=g(a1十 当x=3时，f(x)取得极大值为f(3)=a十27. a3),其正负由g确定，因此B不正确；若aga1,则a1(g一1)>0，于 画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值： 是ag一a2=a1g(q-1),其正负由q确定，因此C不正确：若a2 小于0（如图1）或极小值大于0（如图2）， a1>0,则a1q>a1>0,可得a1>0,q>1,所以1十g>2g,则a1(1十 g2)>2a1q,即a1十a3>2a2,因此D正确.故选A、D.] 1.AD[调为2生2-二+3所以十3=2（公+小 an+l an an 又工十3=4≠0，所以{日十3}是以4为首项，2为公比的等比数 L an 图1 图2 列，1+3=4×2-1，即a=23 故选项A、B正确：由{an}的 an 所以a十27<0或a-5>0,解得a<-27或a>5 故实数a的取值范围为{aa<-27或a5}.] 通项公式为4n2+1一3 1 知，{an}为递减数列，选项C不正确：因为 3.解(1)由水箱的高为xm,得水箱底面的宽为(2一2x)m,长为： 6-22=(3-x)m =2+1-3,所以{】}的前n项和Tn=(22-3)十(23-3)十 an 2 故水箱的容积y=(2-2x)(3-x)x=2x3-8.x2十6x(0<x1). +(2+1-3)=2(2+2+…+2)-3m=2×2X01,2）-3m 1-2 (2)由(1)得y'=6.x2-16x+6,令y'=0, 2m+2-3n-4.选项D正确，故选A,B、D.] 解得x=士（舍去）或工=】 3 3 12.AC[由题意，可得三=十23：a,}和6，}均为等差数列， n+1 所以y=2x-8x2+6x(0<x<1)在(0,4 3 }内单调递增，在 .S2m-1 (2m-1)(a十a2-=(2n-1)a,同理，T-1=(2n-1） 2 (互）内单调递减· 3 二。123=7十是若会为整数，则只有 b…b-T2n 2n-1+1 所以当工=4时，水箱的容积最大 n=1,2,4,8.故选A、C] 3 13. n [设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n,当n≥2时， 4.证明令f(x)=e-x-1(x≥0)， (n-1) 则f(x)=e-1≥0， T n .f(x)在[0，十∞)上单调递增， a.=Tm产1] ∴.对任意x∈[0，十∞)，有f(x)f(0),而f(0)=0, 14.63[:a1,a1是方程x2-5x十4=0的两根，且g>1, .f(x)≥0，即e≥x十1. a1=1,a3=4,则公比q=2, 令g(x)=x-sinx(x≥0)， 则g'(x)=1一cosx≥0， 因此5=1X0,29=63.] 1-2 …g(x)≥g(0),而g(0)=0, !15.48[由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成等比数列 x一sinr0, {an},且a1=2,q=2,∴.an=2",由1MB=20KB,则2”=64×210= .x十1≥sinx十1(x≥0). 26,.n=16,即病毒共复制了16次..所需时间为16×3=48（分 综上，e≥x十1≥sinx十1. 钟).] 章末检测卷（一） :16.2600.[由a1=1,a2=2且a+2-a,=1+(-1)"(n∈N“)知， A卷一基本知能盘查 当n为奇数时，an+2一an=0: 1.D[由2023=1十3(n-1),解得n=675.] 当n为偶数时，aa+?一a,=2. 2.A[当r-1时，数列{a}显然为等差数列：当数列{an}为等差数列！ 所以前100项中，奇数项为常数项1，偶数项构成以a2=2为首项， 如常教列时r=子.故“r-1”是“数列{口，)为等差数列”的无分不必 2为公差的等差数列.所以S10=50×2+50X4型×2+50×1= 2 要条件.」 2600.] 3.ACa十a十ai,十2a,a≥4u:a4u=4a1ao=400当且仅当7.解（设的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. a7=a11=10时等号成立，.a?十a11≥20.] 4.C[因为a3十4S2=0,所以a1q2+4a1十4a19=0,因为a1≠0，所以 所以{am}的通项公式为an=a1十(n-1)d=2n-9. 9+4g十4=0，所以q=-2,故选C.] (2)由(1)得S,=十a·m=m-81=(m-4)2-16. 1=1+1, 5.D迪aa.十得a4 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为一16. 18.解(1)因为an+1=an十2，所以an+1-an=2, 所以数列{}是等发数列，首项-2，公差为1 又a1=2,所以数列{an}是首项为2，公差为2的等差数列，所以 a 所以，1=2+(2023-1)×1=2024. S.=2m+nm卫×2=m+ 2 42023 (2)由(1)可知Sn=n2十n=n(n十1)， 则a2023=202] 3 所以5n(n十1)=31 6.D[因为a+1=Sn+1一Sm,所以Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn),所以 （”n+1: 1 Sn 。,所以数列S,是以S=a4=1为首项，号为公比的 所以工=3（什223+十22十） 数列所以s=(径) =3(1-2m市)厂2m中 B这开始的细胞数布年小时后的约胞数为成的数列为a.刻9.解少614，十21十子6m3,所以2十鬼 Ja1=2, a,f=2a.-1=1·2014,=20-1+1, 首项为3，公差为6的等差数列， a7=65.] 所以S.=3n+nm,1卫×6=3m. 2 182