23.3一次函数与方程（组）、不等式学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

"该初中数学导学案聚焦一次函数与方程（组）、不等式的关系，从一次函数概念切入，连接已学的方程与不等式知识，通过“数”与“形”结合构建转化思想，搭建从代数解法到图象应用的学习支架。\n资料以情境化例题（如通讯费用、行程问题）培养模型意识，分层设计（基础到中考题）提升推理能力，“数”“形”结合发展几何直观，助力学生用数学思维解决实际问题，适合自主学习与教学评估。"

人教版（2024版）八年级下册数学第23章一次函数 23.3一次函数与方程（组）、不等式 任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为O时，求相应的自变量的值：从图象上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值. 例1 利用函数图象解 例2 一个冷冻室开始的温度是，开机降温后室温每小时下降，设表示开机降温工作时的温度． (1)写出与之间的函数关系式，并画出其图象； (2)利用图象说明经过几小时冷冻室温度降至？何时降至 任何一元一次不等式都可以转化为或为常数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当某个一次函数的函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围． 例3 函数，当为何值时： ；；. 例4 用图象法解不等式：. 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 例5 用作图象的方法解方程组 例6 如图14.3-7所示，直线、相交于点A，试求出点A的坐标. 例7 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元，那么： (1)写出、与之间的函数关系式； (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)求出一个月通话多少分钟，两种通讯方式费用相同； (4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算？ 例8 如图14.3-9，已知直线经过点M，求此直线与轴、轴的交点坐标． 例9 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图14.3-10所示，问行李的质量只要不超过多少千克时就免费托运． 例10 如图14.3-11，已知直线的图象与两轴分别交于A、B两点，直线经过原点，与线段AB交于C点，把△AOB的面积分成2:1的两部分，求直线的解析式. 例11 如图14.3-12，直线的函数解析式为，且与轴交于点D．直线经过点A、B，直线交于点C (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求△ADC的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与 △ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 例12 如图14.3-13，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题． (1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (2)指出轮船和快艇的行驶速度； (3)问快艇出发多长时间赶上轮船？ 例13 如图14.3-14，分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用（费用灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间 (小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样． (1)根据图象分别求出的函数关系式； (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ (3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）． 利用函数图象解不等式时，需要从两直线的交点判断不等式的解集，此时，由于对函数值、点的坐标理解不清楚而导致错误． 例14 用画函数图象的方法解不等式： 例15 若直线与直线相交于第三象限内一点，求的取值范围． 中考经典 例16 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图14.3-16所示），则所解的二元一次方程组是 ( ) A. B. C. D. 例17 如图14.3-17，直线经过点A(-1，-2)和点B(-2，O)，直线过点A，则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D． 例18 如图14.3-18，直线：与直线：相交于点P(1，). (1)求的值； (2)不解关于，的方程组请你直接写出它的解； (3)直线：是否也经过点P？请说明理由． 例19 某部队甲、乙两班参加植树活动，乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为（棵），乙班植树的总量为（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为（时）．、分别与之间的部分函数图象如图所示． (1)当0≤≤6时，分别求、与之间的函数关系式． (2)如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵． (3)如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵． \ 例20 某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25min，于是立即步行回家取票，同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．图14.3-20中线段AB，OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s(m)与所用时间t(min)之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： (1)求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式． (2)小明能否在比赛开始前到达体育馆？ 课后练习： 1．直线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 2．如图14.3-21，直线经过和两点，则不等式组的解 集为 . 3．如图14.3-22，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二 元一次方程组的解是 ． 4．已知方程的解是，则直线与直线的交点坐标是( ) A．(1，0) B．(1，3) C．(-1，-1) D．(-1，5) 5．一次函数的图象如图14.3-23所示，当时，的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．当时，直线上的点的位置是 ( ) A．在轴上方 B．在轴下方 C．在y轴左侧 D．在y轴右侧 7．求函数的图象与轴围成的三角形的面积． 8．直线的解析式为，直线与交于点（-2，口），且与y轴交点的纵坐标为7． (1)求直线的解析式． (2)求与轴所围成的三角形的面积． 9．小明骑自行车去郊外春游，如图14. 3-25是他离家距离y(千米)与所用时间（时）之间的函数图象，根据图象回答： (1)小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家 多远？ (2)求小明出发2个半小时时离家多远？ (3)求小明出发多长时间距家12千米？ 10.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆、B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓 库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元． (1)设从乙仓库运往A县农用车x辆，求总运费y与x之间的关系式； (2)若要求总运费不超过900元，则共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案和最低运费． 11.有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图14.3-24是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题． (1)乙队开挖到30米时，用了 小时，开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米； (2)请你求出：①甲队在0≤≤6的时段内，y与之间的函数关系式； ②乙队在2≤≤6的时段内，与之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？ (3)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米／时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ 用函数观点看方程（组）与不等式例题答案解析 任何一元一次方程都可以转化为为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为O时，求相应的自变量的值：从图象上看，这相当于已知直线，确定它与轴交点的横坐标的值. 详解 (1)直线与轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解，在求直线与轴交点时，可令，得到一元一次方程，解方程得，则直线与轴交点的坐标为. (2)对于一次函数，在已知求值或已知值求值时，也都是把问题转化成关于或的一元一次方程来求解的． 拓展 (1)一元一次方程(是常教，)的解是一次函数 (是常数，）的图象与轴交点的横坐标;反过来，一次函数 (是常数，)的图象与轴交点的横坐标是一元一次方程的解． (2)利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤：①将一元一次方程转化为一次函数； ②画出一次函数的图象；③找出一次函数的图象与轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解． 例1 利用函数图象解 例2 一个冷冻室开始的温度是，开机降温后室温每小时下降，设表示开机降温工作时的温度． (1)写出与之间的函数关系式，并画出其图象； (2)利用图象说明经过几小时冷冻室温度降至？何时降至 任何一元一次不等式都可以转化为或为常数，的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当某个一次函数的函数值大于0或小于0时，求自变量相应的取值范围． 详解 (1)利用一次函数与一元一次不等式的关系在图象上可以直接得到一元一次不等式的解集． (2)（或的解集即直线在轴上方（或下方）点的横坐标的集合． (3)一次函数和中与的大小关系的比较．如图14.3-3所示，它的图象解法就是把不等式转化为比较直线上点的位置的高低． 当时，；当时，；当时，. 例3 函数，当为何值时： ；；. 例4 用图象法解不等式：. 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，也对应着两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标． 详解 (1)一元一次方程组的解为直线与的交点坐标，反过来，两直线与的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解．通过图象法求交点的坐标虽较直观，但不太精确． (2)能从图象上得到和时，的取值范围，这种在交点两旁、大小的比较，在方案设计中有较多的应用． (3)用图象法求二元一次方程组的近似解的一般方法：①先把方程组中的两个二元一次方程组化成一次函数的形式：和（这里的方程组是由两个二元一次方程组成的）；②建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象；③写出这两条直线的交点的横、纵坐标，这两个数的值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标为，纵坐标为． 例5 用作图象的方法解方程组 例6 如图14.3-7所示，直线、相交于点A，试求出点A的坐标. 例7 某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元月基础费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话分钟，两种通讯方式的费用分别为元和元，那么： (1)写出、与之间的函数关系式； (2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象； (3)求出一个月通话多少分钟，两种通讯方式费用相同； (4)若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯方式较合算？ 例8 如图14.3-9，已知直线经过点M，求此直线与轴、轴的交点坐标． 例9 长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图14.3-10所示，问行李的质量只要不超过多少千克时就免费托运． 解析:从图象可知，点(60，6)、(80，10)在这个一次函数图象上，从而可用待定系数法求出一次函数的解析式，然后令纵坐标为0，解关于的一元一次方程，即可求出免费托运的行李的质量． 解：设所求一次函数的解析式为 则，解得 ∴这个一次函数的解析式为. 当时，，解得. 即这个一次函数图象交轴于点(30，0). ∴只要行李的质量不超过30千克时就可以免费托运． 例10 如图14.3-11，已知直线的图象与两轴分别交于A、B两点，直线经过原点，与线段AB交于C点，把△AOB的面积分成2:1的两部分，求直线的解析式. 例11 如图14.3-12，直线的函数解析式为，且与轴交于点D．直线经过点A、B，直线交于点C (1)求点D的坐标； (2)求直线的函数解析式； (3)求△ADC的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与 △ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 例12 如图14.3-13，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题． (1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (2)指出轮船和快艇的行驶速度； (3)问快艇出发多长时间赶上轮船？ 例13 如图14.3-14，分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用（费用灯的售价＋电费，单位：元）与照明时间 (小时)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2000小时，照明效果一样． (1)根据图象分别求出的函数关系式； (2)当照明时间为多少时，两种灯的费用相等？ (3)小亮房间计划照明2500小时，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法（直接给出答案，不必写出解答过程）． 利用函数图象解不等式时，需要从两直线的交点判断不等式的解集，此时，由于对函数值、点的坐标理解不清楚而导致错误． 例14 用画函数图象的方法解不等式： 纠错秘方：对函数值、点的坐标理解不清，两直线的交点为(1，2)，说明横坐标是1．纵坐标是2，也就是说，当时，与的函数值都是2． 例15 若直线与直线相交于第三象限内一点，求的取值范围． 纠错秘方：上面的思考欠佳，首先应求出用m表示的交点的坐标，然后根据坐标所在位置得到关于m的不等式，求m的取值范围． 中考经典 例16 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图14.3-16所示），则所解的二元一次方程组是 ( ) A. B. C. D. 例17 如图14.3-17，直线经过点A(-1，-2)和点B(-2，O)，直线过点A，则不等式的解集为 ( ) A. B. C. D． 例18 如图14.3-18，直线：与直线：相交于点P(1，). (1)求的值； (2)不解关于，的方程组请你直接写出它的解； (3)直线：是否也经过点P？请说明理由． 例19 某部队甲、乙两班参加植树活动，乙班先植树30棵，然后甲班才开始与乙班一起植树，设甲班植树的总量为（棵），乙班植树的总量为（棵），两班一起植树所用的时间（从甲班开始植树时计时）为（时）．、分别与之间的部分函数图象如图所示． (1)当0≤≤6时，分别求、与之间的函数关系式． (2)如果甲、乙两班均保持前6个小时的工作效率，通过计算说明，当时，甲、乙两班植树的总量之和能否超过260棵． (3)如果6个小时后，甲班保持前6个小时的工作效率，乙班通过增加人数，提高了工作效率，这样继续植树2小时，活动结束．当时，两班之间植树的总量相差20棵，求乙班增加人数后平均每小时植树多少棵． 例20 某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25min，于是立即步行回家取票，同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．图14.3-20中线段AB，OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程s(m)与所用时间t(min)之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）： (1)求点B的坐标和AB所在直线的函数关系式． (2)小明能否在比赛开始前到达体育馆？ 解：(1)从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15min．设小明步行的速度为，则小明父亲骑车的速度为. 依题意得：. 解得 所以两人相遇处离体育馆的距离为60×15900(m). 所以点B的坐标为(15,900)． 设直线AB的函数关系式为. 由题意，直线AB经过点A(O，3600) ,B(15,900)，得，解得. 直线AB的函数关系式为 (2)由，得：. 即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20min，因而小明取票的时间也为20min． ∴小明能在比赛开始前到达体育馆． 课后练习： 1．直线与坐标轴围成的三角形面积为 ． 2．如图14.3-21，直线经过和两点，则不等式组的解 集为 . 3．如图14.3-22，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于的二 元一次方程组的解是 ． 4．已知方程的解是，则直线与直线的交点坐标是( ) A．(1，0) B．(1，3) C．(-1，-1) D．(-1，5) 5．一次函数的图象如图14.3-23所示，当时，的取值范围是( ) A． B． C． D． 6．当时，直线上的点的位置是 ( ) A．在轴上方 B．在轴下方 C．在y轴左侧 D．在y轴右侧 7．求函数的图象与轴围成的三角形的面积． 8．直线的解析式为，直线与交于点（-2，口），且与y轴交点的纵坐标为7． (1)求直线的解析式． (2)求与轴所围成的三角形的面积． 9．小明骑自行车去郊外春游，如图14. 3-25是他离家距离y(千米)与所用时间（时）之间的函数图象，根据图象回答： (1)小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家 多远？ (2)求小明出发2个半小时时离家多远？ (3)求小明出发多长时间距家12千米？ 10.某公司在甲、乙两个仓库分别有农用车12辆和6辆，现需要调往A县10辆、B县8辆．已知从甲仓库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为40元和80元，从乙仓 库调运一辆农用车到A县和B县的运费分别为30元和50元． (1)设从乙仓库运往A县农用车x辆，求总运费y与x之间的关系式； (2)若要求总运费不超过900元，则共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案和最低运费． 11.有两段长度相等的河渠挖掘任务，分别交给甲、乙两个工程队同时进行挖掘．图14.3-24是反映所挖河渠长度y（米）与挖掘时间（时）之间关系的部分图象．请解答下列问题． (1)乙队开挖到30米时，用了 小时，开挖6小时时，甲队比乙队多挖了 米； (2)请你求出：①甲队在0≤≤6的时段内，y与之间的函数关系式； ②乙队在2≤≤6的时段内，与之间的函数关系式； ③开挖几小时后，甲队所挖掘河渠的长度开始超过乙队？ (3)如果甲队施工速度不变，乙队在开挖6小时后，施工速度增加到12米／时，结果两队同时完成了任务．问甲队从开挖到完工所挖河渠的长度为多少米？ - 2 - 学科网（北京）股份有限公司 $