1.4.2用空间向量研究直线、平面的平行关系-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

"该高中数学学案聚焦“用空间向量研究直线、平面的平行关系”核心知识点，通过课前预习的自主梳理与检测，系统梳理线线、线面、面面平行的向量表示，搭建向量知识与空间平行关系的学习支架。\n资料以例题变式训练和分层作业为特色，助力学生深化理解，培养用数学眼光抽象空间形式、用数学思维推理证明、用数学语言精确表达的核心素养，有效提升空间观念与逻辑推理能力。"

1.4.2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.（重点） 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断（难点） 课前预习 自主梳理 1.线线平行的向量表示: 设分别是直线的方向向量, 则,使得. 2.线面平行的向量表示: 设是直线的方向向量,是平面的法向量,, 则 3.面面平行的向量表示: 设分别是平面的法向量, 则使得. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． (　　) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． (　　) (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． (　　) (4)若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线的一个方向向量．(　　) 【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× 【详解】 (1)正确．相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反． (2)错误．两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合． (3)正确．由法向量的概念可知正确． (4)错误．当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量． 2.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解. 【详解】若平面， 则两个平面的法向量互相平行， 所以平面的法向量为， 所以当时，向量为， 故选：A. 例1.已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 变1.在例1条件中求证：. 【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， 所以 , ，则有，所以. 变2.在例1条件中求证： 【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， ， 所以 , ，则有，所以. ，， 变3.在例1条件中求证： 答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， ， 所以 , ，则有，所以. ，， 由变1知，，， ， 例2．如图，在正方体中，，分别是面，的中心．求证：平面． 例2．解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， ，分别为面与面的中心，，，． 又，，，， 设平面的法向量，则，， ，，取，则，，． 又，，又平面，平面． 变4、在例2条件中求证：平面． 解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 分别为面的中心，，,． 又，，，， 设平面的法向量，则，， ，，取，则，，． 又,，又，平面 变4、在例2条件中求证：平面． 解：(法一：面面判定定理) 由例2及变4得平面， ， (法二：法向量) 解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， ，，，， 设平面的法向量，则，， ，，取，则，，． 又，分别为面与面的中心，，，, ，． 设平面的法向量，则，， ，，取， ，故，平面 例3如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？ 分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示．如果点存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果． 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为，，的坐标分别为，，，所以，． 设是平面的法向量，则，，即 所以 取，则，．所以，是平面的一个法向量． 由的坐标分别为，，，得，． 设点满足，则，所以． 令，得，解得，这样的点存在． 所以，当，即为的中点时，平面． 作业布置： 1..以下真命题共有___________个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 【答案】1 【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③. 【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确. 综上，正确命题共有1个 故答案为：1 2.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】C 【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误. 向量方向相同的单位向量是，B选项错误. ，所以与夹角的余弦值是，C选项正确. ，所以不是平面的法向量，D选项错误. 3..如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，求证：平面EFG∥平面PBC． 【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，， 从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC． 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 4.如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用表示向量，即可推理作答. 【详解】证明：在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC， 则 ， 而，因此平行于平面，而平面， 所以平面. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究直线、平面的平行关系 学习目标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.（重点） 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断（难点） 课前预习 自主梳理 1.线线平行的向量表示: 设分别是直线的方向向量, 则,使得. 2.线面平行的向量表示: 设是直线的方向向量,是平面的法向量,, 则 3.面面平行的向量表示: 设分别是平面的法向量, 则使得. 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反． (　　) (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行． (　　) (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行． (　　) (4)若向量是直线的一个方向向量，则向量也是直线的一个方向向量．(　　) 2.若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（　　） A． B． C． D． 例1.已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：. 变1-1在例1条件中求证：. 变1-2在例1条件中求证： 变1-3在例1条件中求证： 例2．如图，在正方体中，，分别是面，的中心．求证：平面． 变2-1在例2条件中求证：平面．变2-1在例2条件中求证：平面． 变2-2在例2条件中求证：平面． 例3如图1.4-12，在长方体中，，，．上是否存在点，使得平面？ 作业布置： 1..以下真命题共有___________个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 2.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 3..如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三 角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点， 求证：平面EFG∥平面PBC． 4.如图，在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.求证：平面BCD. 1.4.2 用空间向量研究直线、平面的平行关系答案 自主检测 1.【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)× 【详解】 (1)正确．相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反． (2)错误．两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合． (3)正确．由法向量的概念可知正确． (4)错误．当k＝0时，ka＝0不是直线l的方向向量． 2.【答案】A 【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解. 【详解】若平面， 则两个平面的法向量互相平行， 所以平面的法向量为， 所以当时，向量为， 故选：A. 例1.【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有， ， ， ， 所以，，则有，所以. 变1-1【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， 所以 , ，则有，所以. 变1-2【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， ， 所以 , ，则有，所以. ，， 变1-3【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明，可得. 【详解】因为正方体的棱长为1， 分别为棱的中点， 所以有，，， ， ， 所以 , ，则有，所以. ，， 由变1知，，， ， 例2．解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， ，分别为面与面的中心， ，，． 又，，， ， 设平面的法向量，则，， ，，取，则，，． 又，，又平面，平面． 变2-1解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 分别为面的中心，，,． 又，，，， 设平面的法向量，则，， ，，取，则，，． 又,，又，平面 变2-2解：(法一：面面判定定理) 由例2及变4得平面， ， (法二：法向量) 解析：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， ，，， ， 设平面的法向量，则，， ，， 取，则，，． 又，分别为面与面的中心，，，, ，． 设平面的法向量，则，， ，，取， ，故，平面 例3分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示．如果点存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果． 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为，，的坐标分别为，，，所以，． 设是平面的法向量，则，，即 所以 取，则，．所以，是平面的一个法向量． 由的坐标分别为，，，得，． 设点满足，则，所以． 令，得，解得，这样的点存在． 所以，当，即为的中点时，平面． 作业布置： 1.【答案】1 【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①；利用直线与平面平行的判定定理否定命题②；利用两个平面位置关系定义判断命题③. 【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个.判断错误； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线在这个平面内.判断错误； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交.判断正确. 综上，正确命题共有1个 故答案为：1 2.【答案】C 【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误. 向量方向相同的单位向量是，B选项错误. ，所以与夹角的余弦值是，C选项正确. ，所以不是平面的法向量，D选项错误. 3.【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB，AP，AD两两垂直，从而以A为坐标原点， AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 并确定A，B，C，D，P，E，F，G的坐标，求得，，，， 从而即可确定平面EFG的法向量，平面PBC的法向量，进而即可证明平面EFG∥平面PBC． 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)， D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 4.【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用表示向量，即可推理作答. 【详解】证明：在三棱锥中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC， 则 ， 而，因此平行于平面，而平面， 所以平面. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $1.4.2用空间向量研究直线、平面的平行关系 学习具标 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.（重点) 3.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判断（难点） 课前预习自主梳理 1.线线平行的向量表示： 设4，u,分别是直线，1的方向向量 则11/1一4/14⊙3元∈R,使得4= 2.线面平行的向量表示 设u是直线1的方向向量，n是平面的法向量，1￠a, 则1/1a⊙u⊥n⊙u:n=0 3.面面平行的向量表示 设，乃，分别是平面c,B的法向量， 则ax11B一2/1m,一元∈R,使得2= 自主检测 1.判断正误，正确的画V”,错误的画×”. (1)若两条直线平行，则它们方向向量的方向相同或相反. () (2)两直线的方向向量平行，则两直线平行。 () (3)若两个平面平行，则这两个平面的法向量平行. () (4)若向量a是直线1的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量.() 第1页共10页 2.若平面/1p,且平面a的一个法向量为i=(2,1,,则平面B的法向量可以是（) A. a分3 B.(2,-1,0) C.1,20)D.512) 例1.已知棱长为1的正方体OABC-QABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，D,E,F,G分别为棱 OA,AB,BC,OC的中点，求证：DEGF C D A E B G F 变1-1在例1条件中求证：AD∥C,F 变1-2在例1条件中求证：ADI‖平面C1GF 变1-3在例1条件中求证：平面ADEI平面C1GF 第2页共10页 例2.如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F分别是面AB,AC,的中心.求证：EF/∥平面ACD,. D C ● B 变2-1在例2条件中求证：C1EI平面ACD,.变2-1在例2条件中求证：C1EI平面ACD· 变2-2在例2条件中求证：平面CEFI平面ACD· D E 第3页共10页 例3如图1.4-12，在长方体ABCD-AB,C,D中，AB=4,BC=3,CC1=2.B,C上是否存在点P 使得AP/I平面ACD,? D 作业布置： 1.以下真命题共有 个 ①一个平面的单位法向量是唯一的： ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行： ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交， 2.已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),则下列说法正确的是（) A·AB与AC是共线向量 B.与向量亚方向相同的单位向量是25,5 550) C·AB与8C夹角的余弦值是-5丽 D.平面ABC的一个法向量是(-1，-2 11 3.如图所示，平面PADL平面ABCD,四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三 角形，且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点， 求证：平面EFG∥平面PBC. B 4.如图，在三棱锥A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC,求证： A PQ/I平面BCD, P B---- -D 第4页共10页 1.4.2用空间向量研究直线、平面的平行关系答案 自主检测 1.【答案】(1)V(2)×3)V(4)× 【详解】()正确.相互平行的两条直线的方向向量共线，所以两向量的方向相同或相反， (②)错误，两直线的方向向量平行，这两直线可能平行或重合. (3)正确.由法向量的概念可知正确. (4)错误.当k=0时，ka=0不是直线1的方向向量. 2.【答案】A 【分析】根据面面平行判断出，法向量互相平行即可求解 【详解】若平面a/1B, 则两个平面的法向量互相平行， 所以平面B的法向量为=-21号》2≠0， 所以当-时，向量为0片寻， 故选：A 03 应用新知 例1.【答案】证明见解析 【分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明DE=GF,可得DE/GF 【详解】因为正方体的棱长为1，D,E,F,G分别为棱O4,AB,BC,OC的中点 所以有61310g50 所以呱=230）F=50) 则有D正=GF,所以DEIIGF 变1-1【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明AD=-C下，可得ADIC1F 【详解】因为正方体的棱长为1， D,E,F,G分别为棱OA,AB1,BC,OC的中点 所以有A(,00), ).G(O.1.D.1. 第5页共10页 所以AD=(-,0,1),CF=(,0,-1).则有AD=-C正，所以4DIC1F 变1-2【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明AD=-CE,可得ADⅡC下 【详解】因为正方体的棱长为1，D,E,F,G分别为棱O4,AB,BC,OC的中点 所以有A0,0,0). 1con.F0 所以AD=(-,0,1),CF=(,0,-1),则有AD=-C正，所以AD II CF. ~AD丈平面C1GF,C1FC平面C1GF,.ADI‖平面C1GF 变1-3【答案】证明见解析 分析】由图中的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，证明AD=-CF,可得AD"C1下 【详解】因为正方体的棱长为1，D,E,F,G分别为棱OA,AB,BC,OC的中点， 所以有A0,0,0), n哈叫coW.F0 所以AD=(-,0,1),CF=(吃0，-1).则有AD=-C1正.所以ADIC1F ~AD￠平面C1GF,C1FC平面C1GF,ADI平面C1GF 由变1知DE II GF,DE丈平面C1GF,GFC平面C1GF,·DEII平面C1GF DE∩AD=D,DE,ADC平面ADE,∴.平面ADEI平面C1GF 例2.解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， :E,F分别为面AB,与面AC1的中心 D C F E(2,1,1),F(1,1,2),.EF=(-1,0,1) B 又A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2) ∴.AC=（2,2,0),AD=(-2,0,2) 设平面ACD,的法向量n=(x,y,z）),则LAC,nLAD, B 0-2+2=0女吸-1则y=1=1.-01w n:AC=-2x+2y=0,「x=y 又.EFn=(-1)×1+0×1+1×1=0,.EF⊥n,又EF丈平面ACD,∴.EF/平面ACD. 第6页共10页 变2-1解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， E分别为面AB的中心，.E(2,1,1),C1(0,2,2)…C1E=(2,-1,-1) 又A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,0,2),.AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2) 设平面ACD,的法向量n=(x,y,z),则n⊥AC,n⊥AD, n4C=-2x+2y=0x=y.取x=1,则y=1.a=1,n=41D n.AD=-2x+22=0x=Z 又C1E.元=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0C1E1i.又~C1Et平面ACD1,C1EI平面ACD 变2-2解：（法一：面面判定定理） 由例2及变4得EF/1平面ACD C1EI平面ACD1 EF∩C1E=E,且EF,C1Ec平面C1EF, ·平面C1EFI平面ACD1 (法二：法向量) 解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2 .·A(2,0,0),C(0,2,0).D(0,0,2) ∴.AC=(-2,2,0),AD1=(-2,0,2) 设平面ACD的法向量n=(x,y,z),则⊥AC,n⊥AD, n.AC=-2x+2y=0 x=y n.AD=-2x+22=0x=z 取x=1,则y=1,z=1,.n=(1,1,1)· 又E.F分别为面AB,与面AC1的中心，.E(2,1,1),F(1,1,2),C10,2,2) C1E=(2,-1,-1)C1F=(1,-1,0) 设平面平面C1EF的法向量元=(x1,y1,z1),则元1C1E,m1C1F m.C正=2x1-1-21=0,三取x1=1,则y1=121=1,m=(1,11） “mCF=x1y=0=x 第7页共10页 “元=元，故元I元，.平面CEF平面ACD 例3分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量B,C,AP,以及平面ACD 的法向量n等都可以用坐标表示.如果点P存在，那么就有·A,P=0,由此通过向量的坐标运算可得结 果 解：以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角 坐标系因为A,C,D的坐标分别为(3,0,0).(0,4,0)，(0,0,2)，所以AC=(-3,4,0),AD=(3,0,2) 设n=(x,y,z)是平面ACD的法向量，则n·AC=0,n:AD=0,即 -3x+4y=0, D -3x+2z=0 2 x= 所以 3 y-7 图1.4-12 取z=6,则x=4,y=3·所以，n=(4,3,6)是平面ACD的-个法向量 由A,C,B的坐标分别为(3,0,2)，(0,4,0)，(3,4,2)得AB=(0,4,0),B,C=(-3,0,-2) 设点P满足BP=B,C(0≤2≤1)，则B,P=(-3元，0，-22)，所以AP=AB,+BP=(-32,4,-22) 令：4P=0,得-12元+12-121=0，解得1=】 ,这样的点P存在· 所以。当AP=8C,即P为&C的中点时，4P/平面4CD 作业布置： 1.【答案】1 【分析】利用单位向量和平面法向量的定义否定命题①：利用直线与平面平行的判定定理 否定命题②：利用两个平面位置关系定义判断命题③ 【详解】①一个平面的单位法向量有无穷多个判断错误； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行或这条直线 在这个平面内判断错误： 第8页共10页 ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交判断正确 综上，正确命题共有1个 故答案为：1 2.【答案】C 【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】AB=(2,1,0),AC=（1,2,1),不存在实数1，使AB=2AC,所以AB与AC不共线，A选项错误 AB 255 向量B方向相同的单位向量是 0 AB 55 B选项错误 AB·BC -5 V55 BC=(-3,1,1),所以AB与BC夹角的余弦值是 AB.BC 5xI11. C选项正确 (2,1,0)(-1,-2,5)=4≠0，所以(-1，-2,5)不是平面ABC的法向量，D选项错误 3.【答案】证明过程见详解 【分析】根据题意得到AB,AP,AD两两垂直，从而以A为坐标原点 AB,AD,AP所在直线分别为X轴，y轴，Z轴，建立空间直角坐标系， 并确定A,B.C,D,P,E,FG的坐标，求得PB,FE,FG,BC 从而即可确定平面EFG的法向量n,平面PBC的法向量n,,进而即可证明平面EFG∥平面PBC. 【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以ABAP,AD两两垂直， ◆Z 以A为坐标原点，AB.AD,AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， D 建立空间直角坐标系，则A0,0,0,B2,0,0).C2.2.0), D0,2,0).0,0,2).0,0,1),0.1.1),G1,2,0) D 所以PB=(2,0,-2),FE=(0,-1,0),FG=1,1,-1),BC=(0,2,0) 设=(s,乃，)是平面EFG的法向量 则1FE,2⊥FG, 即 月·F厘=0 得 -片=0 FG=0 x1+4-3=0 令5=1，则x=1,为=0，所以%=1,0,1) 设乃，=（化2，为，2）是平面PBC的法向量 第9页共10页 由2⊥PB,2⊥BC,即 2·PB=0 2x2-2z2=0 得 2BC=0 2y2=0 令2=1，则x2=1,为2=0，所以2=1,0,1) 所以h=乃，所以平面EFG∥平面PBC 4.【答案】证明见解析 【分析】根据给定条件，结合空间向量线性运算用D,DC表示向量PO,即可推理作答 【详解】证明：在三棱锥A-BCD中，M是AD的中点，P是BM的中点，且点Q在线段AC上，AQ=3QC, 则PO=p丽+Bc+CO-号MB+Bc+CA-MD+DB)+Bc+}(DA-DC) (AD+DB)+(DC-DB)+1DA-IDC=-1D4+DB+DC-DB+1DA-IDC 22 4 4 --1DB+3DC 4 而DB∩DC=D,因此PO平行于平面BCD,而P2￠平面BCD, 所以PQII平面BCD 第10页共10页