专题8.3 用正多边形铺设地面（高效培优讲义）数学新教材华东师大版七年级下册

"本初中数学讲义围绕“用正多边形铺设地面”核心知识点，构建从平面镶嵌定义（内角和为360°）到单一正多边形密铺判定（正三、四、六边形等），再到多种正多边形组合密铺（两种、三种组合及方程解法）的递进式学习支架。\n资料以“即学即练+题型分类”为特色，通过典例结合中考真题变式，培养学生数学思维（推理能力、运算能力）与模型意识，课中助力教师分层教学，课后帮助学生通过练习题查漏补缺，强化密铺原理的实际应用能力。"

专题8.3 用正多边形铺设地面 教学目标 1.理解平面镶嵌的定义与核心条件。 2.掌握同一种正多边形密铺的判定方法。 3.会判断多种正多边形能否密铺，并列出方程。 4.能设计简单的密铺方案，体会建模思想。 教学重难点 重点 （1）平面镶嵌的核心条件：内角和为 （2）单一正多边形密铺的判断 （3）两种正多边形密铺的方程解法 难点 （1）多种正多边形组合密铺的整数解讨论 （2）密铺原理在实际设计中的应用 知识点01：平面镶嵌（密铺）的定义 1.定义：用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，叫作平面图形的镶嵌（密铺）。 2.核心条件：围绕一点拼在一起的几个内角的和恰好等于360°（周角）。 【即学即练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫作“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查密铺、正多边形的内角度数，根据“密铺图形的公共顶点处的角的度数和为”逐项判断即可． 【详解】解：观察可知“半正密铺”图案记号，则表示由一个正方形和两个正八边形组成的； A．是由一个正三角形、两个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正十二边形的每一个内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； B．是由一个正三角形、两个正方形和一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正六边形的内角为： ， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； C．是由两个正三角形、一个正方形、一个正十二边形组成， 正三角形的一个内角为，正方形的内角为，正十二边形的每一个内角为：， ，能表示“半正密铺”图案，则不符合题意； D．是由三个正三角形、一个正六边形组成， 正三角形的一个内角为，正六边形的内角为： ， ，不能表示“半正密铺”图案，符合题意； 故选D． 知识点02：用同一种正多边形铺设地面 1.判定公式：设正边形每个内角为，若个内角能拼成，则（ 为正整数）。 2.可单独密铺的正多边形：正三角形、正方形、正六边形。 3.拓展：任意相同的三角形、四边形均可单独密铺。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】平面镶嵌的条件是围绕同一点拼在一起的多边形内角和恰好等于，判断一种图形能否单独镶嵌，只需验证该图形的单个内角度数能否整除，能整除即可镶嵌，反之不能． 【详解】解：①长方形每个内角为，，结果是整数，长方形可以单独镶嵌； ②正三角形每个内角为，，结果是整数，正三角形可以单独镶嵌； ③正五边形每个内角为，不是整数，正五边形不能单独镶嵌； ④正六边形每个内角为，，结果是整数，正六边形可以单独镶嵌； 因此可供选择的地砖为①②④． 知识点03：用多种正多边形铺设地面 1.核心条件：同一顶点处，几种正多边形的内角和为。 2.常见两种组合： 正三角形+正方形 正三角形+正六边形 正三角形+正十二边形 正方形+正八边形 3.常见三种组合： 正三角形+正方形+正六边形 正方形+正六边形+正十二边形 【即学即练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，几何图形镶嵌成平面的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角． 看位于同一顶点处的几个角之和能否为．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满，据此即可解答． 【详解】解：A．正三角形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； B．正方形和正六边形内角分别为，不能构成360°的周角，故不能铺满，符合题意； C．正三角形和正十二边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意； D．正三角形、正方形和正六边形内角分别为，因为，所以能构成的周角，故能铺满，不符合题意． 故选：B． 题型01单一正多边形能否密铺判断 方法技巧：用一个内角度数，结果为正整数即可密铺。 【典例1】. （24-25七年级下·山西长治·期末）若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【答案】B 【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角．若能构成，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能． 【详解】解：A、正三角形的每个内角是个正三角形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； B、正四边形的每个内角是个正四边形满足同一顶点处的周角为，故本选项符合题意； C、正六边形的每个内角是个正六边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； D、正八边形的每个内角是个正八边形不满足同一顶点处的周角为，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【分析】本题考查平面镶嵌，正多边形的内角和．解题的关键是熟练掌握平面镶嵌的条件和正多边形的内角和公式． 镶嵌地面要求多边形的内角能整除，从而围绕一点拼接无空隙. 计算各正多边形内角并判断是否整除，即可解题． 【详解】解：∵长方形内角为，，能整除， ∴长方形可镶嵌； ∵正方形内角为，，能整除， ∴正方形可镶嵌； ∵正五边形内角为，，不能整除， ∴正五边形不可镶嵌； ∵正六边形内角为，，能整除， ∴正六边形可镶嵌. ∴可供选择的地砖是①②④． 故选：C． 【变式2】. （25-26八年级上·全国·单元复习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的判断，掌握正多边形的内角和是解决本题的关键． 先判断出图形由三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌，再根据正多边形的内角和进行求解即可． 【详解】解：是三个完全相同的正多边形拼成的镶嵌， 每个内角度数， 那么边数为：． 故这种多边形是正六边形． 故选C． 【变式3】. （24-25八年级下·广西百色·期末）只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面密铺的知识，解答本题的关键是掌握一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，由此结合各正多边形的度数可得出答案． 【详解】解：∵这种正多边形的内角是， ∴与之对应的外角为：， ∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形． 故选：A． 题型02由密铺求正多边形边数 方法技巧：根据内角和为，代入内角公式解方程求。 【典例2】. （24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 【答案】 【分析】先求出正四边形和正三角形每个内角的度数，然后根据平面镶嵌的条件求解第三种正多边形的每个内角度数，然后再结合外角和公式进行计算求解． 【详解】解：正四边形和正三角形每个内角的度数分别为和， 第三种正多边形的每个内角度数为， 第三种木板的边数应是． 【变式1】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正边形的边数为（    ） A．八 B．九 C．十 D．十二 【答案】D 【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出的值．本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 【详解】解：正边形的一个内角， 则， 解得． 故选：D． 【变式2】. （24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 【答案】 【分析】题目主要考查多边形内角和及无缝拼接，根据题意列出方程求解是解题关键 设这三个正多边形的边数分别是，根据题意列出方程，整理得，然后从构成多边形的最小的偶数开始进行试算求解即可． 【详解】解：设这三个正多边形的边数分别是， ∵三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接， ∴， 整理得：， ∵边数不同且边数是偶数， ∴假设，则，解得：， 经检验，符合题意， ∴这三个正多边形的边数分别是， 故答案为：． 【变式3】. （25-26八年级上·吉林长春·开学考试）将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌及正多边形的知识，掌握多边形镶嵌成平面图形的条件是解决本题的关键． 正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为．求出第三块木板的内角即可解答． 【详解】解：正五边形每个内角是， 两块木板2个内角的和是， 所以第三块木板的一个内角是， 所以第三块木板的边数是． 故选C． 题型03单一正多边形密铺的个数计算 方法技巧：个数该正多边形一个内角度数。 【典例3】. （25-26九年级上·福建·期末）将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形，熟练掌握正多边形内角和外角，是解题关键． 先求出正五边形每个内角的度数，再求出未知正多边形外角度数，最后用外角和除以一个外角的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角为：， ∴， ∴正五边形的个数是． 故答案为：10． 【变式1】. （24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形内角和，掌握多边形内角和定理是解题的关键． 根据题意可得正五边形的每个内角的度数为，由此可得每个正五边形所对圆心角为，即可求解． 【详解】解：如图所示， ∴正五边形的每个内角的度数为，即， ∴， ∴，即每个正五边形所对圆心角为， ∵， ∴共需要正五边形的个数是10个， 故选：C ． 【变式2】. （2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形、多边形的内角与外角等知识；由完全拼成一个圆环需要的正五边形为个，则围成的多边形为正边形，利用正五边形的内角与夹角计算出正边的每个内角的度数，然后根据内角和定理得到解方程求解即可． 【详解】∵正五边形的每个内角为， ∴组成的正多边形的每个内角为， ∵n个全等的正五边形拼接可以拼成一个环状，中间会形成一个正多边形， ∴形成的正多边形为正n边形，则， 解得：． 故选C． 【变式3】. （24-25八年级下·四川达州·期末）巴山大峡谷景区是国家森林公园，大巴山国家地质公园，天然褶皱造型博物馆，也是四川十大红叶旅游目的地、古巴人文化的富集地．周末，小乐和爸爸妈妈一起去巴山大峡谷游玩，发现状元楼的每一层的地面可以近似地看作正多边形，爸爸借此机会给小乐出了两道数学题，请帮小乐一起解答． (1)若用两种边长相等的正多边形镶嵌整个平面，其中一种是等边三角形，另一种不可能是下面的______．（填序号） ①正四边形    ②正五边形    ③正六边形 (2)如图1是用4个全等的正八边形拼接成的图形，相邻两个正八边形有一条公共边，围成一圈后，中间形成一个正方形．如图2，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，围成一圈后，中间也形成一个正多边形，求n的值． 【答案】(1)② (2)6 【分析】本题考查了平面镶嵌，熟练掌握平面图形的镶嵌是解题的关键：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌． （1）分别求出各多边形内角的度数，再由密铺的条件即可得出结论； （2）根据正六边形各内角的度数即可得出结论． 【详解】（1）解：正三角形的内角是； ①正四边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； ②正五边形的内角是，，不能密铺，符合题意； ③正六边形的内角是，，可以密铺，不符合题意； 综上分析可知：另一种不可能是②正五边形； （2）解：，理由如下： 由题意得，这个正六边形围成的图形是一个正多边形，由图可知，围成的这个正多边形的每个内角的度数是， ， 解得：， 故答案为：． 题型04两种正多边形密铺 方法技巧：设个数为、，列（、为内角度数）。 【典例4】. （25-26九年级下·福建厦门·月考）用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【答案】B 【详解】解：正五边形的每个内角的度数为， ∴被围成图形的顶点处向外的角的度数为， ∴被围成图形的顶点处的内角的角度为， 设拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为， ∴， 解得，， 经检验，当时，原分式方程有意义， ∴拼接一圈后，中间形成的多边形的边数为，即正六边形 ． 【变式1】. （2026·陕西商洛·一模）如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案（每个正五边形均与三角形有一组公共边），则的度数为___________． 【答案】84 【分析】先求正五边形的内角为，进而即可解答． 【详解】解：∵正五边形的内角为，正三角形的内角为， ∴ 【变式2】. （25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【答案】6 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为． 【变式3】. （2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)能； (2)； (3)不存在，见解析． 【分析】（1）算出正三角形、正四边形和正六边形的内角，根据平面镶嵌的性质判断即可； （2）根据图案的规律进行推理即可； （3）根据图案规律推出第个图案中正方形、正六边形的个数，再根据所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大，列方程求解即可． 【详解】（1）能，∵正三角形的每一个内角是，正方形的每一个内角是，正六边形的每一个内角是， 观察图案的拼接点，可发现：，拼接点处的内角和恰好为，满足平面镶嵌的条件； （2）第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， 第个图案有个正方形，即， …… 观察以上规律，第个图案有个正方形 （3）不存在，理由如下： 设第个图案中所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大， ∵由（2）可得第个图案中有个正方形， ∵由图案观察，第个图案中有个正六边形， 即：， 解得：， ∴显然不符合题意， ∴不存在这样的图案． 题型05已知密铺组合求未知内角度数 方法技巧：用减去已知内角和，得未知内角。 【典例5】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，平面镶嵌，先根据多边形内角和定理得出五边形的内角和，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形的内角和为：， ∵， ． 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，先根据多边形内角和定理即可得出，然后再根据题意即可得出答案． 【详解】解：五边形内角和为：， 根据图中密铺可得， ， 故答案为：． 【变式2】. （2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【答案】 【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360度，如图，易得， ，进而得到，再根据公共顶点处各角的和为360度，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：如图， 由题意和图（2）可知：， 可得 ∴ 故答案为：． 【变式3】. （24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 【答案】60 【分析】本题考查平面镶嵌（密铺），根据正六边形内角和定理．求出每个内角度数，然后根据周角求出答案． 【详解】解：∵正六边形内角和：， ∴每个内角度数：， ∴， ∴的度数为． 故答案为：60． 题型06密铺的阅读理解 方法技巧：按材料给出的公式与步骤，逐步计算验证。 【典例6】. （24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫作多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【答案】（1）；；；（2）①③；（3） 【分析】该题主要考查了正n边形内角和定理以及平面镶嵌，解题的关键是掌握正n边形内角和定理以及平面镶嵌的相关知识． （1）用再除以n即可求解； （2）根据正n边形的每一个内角度数与相邻外角的度数之和为进行求解即可； （3）根据正五边形每一个内角的度数结合周角进行求解即可． 【详解】（1）解：正五边形每个外角的度数为， 正六边形每个外角的度数为， 正八边形每个外角的度数为， 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 （2）解：正三角形每个内角的度数为， 正五边形每个内角的度数为， 正六边形每个内角的度数为， 正七边形每个内角的度数为， 正八边形每个内角的度数为， ∵，，， ∴只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有①③， 故答案为：①③． （3）解：∵正五边形的内角为， ∴． 【变式1】. （24-25八年级上·福建莆田·月考）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 【答案】任务一：360；问题②：正五边形不可以进行密铺，理由见解析；任务二：问题③：三角形；四边形；问题④：；问题⑤：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥；①②④，②④⑦，①②⑦；问题⑥：（1）A为正四边形，B为正三边形；（2）见解析 【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案； 任务二：问题③观察图形直接作答即可；问题④根据平面镶嵌的特点，进行计算即可； 问题⑤：根据各种正多边形的内角，结合平面镶嵌的特点作答即可；问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x，根据题意，列出方程进行求解即可；（2）根据要求画出图形即可． 【详解】解：任务一：问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺； 故答案为：360； 问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下： ∵正五边形的每一个内角度数为，， ∴正五边形不可以进行密铺； 任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺； 故答案为：三角形；四边形； 问题④：由图形并结合题意可得：∠A的度数为． 故答案为：． 问题⑤：由正边形的一个内角的计算公式:可知：①正三角形的一个内角为，②正方形的一个内角为，③正五边形的一个内角为，④正六边形的一个内角为，⑤正八边形的一个内角为，⑥正十边形的一个内角为，⑦正十二边形的一个内角为， ∵，，，，； ，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦，①②⑦； 问题⑥：（1）设B的内角为x，则A的内角为x， ∵2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺）， ∴， 解得：， 则 ， ∴可确定A为正四边形，B为正三边形； （2）答案不唯一，所画图形如下： ． 【变式2】. （25-26八年级下·福建莆田·月考）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 【答案】(1)正六边形 (2)①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦ (3) 【分析】（1）当时，正六边形的内角度数能整除，即得答案； （2）若从中选用两种或三种不同的正多边形进行平面密铺，围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即可得到答案； （3）由题意列方程，化简方程即得答案． 【详解】（1）解：正六边形的一个内角为，， 故正六边形可以进行平面密铺； （2）解：∵①正三角形的内角为，②正方形的内角为，③正五边形的内角为，④正六边形的内角为，⑤正八边形的内角为，⑥正十边形的内角为，⑦正十二边形的内角为， ∵，，，，，， 故答案为：①②，①④，②⑤，①⑦，③⑥（写三个即可）；①②④，②④⑦； （3）解：由题意得：， 即， 故答案为：． 【变式3】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）实践与探究： 主 题 探究正多边形的密铺 素材1 密铺的概念：在数学中用形状、大小完全相同的几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌． 素材2 密铺的条件：1．拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度； 2. 相邻的多边形边长相等（以下探讨的正多边形的边长都相等）． 素材3 正n边形的每个内角度数 边数 3 4 5 6 8 10 12 15 每个内角 探 究 一 仅用一种正多边形密铺平面． 任务一：如果仅用一种正多边形能密铺平面，这样的正多边形有哪几种？ 探 究 二 同时用两种正多边形密铺平面． 任务二：同一拼接点用x个正方形和y个正八边形可以密铺平面吗？如果可以请求出x、y的值，如果不能请说明理由． 探 究 三 同时用三种正多边形密铺平面． 任务三：请你根据素材3每种正多边形的内角度数，写出两组用三种正多边形密铺平面的组合． 探 究 四 用方程思想解释用一种正多边形密铺平面． 任务四：设正多边形的边数是n，每一个接点处的正多边形的数量为m，则有，整理得：，利用这个等式求出整数m、n的值． 【答案】任务一：正三角形、正方形、正六边形；任务二：可以，，；任务三：见解析（答案不唯一）；任务四：或或 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，二元一次方程的应用等知识． 任务一：根据能平面密铺的图形，其角度必须是360的因数判断即可， 任务二：根据平面密铺的条件列出二元一次方程，求解即可得出答案． 任务三：根据平面密铺的条件，三种正多边形的围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角即可． 任务四：求出利用二元一次方程的解即可得出答案． 【详解】解：任务一：仅用一种正多边形能密铺平面，这样的正多边形有正三角形、正方形、正六边形； 任务二：同一拼接点用正方形和正八边形可以密铺平面． 依题意得， 整理得： ∵x、y均为正整数 ∴ 则同时用正方形和正八边形可以密铺平面，其中，． 任务三：用三种正多边形密铺平面的组合可以是： 1. 正三角形、正方形、正十二边形； 2. 正三角形、正方形、正六边形； 3. 正方形、正六边形、正十二边形．(答案不唯一) 任务四：∵m、n均为正整数， ∴或或 解得或或 一、单选题 1．用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 【答案】D 【分析】本题考查平面镶嵌条件，解题的关键是用“简化内角公式”速算已知正多边形内角，结合“顶点总内角”和“个数为正整数”，快速锁定另一种正多边形． 用简化公式算已知正多边形内角，确定其顶点处可能个数（因内角大，个数仅1或2）； 按“减已知内角和”算剩余内角，匹配正多边形内角（需为正多边形内角且个数为正整数）． 【详解】解：由简化公式“正边形内角”，得； 因，故正八边形顶点处仅能放1个或2个． 若放1个：剩余内角和，无正多边形内角能整除（排除）； 若放2个：剩余内角和，是正四边形内角（正四边形内角），符合条件． 故另一种正多边形是正四边形，选D． 故选：D． 2．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫作平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正五边形与正八边形 【答案】D 【分析】本题考查了求正多边形的内角，解题关键是求出各个正多边形的内角及利用它们拼成．先求出各个正多边形的内角，再验证两个正多边形的内角度数的整数倍之和是否为即可． 【详解】解：A、正三角形的每一个内角为，正方形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； B、正三角形的每一个内角为，正六边形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； C、正方形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，，所以能拼成，不符合题意； D、正五边形的每一个内角为，正八边形的每一个内角为，无法拼成，符合题意． 故选：D． 3．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫作平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可． 【详解】解：A、等边三角形内角的度数为，，不符合题意； B、正方形各内角的度数为，，不符合题意； C、正五边形各内角的度数为，，符合题意； D、正六边形各内角的度数为，，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 4．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则___________ ． 【答案】2或4/4或2 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，二元一次方程的正整数解，正确计算是解题的关键，先求出正三角形、正六边形的每个内角的度数，再根据题意列出，再求正整数解即可． 【详解】解：正三角形的每个内角是，正六边形的每个内角是， 根据题意得，即（、n为正整数）， 解得，， 的值是2或4， 故答案为：2或． 5．某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是______． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合内角度数能整除的条件． 分别求出各个正多边形每个内角的度数，结合密铺的条件即可作出判断． 【详解】解：①正三角形的每个内角都是，能整除，6个能组成镶嵌； ②正方形的每个内角都是，能整除，4个能组成镶嵌； ③正五边形每个内角都是，不能整除，不能镶嵌； ④正六边形的每个内角都是，能整除，3个能组成镶嵌； ∴不能进行密铺的地砖的形状是③． 故答案为：③． 6．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 【答案】 【分析】本题考查了无缝拼接的条件，多边形的内角和，正多边形的定义，理解无缝拼接的条件和正多边形的定义，掌握多边形的内角和公式：是解题的关键．由无缝拼接的条件得，由多边形的内角和公式和正多边形的定义，进行列式计算，即可求解； 【详解】解：由题意得：正m边形的内角为， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题 7．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫作用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了平面镶嵌，解题的关键是根据围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角来解答． （1）利用内角的整数倍能等于即可； （2）利用两种正多边形镶嵌内角之间关系求解即可； 【详解】（1）解：能，理由如下： ∵正三角形的内角和为， ∴正三角形的每一个内角为． ∵， ∴正三角形能镶嵌成一个平面图形． （2）解：能，理由如下： ∵正十二边形的内角和为， ∴正十二边形的每一个内角为． ∵， ∴同时用1块正三角形和2块正十二边形能镶嵌成一个平面图形． 8．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫作平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题主要考查正多边形内角的度数； （1）根据题意，得出正多边形每个内角的度数为即可； （2）先求出正六边形内角的度数，再求多边形的内角加在一起能否组成一个周角即可． 【详解】（1）解：根据题意，正多边形每个内角的度数为： （2）解：正六边形内角的度数： ∴3个正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形； ∴选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形． 9．人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 【答案】(1) ；； (2)，理由见解析 (3)②④ 【分析】本题主要考查平面镶嵌（密铺）和多边形内角与外角，解不定方程，解题关键是掌握平面镶嵌的要求：拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于． （1）根据多边形的对角线的定义和内角和的求法即可得出答案； （2）根据正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为，于是得到方程，即，解方程即可得到结论； （3）先分别得出各个正多边形的内角度数，再根据平面镶嵌的定义，逐个进行判断即可． 【详解】（1）解：边形一个顶点出发有条对角线，正边形内角和为，正边形每个内角为； 故答案为：，，； （2）解：当时能够实现平面镶嵌，理由如下： 正三角形每个内角的度数为，正方形每个内角的度数为， ，即， ∵为正整数， ； （3）解：①设正三角形个，正五边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正五边形不能进行平面密铺； ②设正三角形个，正六边形个， 由题意得：， 解得：或， 正三角形和正六边形能进行平面密铺，需要2个正三角形和2个正六边形或需要4个正三角形和1个正六边形； ③设正三角形个，正八边形个， 由题意得：， 此方程无正整数解， 正三角形和正八边形不能进行平面密铺； ④设正三角形个，正十二边形个， 由题意得：， 解得：， 正三角形和正十二边形能进行平面密铺，需要1个正三角形和2个正十二边形； 故答案为：②④． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.3 用正多边形铺设地面 教学目标 1.理解平面镶嵌的定义与核心条件。 2.掌握同一种正多边形密铺的判定方法。 3.会判断多种正多边形能否密铺，并列出方程。 4.能设计简单的密铺方案，体会建模思想。 教学重难点 重点 （1）平面镶嵌的核心条件：内角和为 （2）单一正多边形密铺的判断 （3）两种正多边形密铺的方程解法 难点 （1）多种正多边形组合密铺的整数解讨论 （2）密铺原理在实际设计中的应用 知识点01：平面镶嵌（密铺）的定义 1.定义：用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间 地铺成一片，叫做平面图形的镶嵌（密铺）。 2.核心条件：围绕一点拼在一起的几个内角的和 （周角）。 【即学即练】 1．（2024七年级下·全国·专题练习）用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面，并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．下图所示的三个“半正密铺”图案可以依次用记号，，表示．下列记号中，不能表示“半正密铺”图案的是（ ） A． B． C． D． 知识点02：用同一种正多边形铺设地面 1.判定公式：设正边形每个内角为 ，若个内角能拼成，则 （ 为正整数）。 2.可单独密铺的正多边形： 、 、 。 3.拓展：任意 、 均可单独密铺。 【即学即练】 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正三角形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 知识点03：用多种正多边形铺设地面 1.核心条件：同一顶点处，几种正多边形的内角和为 。 2.常见两种组合： 正三角形+正方形 正三角形+正六边形 正三角形+正十二边形 正方形+正八边形 3.常见三种组合： 正三角形+正方形+正六边形 正方形+正六边形+正十二边形 【即学即练】 1．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）下列正多边形的组合中，不能铺满地面的是（　　） A．正三角形和正六边形 B．正方形和正六边形 C．正三角形和正十二边形 D．正三角形、正方形和正六边形 题型01单一正多边形能否密铺判断 方法技巧：用一个内角度数，结果为正整数即可密铺。 【典例1】. （24-25七年级下·山西长治·期末）若平铺地面的瓷砖每一个顶点处由块相同的正多边形组成，此时的正多边形只能是（   ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 【变式1】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）商店出售下列形状的地砖：①长方形；②正方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某一种地砖用来镶嵌教室地面，可供选择的地砖是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【变式2】. （25-26八年级上·全国·单元复习）如图所示是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是（  ）边形． A．四 B．五 C．六 D．八 【变式3】. （24-25八年级下·广西百色·期末）只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（   ） A． B． C． D． 题型02由密铺求正多边形边数 方法技巧：根据内角和为，代入内角公式解方程求。 【典例2】. （24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，要用三种正多边形的木板铺设地面，使拼在一起并相交于点的各边完全吻合，其中已经拼好的两种木板的边数分别是和，则第三种木板的边数应是______． 【变式1】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）如图是用边长相等的正三角形和正n边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则正边形的边数为（    ） A．八 B．九 C．十 D．十二 【变式2】. （24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知有三个边长相同，但边数不同且边数是偶数的正多边形可以无缝拼接，那么这三个正多边形的边数分别是______． 【变式3】. （25-26八年级上·吉林长春·开学考试）将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为（    ） A．5 B．8 C．10 D．12 题型03单一正多边形密铺的个数计算 方法技巧：个数该正多边形一个内角度数。 【典例3】. （25-26九年级上·福建·期末）将全等的正五边形按图所示的方式排列组成一个圆圈，组成一个完整的圆圈需要的正五边形的个数是______． 【变式1】. （24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（   ） A．15 B．12 C．10 D．8 【变式2】. （2024·河北邯郸·二模）如图，用一些全等的正五边形按如图方式可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形拼接的情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则该正多边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3】. （24-25八年级下·四川达州·期末）巴山大峡谷景区是国家森林公园，大巴山国家地质公园，天然褶皱造型博物馆，也是四川十大红叶旅游目的地、古巴人文化的富集地．周末，小乐和爸爸妈妈一起去巴山大峡谷游玩，发现状元楼的每一层的地面可以近似地看作正多边形，爸爸借此机会给小乐出了两道数学题，请帮小乐一起解答． (1)若用两种边长相等的正多边形镶嵌整个平面，其中一种是等边三角形，另一种不可能是下面的______．（填序号） ①正四边形    ②正五边形    ③正六边形 (2)如图1是用4个全等的正八边形拼接成的图形，相邻两个正八边形有一条公共边，围成一圈后，中间形成一个正方形．如图2，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，围成一圈后，中间也形成一个正多边形，求n的值． 题型04两种正多边形密铺 方法技巧：设个数为、，列（、为内角度数）。 【典例4】. （25-26九年级下·福建厦门·月考）用若干个全等的正五边形按下图方式拼接，使相邻的两个正五边形只有1个公共顶点，且两边所夹的锐角均为，按此方式拼接一圈后，中间形成的多边形是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形 【变式1】. （2026·陕西商洛·一模）如图，用边长相等的3个正五边形和中间的正三角形密铺成了如图所示的花瓣形图案（每个正五边形均与三角形有一组公共边），则的度数为___________． 【变式2】. （25-26九年级下·陕西西安·期中）如图，用正三角形地砖与正方形地砖在点处进行无空隙、不重叠地铺设．若一块边长相同的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数为___________． 【变式3】. （2026·安徽六安·一模）我们知道形状相同的三角形或四边形均可以进行镶嵌．如图，用正三角形、正四边形和正六边形按图中所示的规律拼图案． (1)按图中所示的规律拼接， 完成平面镶嵌；（填“能”或“不能”） (2)第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，第个图案有个正方形，…，按此规律摆下去，则第个图案有个正方形；（用含的代数式表示） (3)若正多边形的边长为，在上面的一组图案中是否存在这样的图案：所有正方形的边长之和比所有正六边形的边长之和大？若存在，求出是第几个图案；若不存在，请说明理由． 题型05已知密铺组合求未知内角度数 方法技巧：用减去已知内角和，得未知内角。 【典例5】. （25-26八年级上·山东烟台·期末）公园的一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其部分密铺图案如图所示，若，，则的度数为___________． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，学校里一段甬道是由完全相同的五边形密铺而成，其中，则的度数为______． 【变式2】. （2025·江苏镇江·中考真题）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空隙），观察示意图（图（2））可知的值等于_____． 【变式3】. （24-25八年级下·上海静安·期末）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是________度． 题型06密铺的阅读理解 方法技巧：按材料给出的公式与步骤，逐步计算验证。 【典例6】. （24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写下表： 正多边形的边数 3 4 5 6 8 正多边形每个外角的度数 ___________ ___________ ___________ （2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号） ①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求的度数． 【变式1】. （24-25八年级上·福建莆田·月考）阅读下列材料，并完成相应任务． 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 任务一：探究同一种正多边形的密铺． 如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角． 问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为 ，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺． 问题②你认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由． 任务二：探究同一种一般多边形的密铺 经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2． 问题③观察图2，可以发现任意 和任意 都可以单独密铺． 经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究． 目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图． 问题④图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，则∠A的度数为 ． 问题⑤继续研究发现，多个的多边形也可以进行镶嵌 现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） 问题⑥已知2个正多边形A和3个正多边形B可绕一点周围镶嵌（密铺），A的一个内角的度数是B的一个内角的度数的． （1）试分别确定A，B是什么正多边形； （2）画出这5个正多边形在平面镶嵌（密铺）的图形． 【变式2】. （25-26八年级下·福建莆田·月考）阅读理解： 平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖．一般来说，构成一个平面密铺图形的基本图形是多边形或类似的一些常规形状，例如我们铺地板时经常使用正方形地砖． 对于正n边形，从一个顶点出发作对角线，它们将n边形分成个三角形，得到其内角和是，则一个内角的度数就是．若一个内角度数能整除，那么这样的正n边形就可以进行平面密铺． 图1和图2就是分别利用正三角形和正方形得到的两组密铺图案．如图3，按照平面密铺的条件，正五边形就不能进行平面密铺．对于一些不规则的多边形也可以进行平面密铺．图4就是利用不规则的五边形得到的一种密铺图案． 解决问题： (1)除“正三角形”“正方形”外，请再写出一种可以进行平面密铺的正多边形 ； 拓展延伸： (2)现有如下若干个正多边形：①正三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形，⑤正八边形，⑥正十边形，⑦正十二边形，这些正多边形的边长均相等．若从中选用两种不同的正多边形进行平面密铺，写出三种组合是 ；若选用三种不同的正多边形可以进行平面密铺，写出所有的组合是 ．（填数字序号即可） (3)用若干边长相等的正三角形和正六边形进行平面密铺，若每一个顶点周围有m个正三角形，n个正六边形，则m，n满足的关系式是 ． 【变式3】. （24-25七年级下·福建泉州·期末）实践与探究： 主 题 探究正多边形的密铺 素材1 密铺的概念：在数学中用形状、大小完全相同的几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌． 素材2 密铺的条件：1．拼接在同一个点的各个角的和恰好是360度； 2. 相邻的多边形边长相等（以下探讨的正多边形的边长都相等）． 素材3 正n边形的每个内角度数 边数 3 4 5 6 8 10 12 15 每个内角 探 究 一 仅用一种正多边形密铺平面． 任务一：如果仅用一种正多边形能密铺平面，这样的正多边形有哪几种？ 探 究 二 同时用两种正多边形密铺平面． 任务二：同一拼接点用x个正方形和y个正八边形可以密铺平面吗？如果可以请求出x、y的值，如果不能请说明理由． 探 究 三 同时用三种正多边形密铺平面． 任务三：请你根据素材3每种正多边形的内角度数，写出两组用三种正多边形密铺平面的组合． 探 究 四 用方程思想解释用一种正多边形密铺平面． 任务四：设正多边形的边数是n，每一个接点处的正多边形的数量为m，则有，整理得：，利用这个等式求出整数m、n的值． 一、单选题 1．用两种正多边形拼地板，其中的一种是正八边形，则另一种正多边形的边数是（    ） A．正五边形 B．正六边形 C．正三角形 D．正四边形 2．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖叫做平面镶嵌，下列正多边形的组合不可以用来平面镶嵌的是（    ） A．正三角形和正方形 B．正三角形与正六边形 C．正方形与正八边形 D．正五边形与正八边形 3．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做平面镶嵌．若只选用一种大小相同的正多边形瓷砖进行平面镶嵌，则不能铺满地面的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．要用边长相同的正三角形、正六边形两种材料两种材料都要用到密铺地面，必须满足：有公共顶点的若干个个正三角形的内角与若干个个正六边形的内角的和等于，则___________ ． 5．某城市进行旧城区人行道的路面翻新，准备对地面密铺彩色地砖，有人提出了4种地砖的形状供设计选用：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中不能进行密铺的地砖的形状是______． 6．小芳用三个全等的正边形硬纸片和一个正三角形硬纸片拼了一个平面图形，这四个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，是所拼的这个平面图形的一部分，则______． 三、解答题 7．相信很多人家里都有“巧手妈妈”，图1是一位巧手妈妈手工织的坐垫，图2是某学校操场铺的地砖．它们或是用单独的正多边形，或是用多种正多边形混合拼接成的，拼成的图案严丝合缝，不留空隙．从数学角度看，这些作品就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． (1)如果限用一种正三角形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？请说明理由； (2)如果同时用正三角形和正十二边形来覆盖平面的一部分，是否能镶嵌成一个平面图形？如果能，应如何搭配进行平铺，请说明理由． 8．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留一丝空隙，又不互相重叠（在数学上叫做平面镶嵌）．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成了一个平面图形． (1)请你根据图中的图形，填写表中空格； (2)如果选择正六边形进行平面镶嵌，能镶嵌成一个平面图形吗？说明理由． 正多边形边数 3 4 5 … n 正多边形每个内角的度数 … 9．人们在房屋装修时，需要选择适当的地砖拼成各种美丽的图案，生活中对地砖拼接最基本的要求是：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．哪些正多边形可以镶嵌？怎样开展研究？ 为了解决上面的问题，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法． (1)探究一：五边形一个顶点出发有2条对角线，可以分成三个三角形，因此五边形内角和为，正五边形每个内角为；…… 边形一个顶点出发有_____条对角线，正边形内角和为_____，正边形每个内角为_____． (2)探究二：两种正多边形围绕一个点镶嵌的条件是：其中一个正多边形的个数乘以它的内角度数加上另一个正多边形的个数乘以它的内角度数等于，即；若正三角形有个，正方形有个，求为何值时能够实现平面镶嵌？请说明理由． (3)探究三：若用两种边长相等的正多边形进行平面镶嵌，能与正三角形匹配形成镶嵌图形的正多边形有_____． ①正五边形；②正六边形；③正八边形；④正十二边形 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $