2026年吉林省长春市实验中学高三下学期数学冲刺训练2

"**基本信息** \n聚焦高考高频考点，以题载法整合函数、几何、代数等模块，通过分类讨论、建模分析等方法培养数学思维与表达。 \n**综合设计** \n|模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| \n|----|-----------|----------|----------| \n|函数与导数|3题（3,4,9）|对称中心公式法、奇偶周期性质应用、导数几何意义|从函数性质（奇偶性、周期性）到导数应用，构建“概念-性质-应用”逻辑链| \n|几何与三角|4题（2,3,6,8）|双曲线离心率分类讨论、解三角形建模、三角函数性质|平面几何（双曲线）与三角（解三角形）结合，体现数形结合思想| \n|代数与概率|5题（1,5,7,10,11,12）|复数运算、向量垂直条件、二项分布概率、裂项求和|从代数运算（复数、向量）到数列与概率综合，强化逻辑推理与数据分析|"

团结 勤奋 求实 创新 团结 勤奋 求实 创新 长春市实验中学2026届高考数学冲刺训练（2） 一、单选题 1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 2．已知是，双曲线：（，）的左、右焦点，是右支上一点，且是的直角三角形，则双曲线的离心率为（    ） A． B．或 C． D．或 3．函数的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 6．如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 二、多选题 7.已知二项式，若该二项式的展开式的二项式系数之和为16，则（    ） A． B． C．从任取两个数且，则事件“”的概率为 D．将进行排列，共有30种不同的情况 8．已知内角A，B，C对边分别为a，b，c．则下列说法正确的是（   ） A．若，则为钝角三角形． B．若，则为等腰三角形 C．在锐角中，不等式恒成立 D．若，，则的取值范围为 三、填空题 9．若直线是曲线的一条切线，则_________. 10．已知等比数列满足，设的前项和为，则______. 四、解答题 11．已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现有门大炮同时对某一目标各射击一次. (1)当时，求给好击中目标2次的概率（精确到0.01）； (2)如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要多少门大炮？（） 12．已知数列的前n项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)数列的每一项均为正数，，数列的前n项和为，当时，求n的最小值． 《2026年高考数学冲刺2》参考答案 1．A 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为2. 2．B 【分析】根据中哪一个角为直角分类讨论，再结合双曲线的定义以及解三角形即可求出． 【详解】当时，，，所以， 当时，，，，，所以． 故选：B． 3．A 【分析】令，得到的对称中心为再判断选项即可． 【详解】的对称中心为， 令，解得， 所以的对称中心为， 时，的一个对称中心为，其他都不符合． 故选：A． 4．B 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 5．D 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以， 所以. 6．C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【详解】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 7.ACD 8．BCD 【分析】利用余弦定理边化角判断A；由正弦定理边化角判断B；利用正弦函数单调性推理判断C；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断D. 【详解】对于A，由及余弦定理，得，为锐角，无法确定，A错误； 对于B，由及正弦定理，得，为等腰三角形，B正确； 对于C，在锐角中，，则，即，C正确； 对于D，由，，得，，， 由正弦定理得，D正确. 故选：BCD 9． 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 10． 【分析】根据等比数列的通项公式及前项和公式计算即可. 【详解】设等比数列的首项为，公比为（），则，. 所以， 因为，所以，即，解得或（舍去）. . 故答案为：. 11．(1)0.31 (2)3 【分析】（1）由题意得到，从而利用二项分布的求概率公式进行求解； （2）先求出击中0次的概率为，则至少击中一次的概率为，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）5门大炮同时对某一目标各射击一次， 设击中目标的次数为， 则， 故恰好击中目标2次的概率为. （2）由题意，门大炮同时对某一目标各射击一次， 击中0次的概率为， 则至少击中一次的概率为， 则， 即， 解得， 因为，所以如果使目标至少被击中一次的概率超过，至少需要3门大炮. 12．(1)证明见解析 (2)2024． 【分析】（1）由与等差数列的定义，可证结论成立. （2）先利用裂项求和法求，再解不等式可得n的最小值. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以，所以（常数）， 故数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）知，，得 所以 ， 当时，即，所以n的最小值为2024． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $