专题01 因式分解（十一大题型）（题型训练+易错精练）2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（苏科版）

"**基本信息** \n聚焦因式分解十一大题型，以概念辨析-方法应用-综合拓展为逻辑主线，覆盖基础到应用全维度，强化运算能力与推理意识。 \n**专项设计** \n|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|\n|----|-----------|----------|----------|\n|概念辨析|题型1-2（8题）|判断定义、求分解参数|从概念本质切入，建立因式分解认知基础|\n|基础方法|题型3-6（20题）|公因式确定、提公因式法、公式法|由具体到抽象，掌握核心分解工具|\n|综合方法|题型7-10（18题）|综合法、十字相乘、分组分解|方法融合递进，提升复杂式子分解能力|\n|实际应用|题型11（6题）|简算、代数求值、几何应用|联系现实问题，体现数学语言表达价值|"

专题01 因式分解（十一大题型） 【题型1 判断是不是因式分解】...........................................................................................1 【题型2 已知因式分解的结果求参数】...............................................................................2 【题型3 公因式】.................................................................................................................2 【题型4 提公因式法分解因式】..........................................................................................2 【题型5 平方差公式分解因式】..........................................................................................2 【题型6 完全平方公式分解因式】.......................................................................................3 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】........................................................................3 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】.......................................................................3 【题型9 十字相乘法】.........................................................................................................3 【题型10 分组分解法】.......................................................................................................4 【题型11 因式分解的应用】...............................................................................................4 【题型1 判断是不是因式分解】 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．已知整式可以因式分解为，则的值为________． 6．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 7．若多项式可因式分解为，则的值为_________． 8．如果 可分解为， 则 ___________________________ 【题型3 公因式】 9．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 10．与的公因式是__________． 11．与的公因式是______． 12．多项式各项的公因式是________． 13．多项式的公因式是___________． 14．多项式的公因式是_____． 【题型4 提公因式法分解因式】 15．因式分解：_________． 16．分解因式：_____． 17．因式分解：______． 18．因式分解：________． 19．因式分解：______． 【题型5 平方差公式分解因式】 20．因式分解：__________． 21．分解因式：__________． 22．若，，则_____． 23．因式分解：______． 24．因式分解：__________． 【题型6 完全平方公式分解因式】 25．因式分解：______． 26．若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 27．若，则______，______． 28．如果因式分解的结果为____． 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 29．因式分解：________． 30．把多项式分解因式的结果是_________． 31．因式分解：________． 32．因式分解： _______________． 33．分解因式：________． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 34．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 35．(    ) A． B． C． D． 36．运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 37．计算：_______． 38．计算：________． 【题型9 十字相乘法】 39．因式分解：_______． 40．分解因式：______． 41．因式分解：________． 42．教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 【题型10 分组分解法】 43．因式分解：________． 44．因式分解：________ 45．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型11 因式分解的应用】 46．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 47．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 48．若，则的值为(        ) A．9 B．18 C．27 D．30 49．甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（    ） A． B． C． D． 50．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 51．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 因式分解（十一大题型） 【题型1 判断是不是因式分解】...........................................................................................1 【题型2 已知因式分解的结果求参数】...............................................................................3 【题型3 公因式】.................................................................................................................4 【题型4 提公因式法分解因式】..........................................................................................6 【题型5 平方差公式分解因式】..........................................................................................7 【题型6 完全平方公式分解因式】.......................................................................................8 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】........................................................................9 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】.......................................................................10 【题型9 十字相乘法】.........................................................................................................12 【题型10 分组分解法】.......................................................................................................13 【题型11 因式分解的应用】...............................................................................................14 【题型1 判断是不是因式分解】 1．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做因式分解”对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果必须是几个整式乘积的形式， A、变形是整式乘法，结果为和的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是分解因式，符合题意 D、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意． 2．下列各式从左到右的变形为因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，需根据此定义逐一判断． 本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答． 【详解】解：A．，不是因式分解，故不符合题意； B．是因式分解，符合题意； C．是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意； D．中含有分式，不是因式分解，故不符合题意； 故选：B． 3．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将多项式变形为几个整式乘积的形式，需满足等式左边为多项式，右边为几个整式的乘积，左右两边相等，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．的右边不是整式乘积的形式，故A不符合题意； B．是整式乘法，从乘积变形得到多项式，不是因式分解，故B不符合题意； C．是整式乘法，从乘积变形得到多项式，不是因式分解，故C不符合题意； D．满足因式分解的定义，是因式分解，符合题意． 4．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； B、右边不是整式积的形式，不属于因式分解，不符合题意； C、是整式乘法运算，从整式的积转化为多项式，不属于因式分解，不符合题意； D、将多项式转化为与这两个整式的积，符合因式分解的定义，符合题意； 故选：D． 【题型2 已知因式分解的结果求参数】 5．已知整式可以因式分解为，则的值为________． 【答案】4 【分析】本题考查的是多项式因式分解与整式乘法的互逆关系，解题关键是利用整式乘法展开因式分解式，再通过对应项系数相等列方程求解． 通过展开因式分解形式，比较同类项系数，建立方程求解即可． 【详解】展开 ，与原式 比较系数， 得 ，解得 ． 故答案为 4 6．已知关于的二次三项式可分解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解定义将变为即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．若多项式可因式分解为，则的值为_________． 【答案】25 【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，也考查了平方差公式，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，得出，即可作答． 【详解】解：依题意，∵多项式可因式分解为， ∴ ∴ 故答案为：25 8．如果 可分解为， 则 ___________________________ 【答案】 【分析】本此题考查了因式分解的应用，多项式乘以多项式法则，负整指数幂，熟练掌握多项式乘多项式和负整指数幂的法则是解本题的关键． 已知分解结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出a与b的值，再将a和b的值代入到中计算即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ∴ 解得，， ∴， 故答案为：． 【题型3 公因式】 9．把多项式分解因式时，应提取的公因式是_________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】解：的公因式为． 故答案为：． 10．与的公因式是__________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了公因式，解题的关键是掌握公因式的定义． 将原式进行因式分解，然后确定公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 11．与的公因式是______． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 12．多项式各项的公因式是________． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的定义，准确掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定系数的最大公约数，再确定各项的相同字母，并取相同字母的最低指数次幂． 【详解】解：各项的系数的最大公约数是，各项相同字母的最低指数次幂是， 则多项式各项的公因式是， 故答案为：． 13．多项式的公因式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握确定公因式的方法是解题关键．确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂；由此即可得． 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为：． 14．多项式的公因式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了求多项式的公因式，一个多项式的公因式是这个多项式各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积，据此求解即可． 【详解】解：系数12和18的最大公约数是6；字母部分，的最小指数为2，的最小指数为2，的最小指数为1，故公因式为， 故答案为：． 【题型4 提公因式法分解因式】 15．因式分解：_________． 【答案】 【详解】解：． 16．分解因式：_____． 【答案】 【详解】解：原式. 17．因式分解：______． 【答案】 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式得到最终结果． 【详解】解： ． 18．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，先将式子中互为相反数的因式转化为相同形式，确定公因式，再利用提公因式法进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 19．因式分解：______． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，运用提公因式法分解因式，通过变形后提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【题型5 平方差公式分解因式】 20．因式分解：__________． 【答案】 【详解】解： ． 21．分解因式：__________． 【答案】 【分析】先将原式整理为两个平方项的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】原式 ． 22．若，，则_____． 【答案】10 【详解】解：根据平方差公式可得 将，代入得原式． 23．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 观察多项式发现符合平方差公式的形式，直接应用公式进行因式分解． 【详解】解：， 故答案为：． 24．因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的几种方法是解题的关键．利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【题型6 完全平方公式分解因式】 25．因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的因式分解，解题的关键是识别多项式符合完全平方公式的形式，直接利用公式分解． 观察多项式，其符合完全平方公式的形式，其中，，直接代入公式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 26．若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据即可求解； 【详解】解：∵ 能用完全平方公式因式分解，且，， ∴ ； ∴比较系数得 ； 故答案为： 27．若，则______，______． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的展开，根据对应项的系数相等是解题的关键． 把式子展开，根据对应项系数相等，得出的值． 【详解】， ， 故答案为： 28．如果因式分解的结果为____． 【答案】 【分析】利用完全平方公式解答即可． 【详解】解： 【题型7 综合提公因式和公式法分解因式】 29．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续进行因式分解即可． 【详解】解： ． 30．把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 31．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解，保证分解彻底； 【详解】解： ． 32．因式分解： _______________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，平方差公式，熟练掌握因式分解的相关方法是解题的关键，先提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 33．分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：原式． 【题型8 因式分解在有理数简算中的应用】 34．计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握利用平方差公式进行因式分解是解题的关键．利用平方差公式因式分解得，即可求解． 【详解】解：， 故选：D． 35．(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用因式分解进行简便运算，提公因式法进行因式分解后，再进行计算即可． 【详解】解：原式； 故选C． 36．运用因式分解计算：的结果为（    ） A．314 B．264 C．256 D．300 【答案】A 【分析】本题主要考查了分解因式的应用，用提公因式分解因式，然后进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：A． 37．计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解后，计算即可． 【详解】解：原式 ； 故答案为：． 38．计算：________． 【答案】/ 【分析】接利用平方差公式把每一个算式因式分解，再进一步发现规律计算即可． 【详解】解：原式= ， 故答案为：． 【点睛】此题考查因式分解的应用，解题关键在于利用公式进行计算． 【题型9 十字相乘法】 39．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键； 使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【详解】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 40．分解因式：______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查因式分解，掌握运用十字相乘法分解因式是解题的关键． 利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为． 41．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解：利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解：∵，且， 故利用十字相乘法可得 ， 故答案为：． 42．教材有这样一段话：分解因式的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数(如图) 这样，我们也可以得到 利用上述方法，分解因式：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查利用十字相乘法求解一元二次方程，判断是否可以利用十字相乘法是解题的关键． 首先观察这个式子的二次项系数，常数项和一次项系数，利用十字相乘法运算得到即可． 【详解】解：∵这个式子的二次项系数，常数项，一次项系数， ∴， 故答案为：． 【题型10 分组分解法】 43．因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．通过分组分解法，将原式分为两组，分别提取公因式后，再提取公因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 44．因式分解：________ 【答案】 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，通过重新分组并提取公因式后，再提取二次公因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 45．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 【题型11 因式分解的应用】 46．已知，，则多项式的值为（     ） A．5 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 故选：C． 47．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了因式分解的应用．先对进行提公因式，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 48．若，则的值为(        ) A．9 B．18 C．27 D．30 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的应用．将表达式通过因式分解和代入已知条件，简化计算. 【详解】解：∵， ∴. 故选：C． 49．甲、乙两位同学在对多项式分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式因式分解与展开的逆用，抓住 “看错系数但正确系数不变” 的特点是解题的关键． 甲看错了的值但正确，从甲分解结果求；乙看错了的值但正确，从乙分解结果求，再计算即可． 【详解】∵ 甲看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∵ 乙看错了的值，分解结果为， 展开得， ∴ ， ∴． 故选：A． 50．高力装饰城某家居装饰店接到一个订单，要求用店内如图所示的，，三种板材装饰一面正方形背景墙．最后该家居装饰店用了块型板材、块型板材和块型板材完成这个装饰任务，则这面正方形背景墙的边长是______． 【答案】 【分析】首先根据图形分别表示出、、三种板材的面积，然后根据使用的数量计算出背景墙的总面积，最后利用完全平方公式将总面积分解为平方的形式，从而得出正方形的边长． 【详解】解：由图可知，型板材的面积为，型板材的面积为，型板材的面积为， 根据题意，这面正方形背景墙的总面积为： ， 因为背景墙是正方形，且面积为， 所以这面正方形背景墙的边长是． 51．已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【分析】将已知等式因式分解后，结合三角形三边关系得到三角形边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ， 移项得， 提取公因式得， 为的三边， 根据三角形三边关系可知，即， ，即， 是等腰三角形． 1 学科网（北京）股份有限公司 $