专题23.1-23.3 一次函数及其性质（优等生讲义）2025-2026学年人教版数学八年级下册

"本讲义聚焦一次函数及其性质核心知识点，系统梳理正比例函数与一次函数的概念、解析式、图象特征（形状、位置、增减性）及k、b的几何意义，构建从概念理解到待定系数法应用，再到与方程、不等式关系的递进式学习支架。\n资料以思维导图总览知识体系，知识梳理表对比核心要点，7大考点精讲结合方法总结与典型例题，培养抽象能力、推理意识和模型观念。课中辅助教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生巩固提升，查漏补缺。"

专题23.1-23.3 一次函数及其性质（优等生讲义） (2025-2026学年人教版数学八年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 正比例函数和一次函数的概念，能根据条件确定函数表达式。 · 掌握 正比例函数与一次函数的图象特征（形状、位置、增减性），理解 k、b 的几何意义。 · 熟练运用 待定系数法求一次函数解析式。 · 理解 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象求方程的解或不等式的解集。 · 会画 一次函数的图象，能根据图象分析函数的性质（增减性、象限分布）。 · 体会 数形结合思想在函数学习中的核心地位，提高综合应用能力。 ✨ 核心思想：函数模型 → 图象特征 → 性质应用 → 方程不等式统一。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 正比例函数的概念与解析式 · 一般形式：（ 是常数，）。自变量 的次数为1，没有常数项。 · 判断正比例函数：必须满足① 形式；② ；③ 自变量的指数为1。 · 正比例函数是特殊的一次函数（一次函数中 ）。 ☆ 2. 正比例函数的图象与性质 · 图象：经过原点 的一条直线。 · 当 时，图象经过第一、三象限， 随 增大而增大。 · 当 时，图象经过第二、四象限， 随 增大而减小。 · 越大，直线越陡（越靠近 轴）。 ☆ 3. 一次函数的概念 · 一般形式：（， 为常数，）。 · 当 时，即为正比例函数。 · 一次函数中自变量的次数必须为1，且系数不为0。 ☆ 4. 一次函数的图象 · 图象是一条直线，可由两点确定（通常取与坐标轴的交点）。 · 决定方向（倾斜程度）： 直线从左到右上升； 直线从左到右下降。 · 决定与 轴的交点：。 · 直线经过的象限由 、 的符号共同决定（见表格）。 ☆ 5. 一次函数的性质 · 增减性： → 随 增大而增大； → 随 增大而减小。 · 直线平移规律： 向上（或下）平移 个单位 → ；左右平移（左加右减）。 ☆ 6. 一次函数与方程、不等式的关系 · 一元一次方程 的解 ⇔ 直线 与 轴交点的横坐标。 · 二元一次方程组的解 ⇔ 两条直线交点的坐标。 · 一元一次不等式 的解集 ⇔ 直线在 轴上方的部分对应的 取值范围。 ※ 知识总结表（核心要点） 类别 表达式 图象特征 性质（k的作用） b的作用 正比例函数 () 过原点直线 ↗； ↘ 无，过原点 一次函数 () 直线，与y轴交 ↗； ↘ 决定与y轴交点位置 k的几何意义 斜率，越大直线越陡 b的几何意义 截距，直线与y轴交点的纵坐标 核心考点 ·7大考点精讲 【考点1】正比例函数的概念（对应题1-6） ❤ 方法总结 · 判断正比例函数：形式为 ，且 ，自变量次数为1，无常数项。 · 若函数 是正比例函数，则令常数项为零且系数不为零，解方程求参数。 · 待定系数法求正比例函数只需一个点（原点除外）。 1．（2025春•桦甸市期末）若y＝x+3﹣b是正比例函数，则b的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣1 2．（2025秋•贵阳期末）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C．y＝4x2 D． 3．（2025春•滑县月考）下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣8x B． C．y＝5x2+6 D．y＝﹣0.5x﹣1 4．（2024春•同步）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4，当k＝　 　 ，该函数是正比例函数． 5．（2025春•巴音郭楞州期末）已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数． （1）求m的值． （2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 6．（2025春•武威期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣1． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝9，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【考点2】正比例函数的图象（对应题7-12） ❤ 方法总结 · 正比例函数图象是过原点的直线，根据 的符号判断象限： 过一三； 过二四。 · 利用两点法（通常取 和 ）快速画图。 · 与一次函数图象共存问题：根据符号一致性判断（如 与 中 与 的符号关系）。 7．（2025•秦都区校级一模）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 8．（2025秋•历城区期末）在同一个平面直角坐标系中，函数y＝x+a与y＝ax（a为常数且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 9．正比例函数y＝5x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 10．（2025春•昭平县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA1＝1．作A1B1⊥x轴交直线l于点B1，以O为圆心，OB1为半径画弧，交x轴正半轴于点A2，作A2B2⊥x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2为半径画弧，交x轴正半轴于点A3，作A3B3⊥x轴交直线l于点B3，以O为圆心，OB3为半径画弧，交x轴正半轴于点A4…按此作法进行下去，则点A2025的横坐标为　 　 ． 11．在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图象： （1）y＝2x+2； （2）y＝2x； （3）y＝2x﹣2．完成下列表格再作出图象． x 0 1 y＝2x 　 　 　 　 y＝2x+2 　 　 　 　 y＝2x﹣2 　 　 　 　 12．（2025秋•同步）在平面直角坐标系中，画正比例函数y＝﹣2x的图象． 【考点3】正比例函数的性质（对应题13-20） ❤ 方法总结 · 增减性由 决定：， 随 增大而增大；， 随 增大而减小。 · 比较函数值大小：若 ，则 越大 越大； 则相反。 · 利用面积或构造规律求坐标（如题10中利用半径规律求点横坐标）。 13．（2025秋•宝应县期末）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线l⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，⋯Bn，如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2026的值为（　　） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 14．（2025春•红桥区期末）函数y＝﹣2x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 15．（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数y＝3x，当2≤x≤4时，y的最大值等于 　 　 ． 16．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，其中a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 　 　 ．（用“＜”符号连接） 17．（2024秋•长安区校级月考）已知，若y的取值范围是﹣1≤y≤1，则x的最小值为 　 　 ． 18．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　 　 时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 19．（2025秋•深圳期中）在正比例函数y＝（m﹣1）x中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：　 　 ． 20．已知函数y＝（m﹣1）xm2﹣3是正比例函数． （1）若y随x的增大而减小，求m的值； （2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【考点4】一次函数的概念（对应题21-23） ❤ 方法总结 · 一次函数形式：，要求 ，自变量指数为1。 · 若函数含参数，根据指数和系数条件列方程（组）求参数值。 · 注意： 是一次函数，则二次项系数必须为0且一次项系数不为0。 21．（2025秋•深圳期中）已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，则k＝　 　 ． 22．已知y＝（m﹣3）x2+（m+3）x﹣5（x≠0）是y关于x的一次函数，则m的值为　 　 ． 23．（2025春•内江校级期中）一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　） A．m≠2，n＝2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝1 D．m＝2，n＝1 【考点5】一次函数的图象（对应题24-29） ❤ 方法总结 · 根据 、 的符号判断直线经过的象限： 必过一三； 必过二四； 决定与y轴交点在上半轴或下半轴。 · 绝对值函数 的图象是“V”形，顶点在 ，利用图象求最值。 · 由图象读取信息：与坐标轴交点坐标、函数值的正负区间。 24．（2025秋•蒙城县月考）一次函数y＝kx+b与y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 25．（2024春•齐齐哈尔期末）一次函数y＝3x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 26．（2024秋•南山区期中）直线y＝kx+b的图象如图所示，则代数式7k﹣b的值为 　 　 ． 27．一次函数y＝ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，化简：　 　 ． 28．（2024秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 　 　 ． 29．（2024春•永城市期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数y＝|x+1|的图象和性质，部分过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． （1）请补全该函数的图象； （2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：　 　 ； （3）已知函数y＝|x+n|（其中n为常量），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为n+3，请求出满足条件的n的值． 【考点6】一次函数的性质（对应题30-39） ❤ 方法总结 · 增减性： 递增， 递减。 · 一次函数 的图象不经过哪个象限：由 、 符号组合判断。 · 当一次函数含有绝对值时，转化为分段函数研究最值（如 有最小值 -1）。 · 利用函数性质求参数范围：如 随 增大而增大，则 ；图象与y轴负半轴相交则 。 30．（2025•金台区模拟）在一次函数y＝ax+b（a≠0）中，y随x的增大而增大，且其图象与y轴交于点（0，﹣3），则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 31．（2025秋•云岩区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k，b）为常数，且k≠0，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 32．（2025春•夏津县校级月考）一次函数y＝6x﹣1的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 33．（2025秋•宝鸡月考）已知（5，y1），（﹣5，y2）是直线y＝﹣5x+b上的两个点，则y1　 　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 34．（2025春•平谷区期末）若函数y＝（2k﹣6）x+1是关于x的一次函数，y随x增大而增大，则k的取值范围是 　 　 ． 35．（2026春•云岩区校级月考）直线l：y＝kx+3﹣2k（k≠0），OH⊥l，垂足为H（m，n），则m2+n2的最大值为　 　 ． 36．（2022秋•龙岗区校级期中）已知函数y＝﹣kx+b的草图如图，则b的值为 　 　 ． 37．（2025秋•高陵区期末）已知动点A（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点B的坐标为（﹣3，0）． （1）y＝　 　 （用含x的代数式表示），其中x的取值范围是　 　 ． （2）请在如图所示的平面直角坐标系中描出点B的位置，并画出y关于x的函数图象． （3）当点A与点B之间的距离最小时，直接写出此时点A的坐标． 38．（2025春•鞍山期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数y＝|x﹣2|﹣1的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 m 3 2 1 0 ﹣1 0 1 … 其中m＝　 　 ； （2）在图中的平面直角坐标系xOy中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数y＝|x﹣2|﹣1有最大值还是最小值？并直接写出当x为何值时，y的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数y＝|x+n|﹣1（其中n＞0），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为3﹣n，求n的值． 39．（2024秋•利辛县校级月考）已知一次函数y＝（3+2m）x﹣m﹣3的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值； （2）求该图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【考点7】一次函数与方程、不等式（对应题40-48） ❤ 方法总结 · 方程 的解 ⇔ 直线与 轴交点的横坐标。 · 方程组 的解 ⇔ 两直线交点的坐标。 · 不等式 的解集 ⇔ 直线在 轴上方的部分对应的 范围。 · 利用图象比较函数值大小：交点两侧根据高低判断。 40．（2025秋•夏县期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 41．（2025春•献县校级月考）若关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝bx+a一定经过点（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 42．（2025秋•利辛县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论： 甲说：方程kx+b＝x+a的解是x＝3； 乙说：当x＜3时，y1＜y2． 其中正确的结论有（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 43．（2024秋•雁塔区校级期末）已知直线y＝﹣2x与直线y＝kx+b相交于点E（a，8），则关于x，y的方程组的解是　 　 ． 44．（2025秋•蕉岭县期末）如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　 　 ． 45．（2024春•武城县月考）如图，已知函数y＝ax+b和的图象交于点P，根据图象，可得关于x的二元一次方程组的解是 　 　 ． 46．（2025春•奉贤区期中）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，0），且与直线y＝2x都经过点P（m，4）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当y＝kx+b的函数值大于y＝2x的函数值时，求x的取值范围． 47．（2025秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象经过点A（2，2）． （1）求k的值； （2）当﹣2≤x≤2时，求函数y的最大值与最小值的差； （3）当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差是否会随着m的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 48．（2025春•西城区校级期中）在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式|x﹣1|﹣2≥0． （1）他选择通过描点法画函数y＝|x﹣1|﹣2的图象． 自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣1 ﹣2 m 0 … 其中，m＝　 　 ； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式|x﹣1|﹣2≥0的解集为　 　 ． （2）在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现： ①若关于x的函数y＝|x﹣1|﹣2+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，则b的取值范围为　 　 ； ②若关于x的函数y＝|kx﹣1|﹣2，当x≥1时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为　 　 ． 随堂检测 · 精选练习 1．（2023春•西城区校级月考）请写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的表达式：　 　 ． 2．（2025秋•郫都区校级期末）如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为　 　 ． 3．（2024秋•义乌市期末）已知一次函数y＝﹣x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最大值为 　 　 ． 4．（2025•海门区校级开学）如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P． （1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：　 　 ； （2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1（课后第1题） — 正比例函数系数大小比较：根据图象陡峭程度判断 k 的大小关系。 · 作业2（课后第2题） — 正比例函数定义与象限限制：利用指数条件与象限符号求参数值。 · 作业3（课后第3题） — 正比例函数参数求值：根据增减性或图象象限确定 m 的值。 · 作业4（课后第4题） — 一次函数值比较：利用一次函数增减性比较函数值大小。 · 作业5（课后第5题） — 新定义函数（取最小值函数）：求分段函数的最大值，需要数形结合。 · 作业6（课后第6题） — 待定系数法求一次函数：根据图象过点及增减性写表达式。 · 作业7（课后第7题） — 一次函数图象信息读取：求与坐标轴交点、解析式及增减性描述。 · 作业8（课后第8题） — 一次函数综合：根据交点求不等式解集、函数解析式及三角形面积。 ☆ 复习建议 重点掌握一次函数图象与系数符号的关系，熟练运用待定系数法，能利用函数图象解决方程与不等式问题。多练习根据实际情境建立一次函数模型。 1．如图，函数y1＝k1x，y2＝k2x，y3＝k3x的图象分别是直线l1，l2，l3，则k1，k2，k3的大小关系是 　 　 ． 2．如果正比例函数y＝kx|k|﹣1的图象经过第二、四象限，那么k的值是 　 　 ． 3．已知函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5是正比例函数，分别根据下列条件求m的值： （1）y随x的增大而增大； （2）图象经过第二、第四象限． 4．（2026•黄石模拟）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）都在直线y＝kx﹣1（k＜0）上，则y1，y2的大小关系是　 　 ． 5．（2025秋•拱墅区期末）我们规定：a、b两个数中最小的数记作min{a，b}，例如min{1，2}＝1，则函数y＝min{﹣x+3，2x+1}的最大值是　 　 ． 6．（2025秋•同步）某一次函数的图象过点（﹣1，2），且函数y的值随x的增大而减小．请写出符合上述条件的函数表达式（只写一个）． 7．（2024秋•南海区校级月考）如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当y＝0，时，x＝　 　 ； （2）这个函数的表达式是　 　 ； （3）写出这个函数的增减性：　 　 ； 8．（2025秋•邗江区期末）如图，已知一次函数y＝2x+b的图象与一次函数y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）根据图象直接写出不等式2x+b＞ax﹣3的解集为　 　 ； （2）分别求出这两个函数的表达式； （3）求△ABP的面积． 第 1 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题23.1-23.3 一次函数及其性质（优等生讲义） (2025-2026学年人教版数学八年级下册) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 理解 正比例函数和一次函数的概念，能根据条件确定函数表达式。 · 掌握 正比例函数与一次函数的图象特征（形状、位置、增减性），理解 k、b 的几何意义。 · 熟练运用 待定系数法求一次函数解析式。 · 理解 一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，能利用图象求方程的解或不等式的解集。 · 会画 一次函数的图象，能根据图象分析函数的性质（增减性、象限分布）。 · 体会 数形结合思想在函数学习中的核心地位，提高综合应用能力。 ✨ 核心思想：函数模型 → 图象特征 → 性质应用 → 方程不等式统一。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 正比例函数的概念与解析式 · 一般形式：（ 是常数，）。自变量 的次数为1，没有常数项。 · 判断正比例函数：必须满足① 形式；② ；③ 自变量的指数为1。 · 正比例函数是特殊的一次函数（一次函数中 ）。 ☆ 2. 正比例函数的图象与性质 · 图象：经过原点 的一条直线。 · 当 时，图象经过第一、三象限， 随 增大而增大。 · 当 时，图象经过第二、四象限， 随 增大而减小。 · 越大，直线越陡（越靠近 轴）。 ☆ 3. 一次函数的概念 · 一般形式：（， 为常数，）。 · 当 时，即为正比例函数。 · 一次函数中自变量的次数必须为1，且系数不为0。 ☆ 4. 一次函数的图象 · 图象是一条直线，可由两点确定（通常取与坐标轴的交点）。 · 决定方向（倾斜程度）： 直线从左到右上升； 直线从左到右下降。 · 决定与 轴的交点：。 · 直线经过的象限由 、 的符号共同决定（见表格）。 ☆ 5. 一次函数的性质 · 增减性： → 随 增大而增大； → 随 增大而减小。 · 直线平移规律： 向上（或下）平移 个单位 → ；左右平移（左加右减）。 ☆ 6. 一次函数与方程、不等式的关系 · 一元一次方程 的解 ⇔ 直线 与 轴交点的横坐标。 · 二元一次方程组的解 ⇔ 两条直线交点的坐标。 · 一元一次不等式 的解集 ⇔ 直线在 轴上方的部分对应的 取值范围。 ※ 知识总结表（核心要点） 类别 表达式 图象特征 性质 （k的作用） b的作用 正比例函数 () 过原点直线 ↗； ↘ 无，过原点 一次函数 () 直线，与y轴交 ↗； ↘ 决定与y轴交点位置 k的几何意义 斜率，越大直线越陡 b的几何意义 截距，直线与y轴交点的纵坐标 核心考点 ·7大考点精讲 【考点1】正比例函数的概念（对应题1-6） ❤ 方法总结 · 判断正比例函数：形式为 ，且 ，自变量次数为1，无常数项。 · 若函数 是正比例函数，则令常数项为零且系数不为零，解方程求参数。 · 待定系数法求正比例函数只需一个点（原点除外）。 1．（2025春•桦甸市期末）若y＝x+3﹣b是正比例函数，则b的值是（　　） A．0 B．3 C．﹣3 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据正比例函数的定义可得关于b的方程，解出即可． 【解答】解：∵形如y＝kx（k≠0）的函数为正比例函数，且y＝x+3﹣b是正比例函数， ∴3﹣b＝0， 解得：b＝3， 故选：B． 【点评】本题考查正比例函数的定义，形如y＝kx（k≠0）的函数为正比例函数． 2．（2025秋•贵阳期末）下列表达式中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝2x B．y＝3x﹣1 C．y＝4x2 D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的定义即可得出答案． 【解答】解：A、y＝2x是正比例函数，正确，符合题意； B、y＝3x﹣1是一次函数，不符合题意； C、y＝4x2是二次函数，不符合题意； D、是反比例函数，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题主要考查了正比例函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数是解题的关键． 3．（2025春•滑县月考）下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（　　） A．y＝﹣8x B． C．y＝5x2+6 D．y＝﹣0.5x﹣1 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当b＝0时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【解答】解：根据正比例函数定义逐项分析判断如下： A、y＝﹣8x是正比例函数，故选项不符合题意； B、不是一次函数，故选项不符合题意； C、y＝5x2+6不是一次函数，故选项不符合题意； D、y＝﹣0.5x﹣1是一次函数但不是正比例函数，故选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 4．（2024春•同步）已知一次函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4，当k＝　﹣2　 ，该函数是正比例函数． 【答案】﹣2． 【分析】根据正比例函数的定义和题目中的函数解析式，可以得到，然后求解即可． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣2）x+k2﹣4为正比例函数， ∴， 解得k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查正比例函数的定义，解答本题的关键是明确正比例函数的定义，注意k≠0． 5．（2025春•巴音郭楞州期末）已知正比例函数y＝（m+1）x+2m﹣6，m为常数． （1）求m的值． （2）在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 【答案】（1）3； （2）见解答． 【分析】（1）根据正比例函数的定义可得：2m﹣6＝0且m+1≠0，然后进行计算即可解答； （2）利用（1）的结论，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：2m﹣6＝0且m+1≠0， 解得：m＝3且m≠﹣1， ∴m的值为3； （2）由（1）可得：正比例函数y＝4x， 如图： 【点评】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的图象，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 6．（2025春•武威期末）已知y关于x的函数y＝4x+m﹣1． （1）若y是x的正比例函数，求m的值； （2）若m＝9，求该函数图象与x轴的交点坐标． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据正比例函数的定义即可得出m的值； （2）当m＝9时，函数为一次函数y＝4x+8，令y＝0，即可得出图象与x轴的交点坐标． 【解答】解：（1）由条件可得m﹣1＝0，解得m＝1． （2）当m＝9时，该函数的表达式为y＝4x+8， 令y＝0，得4x+8＝0，解得：x＝﹣2， ∴当m＝9时，函数图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查了正比例函数、一次函数的定义等知识点，熟悉正比例函数和一次函数的特点是解题的关键． 【考点2】正比例函数的图象（对应题7-12） ❤ 方法总结 · 正比例函数图象是过原点的直线，根据 的符号判断象限： 过一三； 过二四。 · 利用两点法（通常取 和 ）快速画图。 · 与一次函数图象共存问题：根据符号一致性判断（如 与 中 与 的符号关系）。 7．（2025•秦都区校级一模）下列图象中，可以表示一次函数y＝kx﹣b与正比例函数y＝kbx（k，b为常数，且kb≠0）的图象不可能的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的性质和一次函数的性质，可以得到kb的正负和k、b的正负，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项A不可能，符合题意； 选项B中，由一次函数的图象可知k＞0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＜0，故选项B可能，不符合题意； 选项C中，由一次函数的图象可知k＜0，b＜0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项C可能，不符合题意； 选项D中，由一次函数的图象可知k＞0，b＞0，由正比例函数的图象可知kb＞0，故选项D可能，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8．（2025秋•历城区期末）在同一个平面直角坐标系中，函数y＝x+a与y＝ax（a为常数且a≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数及正比例函数的图象与系数的关系对所给选项进行判断即可． 【解答】解：因为一次函数解析式为y＝x+a， 所以y随x的增大而增大， 故CD选项不符合题意； 因为AB选项中正比例函数的y随x的增大而减小， 所以a＜0， 则一次函数与y轴交于负半轴， 所以A选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正比例函数的图象及一次函数的图象，熟知一次函数及正比例函数的图象与系数的关系是解题的关键． 9．正比例函数y＝5x的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图象进行判断即可． 【解答】解：函数y＝5x过第一、三象限，并且经过原点， 故选：A． 【点评】本题考查了正比例函数的图象，熟练掌握系数与图象的关系是解答本题的关键． 10．（2025春•昭平县期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l是y＝x的图象，点A1在x轴正半轴上，OA1＝1．作A1B1⊥x轴交直线l于点B1，以O为圆心，OB1为半径画弧，交x轴正半轴于点A2，作A2B2⊥x轴交直线l于点B2，以O为圆心，OB2为半径画弧，交x轴正半轴于点A3，作A3B3⊥x轴交直线l于点B3，以O为圆心，OB3为半径画弧，交x轴正半轴于点A4…按此作法进行下去，则点A2025的横坐标为　21012 ． 【答案】21012． 【分析】根据题意求出B1点的坐标，进而找到A2点的坐标，逐个解答便可发现规律，进而求得点A2025的坐标． 【解答】解：由条件可得点A1坐标为（1，0），且点B1在直线y＝x上，可知B1点坐标为（1，1）， 由题意可知OB1＝OA2，故A2点坐标为， 同理可求的B2点坐标为， 故A3点坐标为（2，0）， 发现规律：An点坐标为， 故点A2025的坐标为即（21012，0）． 故答案为：21012． 【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 11．在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图象： （1）y＝2x+2； （2）y＝2x； （3）y＝2x﹣2．完成下列表格再作出图象． x 0 1 y＝2x 　0　 　2　 y＝2x+2 　2　 　4　 y＝2x﹣2 　﹣2　 　0　 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程； （3）答案见解答过程． 【分析】首先在表格中填写出函数的对应值，然后见表格中的对应值作为点的坐标在直角坐标系中描点，最后根据两点确定一条直线画出函数的图象即可． 【解答】解：填写表格中对应的函数值： x 0 1 y＝2x 0 2 y＝2x+2 2 4 y＝2x﹣2 ﹣2 0 在直角坐标系中描点（0，0），（1，2）；（0，2），（1，4）；（0，﹣2），（1，0）， （1）过点（0，0），（1，2）作直线可得函数y＝2x的图象； （2）过点（0，2），（1，4）作直线可得函数y＝2x+2的图象； （3）过点（0，﹣2），（1，0）作直线可得函数y＝2x﹣2的图象，如图： 【点评】此题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握画一次函数图象的方法与步骤是解答此题的关键． 12．（2025秋•同步）在平面直角坐标系中，画正比例函数y＝﹣2x的图象． 【答案】． 【分析】图象过点原点和点（1，﹣2），描点即可画出这条直线． 【解答】解：∵y＝﹣2x， ∴图象过点原点和点（1，﹣2）， 函数的图象如图所示： ． 【点评】本题考查了正比例函数图象的绘制，熟练掌握描点法是解题的关键． 【考点3】正比例函数的性质（对应题13-20） ❤ 方法总结 · 增减性由 决定：， 随 增大而增大；， 随 增大而减小。 · 比较函数值大小：若 ，则 越大 越大； 则相反。 · 利用面积或构造规律求坐标（如题10中利用半径规律求点横坐标）。 13．（2025秋•宝应县期末）如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），…，直线l⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An；函数y＝3x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，⋯Bn，如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2026的值为（　　） A．4050 B．4051 C．4052 D．4053 【答案】B 【分析】四边形An﹣1AnBnBn﹣1是梯形，算出梯形的下底AnBn，上底An﹣1Bn﹣1，高是1，取n＝2026，用梯形的面积公式即可． 【解答】解：根据题意，An﹣1Bn﹣1＝3（n﹣1）﹣（n﹣1）＝3n﹣3﹣n+1＝2n﹣2， AnBn＝3n﹣n＝2n， ∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0）， ∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1， ∴四边形An﹣1AnBn Bn﹣1是梯形， Sn（2n﹣2+2n）×1＝2n﹣1， 当n＝2026时， S2026＝2×2026﹣1＝4051． 故选：B． 【点评】本题考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象以及图形的变化规律，读懂题意，根据直线解析式求出An﹣1Bn﹣1，AnBn的值是解题的关键． 14．（2025春•红桥区期末）函数y＝﹣2x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数的性质解答即可． 【解答】解：函数y＝﹣2x中， ∵k＝﹣2＜0， ∴此函数的图象经过二、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0时，图象经过第二、四象限是解题的关键． 15．（2023秋•肥东县期末）对于正比例函数y＝3x，当2≤x≤4时，y的最大值等于 　12　 ． 【答案】12 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【解答】解：∵正比例函数y＝3x中，k＝3＞0， ∴y随x的增大而增大， ∵2≤x≤4， ∴当x＝4时，y最大＝3×4＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 16．（2024秋•沙坪坝区校级期中）如图，三个正比例函数的图象分别对应表达式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，其中a，b，c均为常数，则将a，b，c按从小到大排列为 b＜a＜c ．（用“＜”符号连接） 【答案】b＜a＜c． 【分析】根据直线所过象限可得a＜0，b＜0，c＞0，再根据直线陡的情况可判断出b＜a，进而得到答案． 【解答】解：根据三个函数图象所在象限可得a＜0，b＜0，c＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，则b＜a． 则b＜a＜c． 故答案为：b＜a＜c． 【点评】此题主要考查了正比例函数图象，关键是掌握：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．同时注意直线越陡，则|k|越大． 17．（2024秋•长安区校级月考）已知，若y的取值范围是﹣1≤y≤1，则x的最小值为 　　 ． 【答案】． 【分析】根据所给函数解析式，得出y随x的变化关系，据此可解决问题． 【解答】解：因为正比例函数解析式为， 所以y随x的增大而增大． 又因为﹣1≤y≤1， 所以当y＝﹣1时， x取得最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 18．（2024•宁波模拟）已知直线y1＝x，y2＝﹣x+b，y3＝2x﹣b（b＞0），若无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值，则当x＝　b 时，y的值最大．（用含b的代数式表示） 【答案】b． 【分析】依据题意求得三条直线的交点，再利用题意求得y值，最后利用一次函数的性质解答即可． 【解答】解：由题意可知三条直线两两相交， 由得：； 由得：； 由得：． ∴三个交点为：A（，），B（b，b），C（b，b），如图， 当xb时，y3的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y3的值， ∵y3的值随x的增大而增大， ∴当xb时，y的值最大为b； 当xb时，y2的值最小， ∵无论x取何值，y总取y1，y2，y3的最小值， ∴y＝y2的值， ∵y2的值随x的增大而减小， ∴当xb时，y的值最大为b． 综上，当xb时，y的值最大． 故答案为：b． 【点评】本题主要考查了一次函数的图象与性质，正比例函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 19．（2025秋•深圳期中）在正比例函数y＝（m﹣1）x中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：　2（答案不唯一）　 ． 【答案】2（答案不唯一）． 【分析】根据正比例函数的y值随x的增大而增大，可知比例系数m﹣1＞0，由此可解． 【解答】解：∵在正比例函数y＝（m﹣1）x中，函数值y随x的增大而增大， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， ∴m值可以为2． 故答案为：2（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握该知识点是关键． 20．已知函数y＝（m﹣1）xm2﹣3是正比例函数． （1）若y随x的增大而减小，求m的值； （2）若函数的图象过第一、三象限，求m的值． 【答案】（1）m＝﹣2； （2）m＝2． 【分析】（1）利用正比例函数的定义，可得出关于m的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出m的值，由函数关系式中y随x的增大而减小，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＜0，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值； （2）由函数的图象过第一、三象限，利用正比例函数的性质可得出m﹣1＞0，解之即可得出m的取值范围，进而可确定m的值． 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x是正比例函数， ∴， 解得：m1＝﹣2，m2＝2， （1）∵函数关系式中y随x的增大而减小， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， ∴m＝﹣2； （2）∵函数的图象过第一、三象限， ∴m﹣1＞0， ∴m＞1， ∴m＝2． 【点评】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，牢记“当k＞0时，y随x的增大而增大，且函数图象经过第一、三象限；当k＜0时，y随x的增大而减小，且函数图象经过第二、四象限”是解题的关键． 【考点4】一次函数的概念（对应题21-23） ❤ 方法总结 · 一次函数形式：，要求 ，自变量指数为1。 · 若函数含参数，根据指数和系数条件列方程（组）求参数值。 · 注意： 是一次函数，则二次项系数必须为0且一次项系数不为0。 21．（2025秋•深圳期中）已知函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，则k＝　﹣3　 ． 【答案】﹣3 【分析】由函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数，可得|k|﹣2＝1且k﹣3≠0，从而可得答案． 【解答】解：∵函数y＝（k﹣3）x|k|﹣2+6是一次函数， ∴|k|﹣2＝1且k﹣3≠0， 解得：k＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查的是一次函数的定义，熟记一次函数的定义是解本题的关键． 22．已知y＝（m﹣3）x2+（m+3）x﹣5（x≠0）是y关于x的一次函数，则m的值为　3　 ． 【答案】3． 【分析】根据一次函数的定义可列方程m﹣3＝0且m+3≠0，继而即可求出m的值． 【解答】解：根据一次函数的定义可得：m﹣3＝0且m+3≠0， 解得：m＝3． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一次函数的定义，注意掌握一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 23．（2025春•内江校级期中）一次函数y＝（m﹣2）xn﹣1+3是关于x的一次函数，则m，n的值为（　　） A．m≠2，n＝2 B．m＝2，n＝2 C．m≠2，n＝1 D．m＝2，n＝1 【答案】A 【分析】直接利用一次函数的定义分析得出答案． 【解答】解：由题意得，n﹣1＝1，m﹣2≠0， 解得：n＝2，m≠2． 故选：A． 【点评】此题主要考查了一次函数的定义，熟知一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数是解题的关键． 【考点5】一次函数的图象（对应题24-29） ❤ 方法总结 · 根据 、 的符号判断直线经过的象限： 必过一三； 必过二四； 决定与y轴交点在上半轴或下半轴。 · 绝对值函数 的图象是“V”形，顶点在 ，利用图象求最值。 · 由图象读取信息：与坐标轴交点坐标、函数值的正负区间。 24．（2025秋•蒙城县月考）一次函数y＝kx+b与y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为y＝kx+b，由一次函数图象与性质得到k，b符号，再判断另一条直线是否满足y＝bx﹣k即可得到答案． 【解答】解：A、如图所示： 假设①的表达式为y＝kx+b，则b＜0，k＜0， ∴﹣k＞0， 对于一次函数y＝bx﹣k，图象与y轴正半轴相交，图②不能表示一次函数y＝bx﹣k图象，不符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为y＝kx+b，则b＞0，k＞0， ∴﹣k＜0， 对于一次函数y＝bx﹣k，图象上升、且与y轴负半轴相交，图②不能表示一次函数y＝bx﹣k图象，不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为y＝kx+b，则k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0， 对于一次函数y＝bx﹣k，图象与y轴负半轴相交，图②不能表示一次函数y＝bx﹣k图象，不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为y＝kx+b，则k＞0，b＜0， ∴﹣k＜0， 对于一次函数y＝bx﹣k，图象下降、且与y轴负半轴相交，图②能表示一次函数y＝bx﹣k图象，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查一次函数图象与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 25．（2024春•齐齐哈尔期末）一次函数y＝3x﹣1的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式可知：k＝3＞0，b＝﹣1＜0，然后根据一次函数的性质可知，该函数图象经过第一、三、四象限，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣1，k＝3＞0，b＝﹣1＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限， 故选：B． 【点评】本题考查一次函数图象与性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 26．（2024秋•南山区期中）直线y＝kx+b的图象如图所示，则代数式7k﹣b的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据一次函数图象过（﹣7，0），整体变形解析式即可得到7k﹣b的值． 【解答】解：∵直线y＝kx+b的图象过（﹣7，2）， ∴2＝﹣7k+b， 整理得：7k﹣b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握图象上点的坐标特征是关键． 27．一次函数y＝ax+b在直角坐标系中的图象如图所示，化简：　﹣a+b ． 【答案】﹣a+b． 【分析】根据一次函数图象与系数的关系可得a＜0，b＞0，进而可得出a﹣b＜0，再化简二次根式即可． 【解答】解：由图可得，a＜0，b＞0， ∴a﹣b＜0， ∴原式＝﹣（a﹣b）＝﹣a+b． 故答案为：﹣a+b． 【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 28．（2024秋•宿迁期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（2，0）、B（0．﹣1.5）两点，那么当y＜0时，自变量x的取值范围是 x＜2　 ． 【答案】x＜2． 【分析】观察函数图象可知y随x的增大而增大，结合一次函数y＝kx+b的图象与x轴的交点坐标，即可求出当y＜0时x的取值范围． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（2，0），且y随x的增大而增大， ∴当y＜0时，x＜2． 故答案为：x＜2． 【点评】本题考查了一次函数的图象，观察函数图象，找出y随x的增大而增大是解题的关键． 29．（2024春•永城市期末）学习函数时，王老师带领同学们探索了函数y＝|x+1|的图象和性质，部分过程如下：自变量x的取值范围是全体实数，y与x的几组对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 … 根据表格中的数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分． （1）请补全该函数的图象； （2）观察该函数图象，写出该函数的一条性质：　函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）　 ； （3）已知函数y＝|x+n|（其中n为常量），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为n+3，请求出满足条件的n的值． 【答案】（1）见详解； （2）函数的对称轴是直线x＝1，（答案不唯一）； （3）n． 【分析】（1）根据表格数据，画出函数图象即可； （2）根据函数图象，写出一条性质即可； （3）在自变量﹣2≤x≤2范围内，分情况讨论最值情况得到结果即可． 【解答】解：（1）补全函数图象如下： （2）函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）； 故答案为：函数图象的对称轴是直线x＝﹣1（答案不唯一）； （3）若﹣n≤0，即n≥0，当x＝2时，函数取最大值， ∴|2+n|＝n+3， 即2+n＝n+3（舍去）． 若﹣n＞0，即n＜0，当x＝﹣2时，函数取最大值， ∴|﹣2+n|＝n+3， 即2﹣n＝n+3， 解得n，符合题意． 综上，满足条件的n的值为． 【点评】本题考查了一次函数性质与图象，数形结合是解答本题的关键． 【考点6】一次函数的性质（对应题30-39） ❤ 方法总结 · 增减性： 递增， 递减。 · 一次函数 的图象不经过哪个象限：由 、 符号组合判断。 · 当一次函数含有绝对值时，转化为分段函数研究最值（如 有最小值 -1）。 · 利用函数性质求参数范围：如 随 增大而增大，则 ；图象与y轴负半轴相交则 。 30．（2025•金台区模拟）在一次函数y＝ax+b（a≠0）中，y随x的增大而增大，且其图象与y轴交于点（0，﹣3），则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数图象和性质解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b（a≠0）中，y随x的增大而增大，且其图象与y轴交于点（0，﹣3）， ∴a＞0，b＝﹣3， ∴0，﹣ab＞0， ∴一次函数yx﹣ab的图象经过第一、二、四象限， ∴选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数解析式y＝kx+b中，k与b对函数图象的影响是解题的关键． 31．（2025秋•云岩区校级期中）已知一次函数y＝kx+b（k，b）为常数，且k≠0，y随着x的增大而减小，且kb＞0，则该一次函数在平面直角坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意判断出k、b的符号，进而可得出结论． 【解答】解：∵一次函数y＝kx+b，y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∵kb＞0， ∴b＜0， ∴此函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：B． 【点评】本题考查的是一次函数的图象和性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 32．（2025春•夏津县校级月考）一次函数y＝6x﹣1的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】对于一次函数y＝kx+b（其中k、b是常数，且k≠0），当k＞0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、三象限，当k＞0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第一、三、四象限，当k＜0，b＞0时，一次函数y＝kx+b经过第一、二、四象限，当k＜0，b＜0时，一次函数y＝kx+b经过第二、三、四象限，据此求解即可． 【解答】解：由条件可知该一次函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选：B． 【点评】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 33．（2025秋•宝鸡月考）已知（5，y1），（﹣5，y2）是直线y＝﹣5x+b上的两个点，则y1　＜　 y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＜． 【分析】根据一次函数的性质当k＜0时，y随x的增大而减小，即可求解． 【解答】解：∵k＝﹣5＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵5＞﹣5， ∴y1＜y2， 故答案为：＜． 【点评】本题考查了一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是牢记当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 34．（2025春•平谷区期末）若函数y＝（2k﹣6）x+1是关于x的一次函数，y随x增大而增大，则k的取值范围是 k＞3　 ． 【答案】k＞3． 【分析】根据一次函数的图象性质可得2k﹣6＞0，解得k的取值范围即可． 【解答】解：若函数y＝（2k﹣6）x+1是关于x的一次函数，y随x增大而增大， 则2k﹣6＞0， 解得：k＞3， 故答案为：k＞3． 【点评】本题考查一次函数的图象性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 35．（2026春•云岩区校级月考）直线l：y＝kx+3﹣2k（k≠0），OH⊥l，垂足为H（m，n），则m2+n2的最大值为　13　 ． 【答案】13． 【分析】由直线解析式判断出直线l恒过定点P（2，3），根据垂线段最短得当点H与点P重合时，OH取得最大值，从而可求出m2+n2的最大值． 【解答】解：∵l：y＝kx+3﹣2k＝k（x﹣2）+3 ∴直线l恒过定点P（2，3）， ∴m2+n2的最大值为22+32＝13， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查一次函数图象与性质，熟练掌握该知识点是关键． 36．（2022秋•龙岗区校级期中）已知函数y＝﹣kx+b的草图如图，则b的值为 　﹣2　 ． 【答案】﹣2． 【分析】根据题意，将点（0，﹣2）代入函数解析式即可解决问题． 【解答】解：由函数图象可知， 一次函数的图象经过点（0，﹣2）， 将点（0，﹣2）代入y＝﹣kx+b得， b＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 37．（2025秋•高陵区期末）已知动点A（x，y）在第一象限，且x+y＝4，点B的坐标为（﹣3，0）． （1）y＝　4﹣x （用含x的代数式表示），其中x的取值范围是　0＜x＜4　 ． （2）请在如图所示的平面直角坐标系中描出点B的位置，并画出y关于x的函数图象． （3）当点A与点B之间的距离最小时，直接写出此时点A的坐标． 【答案】（1）4﹣x；0＜x＜4； （2）； （3）A（，）． 【分析】（1）依据题意，由x+y＝4，可得y＝4﹣x，结合点A（x，y）在第一象限，故x＞0且y＝4﹣x＞0，进而计算可以得解； （2）依据题意，由y＝4﹣x可以作图得解； （3）依据题意，根据垂线段最短，故当点A与点B之间的距离最小时，直线AB⊥直线y＝4﹣x，求出直线AB为y＝x+3，然后联立方程x+3＝4﹣x，从而求出x后即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵x+y＝4， ∴y＝4﹣x． ∵点A（x，y）在第一象限， ∴x＞0且y＝4﹣x＞0． ∴0＜x＜4． 故答案为：4﹣x；0＜x＜4； （2）由题意， （3）由题意，根据垂线段最短， ∴当点A与点B之间的距离最小时，直线AB⊥直线y＝4﹣x． ∴可设直线AB为y＝x+b． 又B（﹣3，0）， ∴﹣3+b＝0，则b＝3． ∴直线AB为y＝x+3． 联立方程x+3＝4﹣x， ∴x． ∴A（，）． 【点评】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数的图象，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 38．（2025春•鞍山期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数y＝|x﹣2|﹣1的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数．如表是y与x的几组对应值： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y … 5 m 3 2 1 0 ﹣1 0 1 … 其中m＝　4　 ； （2）在图中的平面直角坐标系xOy中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象； （3）判断函数y＝|x﹣2|﹣1有最大值还是最小值？并直接写出当x为何值时，y的最大值或最小值是多少？ （4）已知函数y＝|x+n|﹣1（其中n＞0），当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为3﹣n，求n的值． 【答案】（1）4； （2）见详解； （3）有最小值，当x＝2时，y的最小值是﹣1； （4）n＝1． 【分析】（1）将x＝﹣3代函数解析式即可求出m的值； （2）根据表格中的数据先描点，再画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可解答； （4）由题中规律可得函数y＝|x+n|﹣1有最小值，当x＝﹣n时，y有最小值，y的最小值是﹣1，且当x＜﹣n时，y随x的增大而减小；当x＞﹣n时，y随x的增大而增大．从而得出当﹣2≤x≤2时，在x＝2时取得最大值，即可求解． 【解答】解：（1）把x＝﹣3，y＝m，代入y＝|x﹣2|﹣1，得m＝y＝|﹣3﹣2|﹣1＝4， 故答案为：4． （2）函数y＝|x﹣2|﹣1的图象如图所示： （3）由函数图象可得，函数y＝|x﹣2|﹣1有最小值，当x＝2时，y有最小值，最小值是﹣1． （4）由题中规律可得函数y＝|x+n|﹣1有最小值，图象的对称轴为直线x＝﹣n，当x＝﹣n时，y有最小值，y的最小值是﹣1，且当x＜﹣n时，y随x的增大而减小；当x＞﹣n时，y随x的增大而增大． ∵n＞0， ∴﹣n＜0， ∴﹣2到对称轴的距离小于2到对称轴的距离， ∵当自变量的取值范围是﹣2≤x≤2时，该函数的最大值为3﹣n， ∴在x＝2时取得最大值， ∴|2+n|﹣1＝3﹣n， 解得：n＝1． 【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答． 39．（2024秋•利辛县校级月考）已知一次函数y＝（3+2m）x﹣m﹣3的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小，且m为整数． （1）求m的值； （2）求该图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1）m＝﹣2； （2）． 【分析】（1）由一次函数图象与y轴交于负半轴且y随x的增大而减小，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再取其中的整数值，即可确定m的值； （2）代入m＝﹣2，可得出一次函数的解析式，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝（3+2m）x﹣m﹣3的图象与y轴的负半轴相交，y随x的增大而减小， ∴， 解得：， 又∵m为整数， ∴m＝﹣2． 答：m的值为﹣2； （2）当m＝﹣2时，一次函数解析式为y＝﹣x﹣1． 当x＝0时，y＝﹣1×0﹣1＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣x﹣1的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣1）； 当y＝0时，﹣x﹣1＝0， 解得：x＝﹣1， ∴一次函数y＝﹣x﹣1的图象与x轴的交点坐标为（﹣1，0）， ∴一次函数y＝﹣x﹣1与坐标轴围成的三角形面积为． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、解一元一次不等式组以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，找出关于m的不等式组；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标． 【考点7】一次函数与方程、不等式（对应题40-48） ❤ 方法总结 · 方程 的解 ⇔ 直线与 轴交点的横坐标。 · 方程组 的解 ⇔ 两直线交点的坐标。 · 不等式 的解集 ⇔ 直线在 轴上方的部分对应的 范围。 · 利用图象比较函数值大小：交点两侧根据高低判断。 40．（2025秋•夏县期末）如图，直线l1：y＝3x﹣1与直线l2：y＝mx+n相交于点P（1，b），则关于x，y的方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先把P（1，b）代入直线l1：y＝3x﹣1即可求出b的值，从而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【解答】解：由条件可知：b＝3﹣1＝2， ∴P（1，2）， ∴关于x，y的方程组的解为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次方程组的解． 41．（2025春•献县校级月考）若关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1，则直线y＝bx+a一定经过点（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（1，0） D．（﹣1，0） 【答案】D 【分析】根据方程可知当x＝﹣1时，y＝0，从而可判断直线y＝bx+a经过点（﹣1，0）即可． 【解答】解：∵关于x的方程bx+a＝0的解是x＝﹣1， ∴当x＝﹣1时，bx+a＝0，即当x＝﹣1时，y＝0， ∴直线y＝bx+a一定经过点（﹣1，0）， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键． 42．（2025秋•利辛县期末）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，甲乙两位同学给出的下列结论： 甲说：方程kx+b＝x+a的解是x＝3； 乙说：当x＜3时，y1＜y2． 其中正确的结论有（　　） A．甲正确，乙错误 B．乙正确，甲错误 C．甲乙都正确 D．甲乙都错误 【答案】A 【分析】利用一次函数与一元一次方程的关系对甲进行判断；利用函数图象，当x＜3时，一次函数y1＝kx+b在直线y2＝x+a的上方，则可对乙进行判断． 【解答】解：∵一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象的交点的横坐标为3， ∴关于x的方程kx+b＝x+a的解是x＝3，所以甲正确； 当x＜3时，y1＞y2，所以乙错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 43．（2024秋•雁塔区校级期末）已知直线y＝﹣2x与直线y＝kx+b相交于点E（a，8），则关于x，y的方程组的解是　　 ． 【答案】． 【分析】先把E（a，8）代入y＝﹣2x求出a，根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解可得到答案． 【解答】解：把E（a，8）代入y＝﹣2x得a＝﹣4， ∴直线y＝﹣2x与直线y＝kx+b相交于点E（﹣4，8）， ∴关于x，y的方程组的解为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 44．（2025秋•蕉岭县期末）如图，一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m），则关于x，y的方程组的解为 　　 ． 【答案】． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【解答】解：∵一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，m）， ∴m＝2+1＝3， ∴一次函数y＝ax+b与y＝x+1的图象交于点P（2，3）， 则关于x，y的方程组的解为． 故答案为：． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 45．（2024春•武城县月考）如图，已知函数y＝ax+b和的图象交于点P，根据图象，可得关于x的二元一次方程组的解是 　　 ． 【答案】． 【分析】根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【解答】解：根据函数图象可知， 函数y＝ax+b和yx的图象交于点P的坐标是（x，﹣2）， ∴﹣2， 解得：x＝﹣4， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数与二元一次方程组，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题． 46．（2025春•奉贤区期中）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，0），且与直线y＝2x都经过点P（m，4）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当y＝kx+b的函数值大于y＝2x的函数值时，求x的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣4x+12； （2）x＜2． 【分析】（1）首先求得P点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质结合交点坐标即可得出答案． 【解答】解：（1）∵直线y＝2x都经过点P（m，4）， ∴4＝2m， ∴m＝2， ∴P（2，4）， ∵一次函数y＝kx+b的图象经过点A（3，0），P（2，4）， ∴，解得， ∴这个一次函数的解析式为y＝﹣4x+12； （2）∵P（2，4）， ∴当y＝kx+b的函数值大于y＝2x的函数值时，x的取值范围是x＜2． 【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． 47．（2025秋•杭州期末）已知一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象经过点A（2，2）． （1）求k的值； （2）当﹣2≤x≤2时，求函数y的最大值与最小值的差； （3）当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差是否会随着m的变化而变化？若不变，则求出这个定值；若变化，请说明理由． 【答案】（1）k＝﹣2； （2）8； （3）当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差不会随着m的变化而变化，是定值8． 【分析】（1）直接将点A（2，2）代入函数求解即可； （2）计算出最大值和最小值后直接求差即可； （3）求出x＝m﹣2和x＝m+2的函数值，求其差即可判定． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+6（k≠0）的图象经过点A（2，2）， ∴2k+6＝2， ∴k＝﹣2； （2）由（1）可知，二次函数为：y＝﹣2x+6， ∴x＝﹣2时，y＝﹣2×（﹣2）+6＝10，x＝2时，y＝﹣2×2+6＝2， ∴当﹣2≤x≤2时，函数y的最大值为10，最小值是2， ∴最大值与最小值差为10﹣2＝8； （3）当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差不会随着m的变化而变化， ∵x＝m﹣2时，y＝﹣2×（m﹣2）+6＝﹣2m+10，x＝m+2时，y＝﹣2×（m+2）+6＝﹣2m+2， ∴当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差是﹣2m+10﹣（﹣2m+2）＝8． ∴当m﹣2≤x≤m+2时，函数y的最大值与最小值的差不会随着m的变化而变化，是定值8． 【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，解题关键是根据一次函数的增减性求出自变量取值范围内的函数最大值与最小值． 48．（2025春•西城区校级期中）在学习了函数相关的知识后，小巳同学想要借助函数图象求解不等式|x﹣1|﹣2≥0． （1）他选择通过描点法画函数y＝|x﹣1|﹣2的图象． 自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣1 ﹣2 m 0 … 其中，m＝　﹣1　 ； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，画出函数图象． 根据函数图象，直接写出不等式|x﹣1|﹣2≥0的解集为x≤﹣1或x≥3　 ． （2）在进一步的探究过程中小巳同学有两个新的发现： ①若关于x的函数y＝|x﹣1|﹣2+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个，则b的取值范围为b＜1　 ； ②若关于x的函数y＝|kx﹣1|﹣2，当x≥1时，y随x的增大而增大，则k的取值范围为k≥1　 ． 【答案】（1）﹣1； ； x≤﹣1或x≥3； （2）①b＜1；②k≥1或k＜0． 【分析】（1）代入x＝2到y＝|x﹣1|﹣2求出m的值，利用描点法画函数图象，根据函数图象即可求出不等式|x﹣1|﹣2≥0的解集； （2）①由题意得，方程|x﹣1|﹣2+b＝1有2个解，方程|x﹣1|﹣2+b＝﹣1也有2个解，结合函数图象列出关于b的不等式即可求解；②分两种情况讨论：k＝0和k≠0，结合函数图象可知y＝|kx﹣1|﹣2的最小值为﹣2，求出此时，再结合当x≥1时，y随x的增大而增大，列出关于k的不等式即可求解． 【解答】解：（1）当x＝2时，m＝y＝|2﹣1|﹣2＝﹣1， ∴m＝﹣1； 描点，画出函数图象如下： 观察函数图象可得，当x≤﹣1或x≥3时，|x﹣1|﹣2≥0， ∴x≤﹣1或x≥3． 故答案为：﹣1；x≤﹣1或x≥3． （2）①∵y＝|x﹣1|﹣2+b的图象上到x轴的距离等于1的点恰好有4个， ∴|x﹣1|﹣2+b＝1有2个解，|x﹣1|﹣2+b＝﹣1也有2个解， 即|x﹣1|﹣2＝1﹣b和|x﹣1|﹣2＝﹣1﹣b都有2个解， 由（1）中的函数图象可得，， ∴b＜1． 故答案为：b＜1； ②若k＝0，y＝﹣2，不符合题意； 若k≠0， ∵|kx﹣1|≥0， ∴|kx﹣1|﹣2≥﹣2， ∴y＝|kx﹣1|﹣2的最小值为﹣2， 令y＝﹣2，则|kx﹣1|﹣2＝﹣2， ∴对称轴是直线， ∵当x≥1时，y随x的增大而增大， ∴． 当k＞0时，则k≥1，符合题意； 当k＜0时，当x≥1时y随x的增大而增大，符合题意． ∴k≥1或k＜0． 故答案为：k≥1或k＜0． 【点评】本题考查了一次函数的应用、描点法画函数图象、解一元一次不等式（组），根据题意正确画出函数图象是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 1．（2023春•西城区校级月考）请写出一个y随x的增大而增大的正比例函数的表达式：y＝3x ． 【答案】y＝3x． 【分析】根据正比例函数的意义，可得正比例函数的解析式，根据函数的性质，可得答案． 【解答】解：请写出一个y随x增大而增大的正比例函数表达式，y＝3x， 故答案为：y＝3x． 【点评】本题考查了正比例函数的定义，注意所写的正比例函数的k必须大于0． 2．（2025秋•郫都区校级期末）如图，一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，那么关于x的方程x+2＝ax+6的解为x＝2　 ． 【答案】x＝2． 【分析】根据一次函数图象的交点坐标即可求解． 【解答】解：∵一次函数y＝x+2与y＝ax+6（a≠0）的图象相交于点P，P的横坐标为2， ∴关于x的方程x+2＝ax+6的解是x＝2． 故答案为：x＝2． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程，数形结合是解题的关键． 3．（2024秋•义乌市期末）已知一次函数y＝﹣x+2，当﹣3≤x≤3时，y的最大值为 　5　 ． 【答案】5． 【分析】先根据一次函数的系数判断出函数的增减性，再根据其取值范围解答即可． 【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+2中，k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵自变量取值范围是﹣3≤x≤3， ∴当x＝﹣3时，y有最大值为﹣（﹣3）+2＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 4．（2025•海门区校级开学）如图，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+4在同一平面直角坐标系内交于点P． （1）写出关于x的方程3x＝kx+4的解：x＝1　 ； （2）设直线l2与x轴交于点A，求点A的坐标． 【答案】（1）x＝1； （2）（4，0）． 【分析】（1）点P的横坐标即为关于x的方程3x＝kx+4的解，根据图象直接作答即可； （2）根据（1），将3x＝kx+4的解代入3x＝kx+4，得到关于k的一元一次方程并求解，从而求得直线l2的函数表达式，当y＝0时求出对应x的值即可． 【解答】解：（1）根据图象，关于x的方程3x＝kx+4的解为x＝1． 故答案为：x＝1． （2）将x＝1代入方程3x＝kx+4， 得3＝k+4， 解得k＝﹣1， ∴直线l2的函数表达式为y＝﹣x+4， 当y＝0，得﹣x+4＝0， 解得x＝4， ∴点A的坐标为（4，0）． 【点评】本题考查一次函数与一元一次方程，掌握图象交点的意义及一元一次方程的解法是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 · 作业1（课后第1题） — 正比例函数系数大小比较：根据图象陡峭程度判断 k 的大小关系。 · 作业2（课后第2题） — 正比例函数定义与象限限制：利用指数条件与象限符号求参数值。 · 作业3（课后第3题） — 正比例函数参数求值：根据增减性或图象象限确定 m 的值。 · 作业4（课后第4题） — 一次函数值比较：利用一次函数增减性比较函数值大小。 · 作业5（课后第5题） — 新定义函数（取最小值函数）：求分段函数的最大值，需要数形结合。 · 作业6（课后第6题） — 待定系数法求一次函数：根据图象过点及增减性写表达式。 · 作业7（课后第7题） — 一次函数图象信息读取：求与坐标轴交点、解析式及增减性描述。 · 作业8（课后第8题） — 一次函数综合：根据交点求不等式解集、函数解析式及三角形面积。 ☆ 复习建议 重点掌握一次函数图象与系数符号的关系，熟练运用待定系数法，能利用函数图象解决方程与不等式问题。多练习根据实际情境建立一次函数模型。 1．如图，函数y1＝k1x，y2＝k2x，y3＝k3x的图象分别是直线l1，l2，l3，则k1，k2，k3的大小关系是 k1＞k3＞k2 ． 【答案】k1＞k3＞k2． 【分析】根据函数图象，可知y1和y3的值随x的增大而增大，y2的值随x的增大而减小，由此可得k1＞0，k3＞0，k2＜0；再根据正比例函数中|k|越大，直线y＝kx越接近y轴，结合l1比l3更接近y轴得出k1与k3的大小关系，至此问题即可解决． 【解答】解：由图可知y1和y3的值随x的增大而增大，y2的值随x的增大而减小， ∴k1＞0，k3＞0，k2＜0， 由图可知l1比l3更接近y轴， ∴k1＞k3， ∴k1＞k3＞k2． 故答案为：k1＞k3＞k2． 【点评】本题主要考查正比例函数的性质，可以根据函数的增减性，结合k的取值进行解答． 2．如果正比例函数y＝kx|k|﹣1的图象经过第二、四象限，那么k的值是 k＝﹣2　 ． 【答案】k＝﹣2． 【分析】根据正比例函数经过第二、四象限得到，进而解答即可． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx|k|﹣1的图象经过第二、四象限， ∴， 解得k＝﹣2． 故答案为：k＝﹣2． 【点评】此题考查正比例函数的定义和性质，根据正比例函数的定义和性质得到不等式组是解决问题的关键． 3．已知函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5是正比例函数，分别根据下列条件求m的值： （1）y随x的增大而增大； （2）图象经过第二、第四象限． 【答案】（1）m＝6； （2）m＝﹣6． 【分析】（1）根据正比例函数的定义和性质即可求得答案； （2）根据正比例函数的定义和性质即可求得答案． 【解答】解：（1）由正比例函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5，y随x的增大而增大， 可得：2m﹣9＞0，且|m|﹣5＝1 则m＝6； （2）由正比例函数y＝（2m﹣9）x|m|﹣5的图象经过第二、第四象限， 可得：2m﹣9＜0，且|m|﹣5＝1 则m＝﹣6． 【点评】本题主要考查了正比例函数的性质和定义，熟记正比例函数的定义和性质是解决问题的关键． 4．（2026•黄石模拟）已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）都在直线y＝kx﹣1（k＜0）上，则y1，y2的大小关系是y2＜y1 ． 【答案】y2＜y1． 【分析】先根据题意判断出函数的增减性，再根据各点横坐标的大小即可得出结论． 【解答】解：∵k＜0， ∴一次函数y＝kx﹣1，y随x的增大而减小， ∵﹣1＜1， ∴y2＜y1． 故答案为：y2＜y1． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．（2025秋•拱墅区期末）我们规定：a、b两个数中最小的数记作min{a，b}，例如min{1，2}＝1，则函数y＝min{﹣x+3，2x+1}的最大值是　　 ． 【答案】． 【分析】通过解方程求两个一次函数的交点，利用数形结合思想确定函数的最大值，涉及一次函数的图象和性质． 【解答】解：通过解方程求两个一次函数的交点，利用数形结合思想确定函数的最大值可知： 令﹣x+3＝2x+1，解得． 当时，； 当时，2x+1＜﹣x+3，故y＝2x+1，随着x增大而增大； 当时，﹣x+3＜2x+1，故 y＝﹣x+3，随着x增大而减小． 因此函数在处取得最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查了分段函数的最值问题．熟练掌握该知识点是关键． 6．（2025秋•同步）某一次函数的图象过点（﹣1，2），且函数y的值随x的增大而减小．请写出符合上述条件的函数表达式（只写一个）． 【答案】y＝﹣x+1（答案不唯一）． 【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0），再把点（﹣1，2）代入得出kb的关系式，由函数y的值随x的增大而减小得出k＜0，据此可得出结论． 【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图象过点（﹣1，2）， ∴﹣k+b＝2， ∵函数y的值随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴当k＝﹣1时，b＝1， ∴一次函数的解析式可以为y＝﹣x+1（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 7．（2024秋•南海区校级月考）如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当y＝0，时，x＝　﹣2　 ； （2）这个函数的表达式是yx+1　 ； （3）写出这个函数的增减性：y随x的增大而增大　 ； 【答案】（1）﹣2； （2）yx+1； （3）y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据一次函数的图象即可得到结论； （2）设这个函数的表达式是y＝kx+b，把（﹣2，0），（0，1）代入，解方程组即可得到结论； （3）根据一次函数的性质即可得的答案． 【解答】解：（1）由图象可得，当y＝0时，x＝﹣2； 故答案为：﹣2； （2）设这个函数的表达式是y＝kx+b， 把（﹣2，0），（0，1）代入得，， 解得， ∴这个函数的表达式是yx+1， 故答案为：yx+1； （3）∵0， ∴y随x的增大而增大， 故答案为：y随x的增大而增大． 【点评】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及看函数图象和一次函数的性质，关键是正确掌握待定系数法求一次函数解析式的步骤． 8．（2025秋•邗江区期末）如图，已知一次函数y＝2x+b的图象与一次函数y＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）根据图象直接写出不等式2x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2　 ； （2）分别求出这两个函数的表达式； （3）求△ABP的面积． 【答案】（1）x＞﹣2； （2）y1＝2x﹣1，y2＝x﹣3； （3）． 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）利用待定系数法求解析式即可求解； （3）分别求出点A和点B坐标，进一步即可求出△ABP的面积． 【解答】解：（1）不等式2x+b＞ax﹣3的解集为x＞﹣2， 故答案为：x＞﹣2； （2）由条件可得﹣4+b＝﹣5，﹣2a﹣3＝﹣5， 解得b＝﹣1，a＝1， ∴y1＝2x﹣1，y2＝x﹣3； （3）当y1＝2x﹣1＝0时，x＝0.5， ∴点A（0.5，0）， 当y2＝x﹣3＝0时，x＝3， ∴点B（3，0）， ∴AB＝3﹣0.5＝2.5， ∴△ABP的面积． 【点评】本题考查了一次函数的解析式，一次函数与三角形的面积，熟练掌握一次函数的图象与待定系数法求解析式是解题的关键． 第 1 页 共 50 页 学科网（北京）股份有限公司 $