专题1.3 不等式的性质及一元二次不等式【9类必考点分类集训】-2027届高三数学一轮复习

"**基本信息** \n聚焦不等式性质与一元二次不等式，覆盖9大考点，从基础性质到实际应用，构建递进式知识逻辑，题型多样且典例精选，培养数学思维与应用意识。 \n**专项设计** \n|模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑|\n|----|-----------|----------|----------|\n|不等式性质|约10题|比较大小、取值范围|从性质基础到逻辑推理，形成概念应用链条|\n|一元二次不等式|约15题|不含参/含参求解、恒成立|从方程到不等式，体现数形结合与分类讨论|\n|基本不等式|约10题|最值求解、实际应用|从公式推导到生活问题，强化模型意识与应用能力|"

专题1.3不等式的性质及一元二次不等式 【考点1：利用不等式的性质比较大小】 2 【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 2 【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 3 【考点4：解一元二次不等式（含参）】 3 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 4 【考点6：一元二次不等式的应用】 4 【考点7：其他不等式】 6 【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 7 【考点9：基本不等式的应用】 7 【考点1：利用不等式的性质比较大小】 1．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________. 2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 3．（2026高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 5．（25-26高三上·全国·一轮复习）若，，则与的大小关系为______.（用“”连接） 【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 9．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 10．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________． 【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）若，，则_____________. 4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【考点4：解一元二次不等式（含参）】 1．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 2．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 4．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【考点6：一元二次不等式的应用】 1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 2．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【考点7：其他不等式】 1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河北保定·期中）设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 4．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 5．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的最小值为________. 【考点9：基本不等式的应用】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 一、单选题 1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 三、填空题 9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题 11．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3不等式的性质及一元二次不等式 【考点1：利用不等式的性质比较大小】 4 【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 4 【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 4 【考点4：解一元二次不等式（含参）】 4 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 4 【考点6：一元二次不等式的应用】 4 【考点7：其他不等式】 4 【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 4 【考点9：基本不等式的应用】 4 【考点1：利用不等式的性质比较大小】 1．（25-26高一上·江苏·期中）已知，，，则与的大小关系为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【详解】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为： 2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 3．（2026高三·全国·专题练习）若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 4．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【分析】利用作差法得到结论. 【详解】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 5．（25-26高三上·全国·一轮复习）若，，则与的大小关系为______.（用“”连接） 【答案】 【分析】利用作商法以及基本不等式可得出两个对数式的大小关系. 【详解】 ， 因为，，则，， 所以. 故答案为：. 【考点2：利用不等式的性质求值或取值范围】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）若，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减， 由得， ，解得. 所以的取值范围是. 2．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 3．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 9．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】由题得中一个为正，两个为负，不妨设，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 10．（25-26高一上·安徽芜湖·阶段检测）已知，，且，则的值为____________． 【答案】 【分析】利用的范围，以及条件，可得到的值，利用取等情况可得答案. 【详解】由已知条件，，， 可得：当时，取到最大值， ； 当时，取到最小值为， . 因此，而题设给出， 故必有，当且仅当或时成立. 当时，，，，； 当时，，，，. 因此，的值为. 【考点3：解一元二次不等式（不含参）】 1．（25-26高一上·广西河池·期中）求函数的解集__________. 【答案】 【详解】对原不等式 两边同时乘以 ，不等号方向改变，得到 . 因式分解得，因此原不等式等价于 . 令 ，解得两根为 和 . 由于二次函数 的二次项系数为正，图象开口向上，    因此 解集为. 2．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）函数的定义域是________ 【答案】 【详解】要使函数有意义， 需使，即， 所以，即或. 故函数的定义域是. 3．（25-26高三下·上海徐汇·阶段检测）若，，则_____________. 【答案】 【分析】先求解一元二次不等式得到集合，再根据交集的定义计算与的交集. 【详解】首先求解集合： 对不等式因式分解得，解得，即. 已知，所以 . 4．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________. 【答案】 【详解】由可得，解得， 所以， 所以. 5．（25-26高二下·上海·期中）已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为，在上均为减函数，所以在上为减函数. 所以不等式等价于， 整理得，解得或. 故该不等式的解集为. 【考点4：解一元二次不等式（含参）】 1．（25-26高一上·湖南常德·阶段检测）若关于的不等式恰有两个正整数解，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】不等式化为，讨论与1的大小解出不等式，依题意判断的取值范围即可得出． 【详解】关于的不等式可化为， 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数解，则，得； 当时，不等式化为，此时无解； 当时，解得，要使解集中恰有两个正整数，则， 此时解集中无正整数解； 综上，实数的取值范围为． 故答案为： 2．（2026高一·全国·专题练习）若不等式组的解集中所含整数解只有，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】解，得解集为；分类讨论与的大小关系，解不等式，再根据不等式组的解集中所含整数解只有，列式可求出结果． 【详解】由，得，得或， 所以的解集为， 由，得， 当，即时，得， 所以的解集为，此解集中不含，不符合题意； 当，即时，化为， 所以的解集为空集，不符合题意； 当，即时，得， 所以的解集为， 因为不等式组的解集中所含整数解只有， 结合数轴分析可知，得． 3．（25-26高一上·上海·阶段检测）已知集合，若，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】由题意可得集合以及两集合之间的包含关系，分情况讨论的解集，建立不等式得解． 【详解】由可得， 又， ， 当时，，由可得或，所以； 当时，，满足； 当时，，由可得或，所以； 综上，实数的取值范围是． 4．（25-26高一上·上海·期末）若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是___________ 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解集性质，结合一元二次不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为关于的不等式的解集是， 所以有， 所以，或， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 5．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 【考点5：一元二次不等式恒成立问题】 1．（25-26高二下·吉林长春·期中）命题：“，”为假命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原命题的否命题：“，”为真命题，结合不等式恒成立求解即可. 【详解】命题：“，”为假命题，即命题：“，”为真命题． ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，则，结合. 综上，． 2．（25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 3．（2026·河南·一模）已知函数，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 4．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【详解】当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； 当时，对任意恒成立，需满足： ，解得， 综上可得． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知二次函数，设对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】 ∵对任意的，恒成立，∴当时，. ∵二次函数， ∴函数的图象开口向上，对称轴为直线， 分以下三种情况讨论： （i）当，即时，函数在区间上单调递增， ∴， ∴，即，解得或， ∵，∴. （ii）当，即时， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴，即， ∵二次项系数大于0且，∴不等式无解. （iii）当，即时，函数在区间上单调递减， ∴， ∴，即，解得：或， ∵，∴. 综上可知，实数的取值范围为. 【考点6：一元二次不等式的应用】 1．（2026高一·全国·专题练习）某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为元，年销售万件．据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为______元. 【答案】 【详解】设每件定价为元，依题意得， 整理得，解得：． 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元． 2．（25-26高三·全国·一轮复习）某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成（1成），售出商品数量就增加成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元，求x的取值范围． 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）求出售价降低成后每件售价的价钱，销售量增加成后售出商品的数量，列出关于的函数，利用售价不能低于成本价得到的不等式，从而得到函数的定义域. （2）列出关于的不等式，计算得解. 【详解】（1）售价降低成后，每件售价为元， 销售量增加成后售出商品的数量为件， 则． 因为售价不能低于成本价，所以． 所以，定义域为． （2）由题意得，化简得， 解得，所以的取值范围是． 3．（25-26高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 4．（25-26高二下·河北承德·阶段检测）有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． (1)若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； (2)如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 【答案】(1) (2)当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率； （2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策； 【详解】（1）当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语， 所以甲得10元奖金的概率为. （2）记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30， ． 所以的期望 记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30， . 所以的期望 故 当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 5．（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 【考点7：其他不等式】 1．（25-26高三上·江西赣州·期末）已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， 由可得，解得，即， 故. 故选：C. 2．（2026·辽宁辽阳·二模）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助分式不等式与高次不等式的解法计算即可得. 【详解】， 故，解得或， 故该不等式的解集为. 3．（25-26高二下·河北保定·期中）设p：，q：，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由可得，解得； 由可得，解得； 因为是集合的真子集，所以命题是命题的必要不充分条件. 4．（多选）（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）若，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】通过解分式不等式，根据指数函数，对数函数以及三角函数性质逐项分析即可. 【详解】由，解得：或， 对于A，因为，所以， 由，故A正确； 对于B，由，故B错误； 对于C，由，故C正确； 对于D，由，故D正确． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）若集合，集合，则__________． 【答案】 【分析】利用分段讨论的方法将集合中方程的绝对值符号去掉，通过解方程得到集合，通过解分式不等式及高次不等式得到集合，再根据交集的定义计算即可得解. 【详解】当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解； 当时，， 等式恒成立，所以都是方程的解； 当时，， 令，解得，与矛盾，故方程无解， 所以. 因为等价于，即， 用穿根法可得不等式组的解为或， 所以. 因为，， 所以. 【考点8：利用基本不等式求最值或范围】 1．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 2．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 3．（2026·上海·三模）已知均为正数，且，则的最小值为___________ 【答案】2 【详解】因为，所以. ，当且仅当时等号成立. 4．（2026·河南开封·模拟预测）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 5．（25-26高一下·上海·期中）已知，则的最小值为________. 【答案】 【详解】，. 由于，，则， 当且仅当时取等号. 【考点9：基本不等式的应用】 1．（25-26高一上·河北邢台·期末）某超市计划租地建造仓库储存货物，若仓库每月月租（单位：万元）与仓库到超市的距离（，单位：千米）的函数关系式为，每月货物运输费（单位：万元）与的函数关系式为，则该超市应该把仓库建在距离超市______千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为______万元． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， 等号成立时， 故该超市应该把仓库建在距离超市千米处，才能使这两项费用之和最少，最少费用为万元. 故答案为：； 2．（25-26高一上·陕西西安·期末）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元.设总造价为（单位：元），则当总造价最小时，的长度为______m.    【答案】 【分析】设，，根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设，，则，所以， 所以 ， ，即，解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，该休闲场所的总造价最小，最小值为元. 故答案为：. 3．（25-26高三上·安徽淮北·期中）某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长. (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 4．（25-26高一上·山东潍坊·开学考试）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3m，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室背面靠墙，无需建造费．因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x m（）． (1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（），若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低 (2) 【分析】（1）首先由题意抽象出甲工程队的总造价的函数，再利用基本不等式求最值，结合等号成立的条件，即可求解； （2）由题意，转化为不等式恒成立，参变分离后，根据基本不等式，即可得答案. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，依题意，左右两面墙的长度均为（）， 则屋子前面新建墙体长为， 所以 即， 当且仅当，即时，等号成立， 故当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为元； （2）由题意可知，当对任意的恒成立， 即，所以，即， 因为， 当且仅当，，即时，的最小值为12， 即，所以的取值范围是. 5．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）物联网(Internet of Things，缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络．其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等，具有十分广阔的市场前景．现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费(单位：万元)，仓库到车站的距离(单位:千米，)，其中与成反比，每月库存货物费(单位：万元)与成正比；若在距离车站8千米处建仓库，则和分别为2万元和6.4万元． (1)求出与的解析式． (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小?最小费用是多少? 【答案】(1)，. (2)仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 【分析】（1）由题意设，，其中，根据题目数据代入求出即可得到答案； （2）利用基本不等式即可求出答案. 【详解】（1）由题意设，，其中， 当时，，解得，，解得， 所以，. （2）由（1）知 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以仓库建在距离车站千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是万元. 一、单选题 1．（25-26高三下·山东·阶段检测）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，得，又， 所以； 因为得，所以， 则.故选项C正确. 2．（2026·湖南长沙·三模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A，因为，所以，所以成立. 选项B，若，则不成立. 选项C，因为，并且(，等号取不到)，所以， 因此，成立. 选项D，，等号在时成立，但是，所以等号无法取到，因此. 3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 4．（2026·重庆·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接由基本不等式的变形不等式可得关于的一元二次不等式，进而可得最小值. 【详解】因为，，且， 由基本不等式得，当且仅当时等号成立， 即，得，因为，所以. 由代入，解得， 因此当，的最小值为. 5．（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 6．（2026·湖南长沙·三模）设数列{}的前n项和为且则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以， 所以， 根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 又，所以的最小值为. 二、多选题 7．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 8．（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABC 【分析】结合已知条件，利用基本不等式及其变形逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，由基本不等式，代入得，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故A正确； 对于B，，由基本不等式， 故，当且仅当时等号成立， 所以最小值为，故B正确； 对于C，，由选项A知， 故，即， 当且仅当时等号成立，所以最大值为，故C正确； 对于D，，由选项A知，故， 则， 即最小值为，不是，故D错误. 三、填空题 9．（2026·江苏常州·三模）已知随机变量，正实数，满足，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性性质得到，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为随机变量 ，正态分布的概率密度曲线关于均值 对称， 因为，根据正态分布的对称性性质得 化简得，所以 所以 根据基本不等式,当且仅当 时，等号成立， 此时结合 ，，得, , 所以，当且仅当, , 等号成立， 所以 的最小值为 . 10．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】设点，由已知等式可得到点在以点为圆心，2为半径的圆上，将整理为，看到和的平方和为1，故设，则，结合图形得到，利用正弦函数的图像和性质得到所求的取值范围. 【详解】由，可得， 设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以， 根据几何意义设，则， 过点作圆的切线，与圆交于点， 此时， 故， 所以， 因为，所以，即 所以，所以， 故最大值为. 四、解答题 11．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 12．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为36平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若使用的篱笆总长为30米，则，为何值时，菜园面积最大？ (3)若使用的篱笆总长为30米，求的最小值． 【答案】(1)长为，宽为时，所用篱笆总长最小． (2)菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． (3)． 【分析】（1）明确，在此条件下求的最小值，并明确等号成立的条件即可. （2）明确，在此条件下，求的最大值，并明确等号成立的条件即可. （3）结合，求的最小值. 【详解】（1）由题意得，，所用篱笆总长为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为，宽为时，所用篱笆总长最小． （2）由题意得，，菜园面积为． 因为， 当且仅当时，即，时等号成立． 所以菜园的长为15，宽为时，菜园面积最大． （3）由题意得，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是． 学科网（北京）股份有限公司 $