专题03 二元一次方程组应用题分类训练1（行程工程配套几何古代5种类型50道）-2025-2026学年七年级数学下册期末复习高频考题专项训练（人教版，重庆专用）

"**基本信息** \n聚焦二元一次方程组应用，按行程、工程、配套、几何、古代5类题型分类训练，通过50道题构建从实际情境到方程模型的转化逻辑 \n**专项设计** \n|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|\n|----|-----------|----------|----------|\n|行程问题|10道/含相遇、追及等|考查路程速度时间关系|基于等量关系建立方程组，体现模型意识|\n|工程问题|10道/含合作、效率等|涉及工作量效率时间计算|通过实际问题抽象数量关系，培养应用意识|\n|配套问题|10道/含零件、住宿等|强调比例配套关系|运用数学思维分析资源分配，发展推理能力|\n|几何问题|10道/含图形拼接等|结合图形边长面积关系|以几何直观为桥梁，建立数形联系|\n|古代问题|10道/源自《九章算术》等|古文情境转化数学关系|用数学语言表达传统文化，提升抽象能力|"

弈泓共享数学 专题03 二元一次方程组应用题分类训练1 （行程工程配套几何古代5种类型50道） 目录 【题型1 行程问题】 1 【题型2 工程问题】 7 【题型3 配套问题】 13 【题型4 几何问题】 19 【题型5 古代问题】 25 【题型1 行程问题】 1．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 【答案】336千米 【详解】解：设第一段公路的长度为千米，则第三段公路的长度为千米，第二段公路的长度为千米， （千米/小时），（千米/小时），3小时24分小时， 则根据题意得，， 整理得，， 解得，， 所以，、两市之间的公路长为（千米）． 答：、两市之间的公路全长为336千米． 2．情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 【答案】8 【分析】设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为，根据两次行走的时间相等列出等式，求出全程长度，再计算小明走完全程时小亮走的路程，最终得到小亮未走完的路程． 【详解】解：设全程长度为千米，小明的速度为，小亮的速度为， 当小明走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， 当小亮走完全程一半时，两人所用时间相等，得， 整理得， ∴，即， ∵， ∴， 全程长度为千米， ∴速度比，即， 小明走完全程的时间为， 这段时间内小亮走的路程为：（千米）， 小亮未走完的路程为（千米） 答：小明走完全程时，小亮未走完的路程还有千米． 3．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 【答案】他骑车用了小时，推行用了小时 【分析】设他骑车用了小时，推行用了小时，根据题意列二元一次方程求解即可． 【详解】解：设他骑车用了小时，推行用了小时， 依题意得：， 解得：， 答：他骑车用了小时，推行用了小时． 4．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 【答案】(1)李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米 (2)相遇后经过刘伟到达A地 【详解】（1）解：设李明每小时行进a千米，刘伟每小时行进b千米，根据题意得： ， 整理得：， 解得：， 答：李明每小时行进16千米，刘伟每小时行进4千米； （2）解：， 答：相遇后经过刘伟到达A地． 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 【答案】(1)甲每小时行20km   乙每小时行16km (2)或或 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，行程问题，掌握二元一次方程组的应用是解题的关键． （1）设甲每小时行，乙每小时行，则甲总共走了，乙总共走了，根据题意列方程组进行求解即可，注意单位换算； （2）分相遇前；相遇后，甲未到终点；相遇后，甲到终点后三种情况，列方程求出所用的时间即可解答． 【详解】（1）解：设甲每小时行，乙每小时行． 根据题意，得 解得 故甲每小时行，乙每小时行． （2）解：相遇前：，解得，，符合题意； 相遇后，甲未到终点：，解得，，符合题意； 相遇后，甲到终点后：，解得，，符合题意． 综上所述，的值为或或． 6．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒 (2)完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用．掌握二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用是解本题的关键． （1）设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步，根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要x秒，B型机器人走一步需要y秒． ， 解得， 答：A型机器人走一步需要1秒，B型机器人走一步需要秒． （2）解：设A型机器人步数为m步，B型机器人步数为n步． ， ， 均为正整数， 或或， ①秒， ②秒， ③秒， 答：完成这次接力的时间可能是39秒或38秒或37秒． 7．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 【答案】甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米 【分析】设平路是x千米，下坡路是y千米，构造方程求解． 本题考查二元一次方程组的应用，掌握等量关系是解题关键． 【详解】解：设甲地到乙地的行驶过程中平路是x千米，下坡路是y千米， 从下午1点到下午3点共2小时，从乙地返回甲地用了2.25小时，又因为已知上坡路10千米， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：甲地到乙地的行驶过程中平路是30千米，下坡路是20千米． 8．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 9．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 【答案】火车的速度为8米/秒，长度为80米 【分析】此题考查二元一次方程组的应用，关键是根据题意列出方程组解答． 设这列火车的速度和长度分别为米秒和米，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】解：设这列火车的速度和长度分别为米秒和米， 可得：， 解得：， 答：火车的速度为8米/秒，长度为80米． 10．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【答案】聪聪上坡用了，下坡用了 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设聪聪上坡用了，下坡用了，根据他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．列出方程组求解即可． 【详解】解：， 设聪聪上坡用了，下坡用了． 根据题意，得 解得 答：聪聪上坡用了，下坡用了． 【题型2 工程问题】 11．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 【答案】(1)甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹 (2)安排甲机器人台，乙机器人台． 【分析】（1）设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹，根据题意列出方程组，求解即可； （2）安排的甲机器人台，乙机器人台，根据题意列出方程，变形得，结合、都是正整数可得，是的倍数，因此，最后写出具体安排方案即可． 【详解】（1）解：设甲机器人每小时分拣件包裹，乙机器人每小时分拣件包裹， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：甲机器人每小时分拣300件包裹，乙机器人每小时分拣250件包裹． （2）解：设安排甲机器人台，乙机器人台， 根据题意，可列方程： ， 整理，得， 变形，得， ∵、都是正整数， ∴是的倍数，且， ∴， 当时，． 答：安排甲机器人台，乙机器人台． 12．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 【答案】甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件，再结合甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件列方程组，再解方程，即可作答． 【详解】解：设甲每小时加工个零件，乙每小时加工个零件， 依题意， 解得 ∴甲每小时加工20个零件，乙每小时加工18个零件． 13．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 14．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 15．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】(1)甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 16．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 【答案】(1)甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． (2)单独请乙组商店所付费用较少． 【分析】（1）根据甲、乙同时施工和甲先做、乙后做的费用情况，列方程组求解甲、乙单独做1天的费用； （2）先根据工作时间和工作总量的关系列方程组求出甲、乙的工作效率，进而求出各自单独完成工作的时间，再计算单独请的费用并比较． 【详解】（1）解：设甲组单独做1天，商店应付元，乙组单独做1天，商店应付元． 由题意，得 解得 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1天，商店应付140元． （2）解：设甲组每天的工作效率为，乙组每天的工作效率为． 由题意，得 解得 甲组单独完成装修需（天），乙组单独完成装修需（天）， 单独请甲组需付（元），单独请乙组需付（元）． ， 单独请乙组商店所付费用较少． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，掌握根据费用和工作效率的关系，设未知数列方程组求解，再计算并比较费用是解题的关键． 17．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 【答案】甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设好未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲工程队整治了x米长的河道，乙工程队整治了y米长的河道， 由题意得：， 解得：， 答：甲工程队整治了200米长的河道，乙工程队整治了160米长的河道． 18．甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 【答案】这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件，由题意得，然后解方程组即可，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 【详解】解：设甲每小时做个零件，乙每小时做个零件， 由题意得， 解得：， 则甲一天做，乙一天做， 答：这一天甲做了个零件，乙做了个零件． 19．甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 【答案】385个 【分析】设甲原来每天做个，乙原来每天做个，根据甲工作效率提高之前和之后完成任务的两个等量关系列方程组即可． 【详解】解:设甲原来每天做个，乙原来每天做个，则原来任务数是个，根据题意，得 ： 解这个方程组得： (个) 答：原计划一共加工385个零件． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解应用题，解题的关键是从题中找出两个等量关系，再设未知数列方程组即可解题． 20．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【题型3 配套问题】 21．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【分析】设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，根据题意列出方程组解答即可求解． 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 22．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 23．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 24．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 25．现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 【答案】双人间40间，三人间10间 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知列出方程组是解题关键． 设二人间有x间，三人间有y间，根据“二人间+三人间，二人间数三人间数”列方程组求解可得． 【详解】解：设双人间x间，三人间为y间， 由题意得， 解得， 答：双人间有40间，三人间有10间. 26．某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 【答案】生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设生产甲种零件需x人，生产乙种零件需y人， 根据题意，得，解得 答：生产甲种零件需275人，生产乙种零件需385人． 27．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 28．根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是从分书情境中找出图书数量与学生人数之间的等量关系． （1）找出情境中的量，结合分书的两种分配方式梳理等量关系； （2）根据设出的未知数，对应等量关系列出方程． 【详解】（1）解：涉及的量是图书的本数、学生的人数； 等量关系为：图书数学生数；图书数学生数 （2）解：∵图书有本，学生有人， 由“每人分6本，剩40本”得：； 由“每人分8本，缺50本”得：． ∴． 29．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 30．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 【答案】(1)编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米 (2)该中学最多编织100个大号中国结 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米，根据题意列出方程组，求出的值即可解答； （2）设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结，根据题意列出不等式，求出的最大值即可解答． 【详解】（1）解：设编织1个大号中国结需用绳米，编织1个小号中国结需用绳米， 由题意得，， 解得， 答：编织1个大号中国结需用绳4米，编织1个小号中国结需用绳3米； （2）解：设该中学编织个大号中国结，则编织个小号中国结， 由题意得，， 解得， ∴的最大值为100， 答：该中学最多编织100个大号中国结． 【题型4 几何问题】 31．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 【答案】需准备草皮的总面积是 【分析】设，，横向和纵向通道的宽度为，根据题意列出二元一次方程组，据此求解即可． 【详解】解：设，，横向和纵向通道的宽度为， 由题意得， 解得， ∵，， ∴， 答：需准备草皮的总面积是． 32．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 【答案】通道的宽度是1米 【分析】设米，通道宽为y米，则米，根据长方形的长19米，宽17米列方程组求解即可． 【详解】解：设米，通道宽为y米，则米， 根据题意，得， 解得， 答：通道的宽度是1米． 33．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 【答案】 【分析】设，根据题意可推出，，，根据，长方形的周长为22建立方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意得，，， ∴， ∴， ∵，长方形的周长为22， ∴， 解得， ∴， ∴阴影部分的周长和． 34．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为12，宽为4 (2)60 【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，根据图形找到等量关系，列出二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，即可得出答案； （2）由大长方形面积减去5个小长方形面积即可得出结论． 【详解】（1）解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意得： ， 解得：， 答：小长方形的长为12，宽为4； （2）解：阴影部分的面积为：． 35．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是通过观察图形，找出大长方形的长和宽与小长方形的长、宽之间的等量关系． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 根据图形中的等量关系，得， 解得 答：小长方形的长为8，宽为2． 36．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 【答案】每个小长方形的周长，大长方形的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，根据题意以及图形中长方形的长相等建立方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形纸片的宽为厘米，长为厘米，根据题意得：， 则每个小长方形的周长厘米 根据大长方形的长相等则和组成方程组， 解得， 所以大长方形的面积为 37．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组，理解题意找到等量关系是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，根据大长方形的长和宽构造方程，并求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，大长方形的长为，大长方形的宽为， 列方程组，得，， 将，得，， 将代入①，得，， 解得，， ∴方程组的解为， 答：小长方形的长为，宽为． 38．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 【答案】(1) (2)长为，宽为 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和列代数式，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系． （）直接列出代数式即可； （）由大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，列出方程组，求出小长方形的长与宽即可． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得， 大长方形的宽为：， 故答案为：； （2）解：设小长方形的长为，宽为，由题意得 ， 解得， 所以每块小长方形墙砖的长为，宽为． 39．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 【答案】一个小长方形的长与宽分别是16，5 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意是解决本题的关键． 设小长方形的长为，宽为，再根据图象列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图象可得，， 得， 解得， 将代入得， 解得， ∴原方程组的解为， ∴一个小长方形的长与宽分别是16，5． 40．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（）设每个长方形的长为，宽为，根据题意列出方程组解答即可求解； （）根据（）解答即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，代数式求值，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：设每个长方形的长为，宽为， 由题意得，， 解得， 答：每个小长方形的长为，宽为； （2）解：∵， ∴图（）正方形的边长为． 【题型5 古代问题】 41．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 【答案】甲原本有37.5钱，乙原本有25钱 【分析】设甲原本有x钱，乙原本有y钱，根据若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲原本有x钱，乙原本有y钱， 根据题意得：， 解得：， ∴甲原本有37.5钱，乙原本有25钱． 42．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．则甲和乙原有多少钱？ 【答案】甲有130钱，乙有50钱． 【分析】由甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍，得方程；由乙给甲5钱，则乙的钱是甲的，得方程，据此列出方程组求解即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得． 答：甲有130钱，乙有50钱． 43．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 【答案】好田买了20亩，坏田买了80亩 【详解】解：设好田、坏田分别买了、亩， 由题意可得， 解得， ∴好田买了20亩，坏田买了80亩 44．列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 【答案】上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗 【详解】解：设：上等禾谷每捆重x斗，下等禾谷每捆重y斗． 根据题意得：， 解得： 答：上等禾谷每捆重斗，下等禾谷每捆重斗． 45．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 【答案】人数为7人，物价为53钱 【分析】设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱， 根据题意得， 解得， 答：人数为7人，物价为53钱． 46．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】(1)该店有客房间，房客有人 (2)应选择一次性订客房间更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设该店有客房x间，房客y人，根据“如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）分别求出单独订房及一次性定客房25间所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设该店有客房间，房客有人， 由题意得，， 解得， 答：该店有客房间，房客有人； （2）解：若每间客房住人，则需要订客房间，需付房费（钱）， 若一次性订客房间，需付房费（钱）， ∵， ∴诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订客房间更合算． 47．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 【答案】(1)牛每头值金两，羊每头值金两 (2)①消元；②数据如图 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及消元思想，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设牛每头值金两，羊每头值金两，根据有牛头、羊头，共值金10两；牛头、羊头，共值金两；列出二元一次方程组，解方程即可； （2）①根据题意即可得出结论； ②根据“方程术”推算即可． 【详解】（1）解：设牛每头值金两，羊每头值金两，由题意得， ， 解得：， 答：牛每头值金两，羊每头值金两． （2）解：① “遍乘”是用一个数去乘方程两边，“直除”是通过相减消去一个未知数，这体现了解二元一次方程组的消元思想． 故答案为：消元． ②因为右方羊的数量是，左方羊的数量是，所以用右羊数遍乘左方各数， 左方原来牛、羊、金，遍乘后：牛，羊，金，得到遍乘后的左方数据为牛、羊10、金16，右方数据不变（牛、羊、金10）， 然后进行直除，要消去羊，右方羊是，左方羊是10，，用左方各数减去右方对应数的倍． 牛：；羊：；金： ． 所以最终图填写如下： 48．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 【答案】甜果买了657个，苦果买了343个 【分析】本题主要考查了列二元一次方程组解决古代问题，解题的关键是找准等量关系． 设甜果买x个，苦果买y个根据数量和钱数，列出方程组求解即可． 【详解】解：设甜果买x个，苦果买y个． 列方程组得，， 解得， 答：甜果买了657个，苦果买了343个． 49．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 【答案】绳长尺，井深尺 【详解】解：设绳长尺，井深尺，根据题意得： ，解得． 答：绳长尺，井深尺． 50．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 【答案】绳子长16尺，木条长9尺 【详解】解：设木条长x尺，绳子长y尺， 根据题意得：， 解得：． 答：绳子长16尺，木条长9尺． 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题03 二元一次方程组应用题分类训练1 （行程工程配套几何古代5种类型50道） 目录 【题型1 行程问题】 1 【题型2 工程问题】 2 【题型3 配套问题】 4 【题型4 几何问题】 5 【题型5 古代问题】 7 【题型1 行程问题】 1．从市到市，共有三段不同的公路，第三段公路的长度是第一段公路长度的2倍，甲乙两辆汽车分别从、两市同时出发，甲汽车在第一段公路上以每小时40千米的速度行驶，在第二段公路上的速度提高．乙汽车在第三段公路上以每小时50千米的速度行驶，在第二段公路上把速度降低了，两车出发3小时24分后，甲汽车刚好行完第二段公路的时与乙汽车相遇，那么、两市之间的公路全长为多少千米？ 2．情景与对话： 情景：小明和小亮同时出发，从甲地到乙地． 对话：小明说：我走完全程的一半时，小亮才走了16千米． 小亮说：我走完全程的一半时，小明已走了25千米． 问题与探索： 小明走完全程时，小亮未走完的路程还有多少千米？ 3．小张骑自行车去外的外婆家，中途因道路施工推行了一段路，后到达外婆家．已知他骑车的平均速度是，推行的平均速度是，那么他骑车与推行各用多少时间？ 4．李明和刘伟分别从两地同时出发，李明骑自行车，刘伟步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发后两人相遇．相遇时李明比刘伟多行进，相遇后李明到达地． (1)两人每小时分别行进多少千米？ (2)相遇后经过多长时间刘伟到达地？ 5．骑行是一种健康自然的运动方式，能充分享受过程之美，一辆单车、一个背包即可出行，简单又环保．已知A，B两地相距40km，甲、乙两人从A地出发骑自行车前往B地，乙比甲先出发15min，甲出发1h后两人相遇，又过了30min，乙剩余的路程比甲多2km（甲未到终点）． (1)甲、乙每小时各行多少千米？ (2)若甲出发后两人相距1km，求的值． 6．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走3步，接着B型机器人走4步，共需要秒；A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 7．一汽车从甲地开往乙地，途中有上坡、平路和下坡，已知上坡路10千米，汽车从甲地下午1点出发到乙地是下午3点整 ，停留30分钟后从乙地出发，用了2.25小时返回甲地．已知汽车在上坡路每小时行驶20千米，平路每小时行驶30千米，下坡每小时行驶40千米，求甲地到乙地的行驶过程中平路、下坡路分别是多少千米？ 8．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 9．一列匀速行驶的火车通过一座160米的铁路桥用了30秒，而它以同样的速度穿过一段200米长的隧道用了35秒，求这列火车的速度和长度？ 10．聪聪家离学校，他上学的路上，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．他跑步去学校共用了，已知聪聪在上坡路上的平均速度是，在下坡路上的平均速度是．聪聪上坡、下坡各用了多长时间？ 【题型2 工程问题】 11．某快递公司使用机器人进行包裹分拣．若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹；若一台甲机器人工作，一台乙机器人工作，一共可以分拣件包裹． (1)求甲、乙两台机器人每小时各分拣多少件包裹； (2)该快递公司现需要分拣件包裹，同时安排甲、乙机器人分拣小时（甲、乙机器人都需要有），请求出该快递公司这次分拣安排的甲、乙机器人数量的方案． 12．甲乙加工一批零件共350个，甲先单独做8小时，然后又与乙一起加工5小时完成任务．已知乙每小时比甲少加工2个零件．问甲、乙两人每小时各加工多少个零件？ 13．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 14．某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 15．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 16．某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付两组费用共3480元． (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组商店所付费用较少？ 17．为美化沿河风光带，某地将一段长为360米的河道整治任务交由甲乙两个工程队先后接力完成，共用20天．已知甲工程队每天整治20米，乙工程队每天比甲工程队少整治4米，求甲乙两工程队分别整治了多长的河道． 18．甲、乙两个工人同时接受一批任务，上午工作的小时中，甲用了小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做个零件；下午两人继续工作小时后，全天总计甲反而比乙多做个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？ 19．甲、乙两人共同加工一批零件，原计划两人一起加工，11天可以完成．结果两人一起加工了7天后，乙另有任务，剩下的零件由甲单独完成．如果甲仍按原来的工作效率，那么还需7天才能完成．为了能按原计划完成任务，甲把工作效率提高了80%，这样不仅按计划完成了任务，还多加工了4个零件．请问原计划一共加工多少个零件？ 20．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【题型3 配套问题】 21．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 22．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 23．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 24．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 25．现有一个110人的旅游团入住某宾馆，恰好住满了50间客房．如果这50间客房中既有双人间，又有三人间，那么他们所住的双人间和三人间客房分别为多少间？ 26．某车间有工人660名，生产甲、乙两种零件．已知每人每天平均生产甲种零件14个或乙种零件20个，1个甲种零件与2个乙种零件为一套．如何调配人员可使每天生产的两种零件刚好配套？ 27．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 28．根据题意列方程组：将一批图书分给了若干名学生，若每人分6本，则剩余40本；若每人分8本，则还缺50本．共有多少本图书、多少名学生？ (1)这个情境涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系? (2)设有图书x本，学生有y人，由此你能得到怎么样的方程组？ 29．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 30．松南学校在“指南针”课程的实施过程中，计划组织学生编织大、小两种中国结．若编织3个大号中国结和4个小号中国结需用绳24米；若编织1个大号中国结和5个小号中国结需用绳19米． (1)求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需用绳多少米； (2)松南中学决定编织以上两种中国结共150个用以庆祝十一国庆节，这两种中国结所用绳长不超过550米，那么该中学最多编织多少个大号中国结? 【题型4 几何问题】 31．利用方程（组）的知识解决问题： 如图，学校规划在一块长、宽的长方形场地上，分别设计与，平行的横向和纵向通道，其余部分铺上草皮．其中横向和纵向通道的宽度均相等，六块草坪的形状、大小完全相同，其中一块草坪的两边．如果考虑到铺设草坪需要额外准备面积的草皮作为损耗更换用，那么所需准备草皮的总面积是多少？ 32．列方程（组）解应用题 如图，学校规划在一块长19米，宽17米的长方形场地上，分别设计与平行的横向和纵向通道，把这块长方形地分成12块形状，大小相同的长方形菜地分给各班管理．如果通道的宽度相等，其中一块菜地的两边，那么通道的宽度是多少？ 33．如图所示，已知长方形的长，宽，内有边长相等的小正方形和小正方形，其重叠部分为长方形．若长方形的周长为22，则图中阴影部分的周长和为多少？ 34．如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形． (1)求每一个小长方形的长与宽． (2)求阴影部分的面积． 35．在长方形中，不重叠地放入8个形状和大小相同的小长方形，位置和尺寸如图所示．求小长方形的长和宽． 36．如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，求每个小长方形的周长和大长方形的面积． 37．如图，在一个大长方形的内部无重叠地放入六个完全一样的小长方形（阴影部分），大长方形的长为12，宽为10，求一个小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 38．如图（单位：），8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形． (1)若设小长方形的长为，宽为，则大长方形的宽可用含有与的式子表示为______________． (2)每块小长方形墙砖的长和宽分别是多少？ 39．如图，将三个大小相同的小长方形（阴影部分）放入一个长为37、宽为26的大长方形（无重叠），求一个小长方形的长与宽分别是多少？ 40．小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形． (1)每个小长方形的长和宽分别是多少？ (2)图（）正方形的边长是多少？ 【题型5 古代问题】 41．我国古代的优秀数学著作《九章算术》中有一道“钱数问题”：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其大意为：今有甲、乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己钱的一半给甲，那么甲就有50钱，若甲把自己钱数的给乙，那么乙也有50钱，问他们原本各自都有多少钱？请利用所学知识解决这一问题． 42．我国古代数学专著《九章算术》中有一道关于“分钱”的问题：甲、乙两人有钱若干，若甲给乙10钱，则甲的钱是乙的2倍；若乙给甲5钱，则乙的钱是甲的．则甲和乙原有多少钱？ 43．《九章算术》记载：“今有善田一亩，价三百；恶田一亩，价五十．今并买顷，价钱一万，问善田恶田各几何？”其译文是好田300钱一亩，坏田50钱一亩，合买好田、坏田100亩，共需10000钱，问好田、坏田各买了多少亩？ 44．列二元一次方程组解应用题：“上禾下禾”问题（《九章算术》第八章第二问）：“今有上禾七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗；下禾八秉，益实一斗，与上禾二秉，而实一十斗．问秉各几何？”译成现代文为：现有上等禾谷7捆，若从总实重中减去1斗，再加上2捆下等禾谷，则总重为10斗；另有下等禾谷8捆，若从总实重中加上1斗，再加上2捆上等禾谷，则总重也为10斗．问：上等禾谷、下等禾谷每捆各重多少斗？ 45．《九章算术》中有一道题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问：人数、物价各几何？” 译文是：假设共同买东西，如果每人出8钱，盈余3钱；每人出7钱，不足4钱．问：人数、物价各多少？ 请解答上述问题． 46．明代数学家程大位所著的《算法统宗》全称《直指算法统宗》，是中国古代数学名著，某数学兴趣小组发现《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客空一房．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空一间房. (1)请列方程组，求出该店有客房多少间？房客多少人？ (2)假设店主李三公将客房进行改造后，共有50间客房，每间客房收费10钱，且每间客房最多入住3人，一次性订客房25间以上（含25间），房费按八折优惠，若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 47．《九章算术》在“方程”章中记载有“方程术”．“方”指数据左右并排，其形方正，“程”指考查相关数据构成的比率关系．具体何为“方程术”呢？请欣赏《九章算术》中的问题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？ 译文：今有牛5头、羊2头，共值金10两；牛2头、羊5头，共值金8两．问：牛、羊每头各值金多少？ (1)列二元一次方程组解决以上问题． (2)依“方程术”解，将“牛5头、羊2头，共值金10两”列在右方，“牛2头、羊5头，共值金8两”列在左方，用右牛数遍乘左方各数（“遍乘”）得到左方新数，将所得左方各新数减去右方对应数的适当倍数，直到左方第一位数为0为止（“直除”），如图1所示． 左方未减尽之数，用上面的数作除数，下面的数作被除数，所得的商即为每头羊值金数（“羊1头，值金两”）． ①在上述“方程术”推算“羊值金几何”的过程中，“遍乘”和“直除”体现了解二元一次方程组的______思想（填“消元”或“分类”）； ②依“方程术”解，采用“遍乘”和“直除”推算“牛值金几何”的过程如图2所示，请在图中填写数据． 48．我国元朝数学家朱世杰的数学著作《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题：九百九十九文钱，甜果、苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜果、苦果几个？大意：用999文钱，买了甜果和苦果共1000个，11文钱能买9个甜果，4文钱能买7个苦果，试问甜果、苦果各买了几个？ 49．华夏文明源远流长，在算术方面有很多成就，其中《算法统宗》是中国古代数学名著之一，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳四折测之，绳多三尺；若将绳五折测之，绳多二尺，绳长、井深各几何？”其大意是：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成四等份，井外余绳尺（尺厘米）；如果将绳子折成五等份，井外余绳尺，问绳长、井深各是多少尺？” 50．列二元一次方程组解应用题： 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳七尺；屈绳量之，不足一尺，木绳各几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子比木条长7尺；将绳子对折再量木条，（对折后的绳子）比木条短1尺，问木条和绳子各长多少尺？” 精选考题才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $