专题02 三角函数的性质与图像（暑假复习讲义）新高二数学人教B版

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专题02 三角函数的性质与图像 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一 三角函数周期性的判断与应用 题型二 三角函数奇偶性与对称性的综合应用 题型三 三角函数单调区间的求解与应用 题型四 三角函数值域与最值的求解 题型五 三角函数图象的平移、伸缩与翻折变换 题型六 图象变换前后三角函数解析式的互求 题型七 由图象或已知条件确定三角函数解析式 题型八 三角函数在实际问题中的建模与应用 题型九 三角函数中的恒成立与有解问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 三角函数的定义域与值域 2. 周期性与奇偶性判断 3. 单调性（单调区间、最值求解） 4. 图像平移、伸缩变换（相位变换） 5. 的图像与解析式 6. 对称性（对称轴、对称中心） 1. 定义域与值域：结合三角恒等变换求函数定义域，利用单调性或辅助角公式求值域，常结合参数范围考查。 2.周期性与奇偶性：利用周期公式(求周期，结合奇偶性定义判断函数奇偶性，常与参数结合考查。 3. 单调性与最值：求正弦、余弦、正切函数的单调区间，结合区间求函数的最大值、最小值，是高频考点。 4. 图像变换：考查平移、伸缩、翻折变换，常与相位变换结合，易错点为平移方向与单位。 5. 图像解析式：由图像特征（周期、最值、特殊点）反求，常结合五点法考查。 6. 对称性应用：利用对称轴、对称中心的性质求参数，或解决图像交点问题。 考情解码：“三角函数的性质与图像”是高中函数体系的重要组成部分，是后续学习三角恒等变换、解三角形及选修模块的基础。本专题涉及的周期性、奇偶性、单调性、图像变换等性质，是培养学生数形结合、逻辑推理与转化化归能力的重要载体。 试题从单一性质的判断、计算，向多性质综合辨析、图像变换、参数求解、实际情境应用转型，着重考查学生的图像分析能力、逻辑推理能力及运用三角函数性质解决综合问题的能力。的图像与性质、图像变换是高频综合考点，常与后续三角恒等变换、导数、平面向量等知识结合，体现函数知识的内在联系。 知识点一 周期函数 1、周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2、最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  即时即练 函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 知识点二 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 即时即练 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 知识点三 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 即时即练 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 知识点四 图象变换 1、对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 即时即练 将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型一：三角函数周期性的判断与应用 【典例1-1】（2026·高三·河北·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·高三·北京·二轮复习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·高二·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·高一·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 题型二：三角函数奇偶性与对称性的综合应用 【典例2-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【典例2-2】已知．若，则（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）函数图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 题型三：三角函数单调区间的求解与应用 【典例3-1】函数的单调增区间为______. 【典例3-2】（2026·高一·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【变式3-1】（2026·高一·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 【变式3-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 题型四：三角函数值域与最值的求解 【典例4-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的值域． 【典例4-2】（2026·高一·广东河源·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【变式4-1】设函数． (1)求； (2)求的最大值和最小正周期． 【变式4-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递减区间和对称轴； (2)求的最大值，以及取得最大值时x的值； (3)求在上的值域. 题型五：三角函数图象的平移、伸缩与翻折变换 【典例5-1】（2026·高一·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【典例5-2】（2026·高一·云南楚雄·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【变式5-2】（2026·高一·四川南充·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 题型六：图象变换前后三角函数解析式的互求 【典例6-1】（2026·高一·上海·阶段检测）将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 【典例6-2】把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【变式6-1】（2026·高三·北京·阶段检测）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为______. 【变式6-2】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为_______． 题型七：由图象或已知条件确定三角函数解析式 【典例7-1】（2026·高一·山东枣庄·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【典例7-2】（2026·高一·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2026·高一·甘肃定西·期末）函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 【变式7-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 题型八：三角函数在实际问题中的建模与应用 【典例8-1】（2026·高一·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【典例8-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【变式8-1】（2026·高一·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【变式8-2】（2026·高一·北京·阶段检测）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型九：三角函数中的恒成立与有解问题 【典例9-1】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知函数的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围. 【典例9-2】（2026·高一·广东江门·期中）已知函数. (1)求的单调递减区间和最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围. 【变式9-1】（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）已知，． (1)是否存在常数，使得函数是奇函数； (2)若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【变式9-2】（2026·高一·湖北孝感·期末）设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【变式9-3】（2026·高一·山东滨州·期中）已知函数． (1)当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心； (2)当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 1．（2026·高一·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 4．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·高一·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 6．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 8．（2026·高一·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 9．（2026·河北张家口·三模）若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 10．（2026·高一·上海·期中）函数，如图，则___________. 11．（2026·高一·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 12．（2026·高一·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 13．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 14．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知函数 ，给出下列三个命题： ①该函数的值域为 ； ②当且仅当 时，； ③若，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 其中正确的命题为_______ 15．（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 16．（2026·高一·上海·期中）将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 17．（2026·高一·湖北·期中）函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 18．（2026·高一·辽宁朝阳·期中）设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 19．（2026·高一·广东茂名·期中）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角函数的性质与图像 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型一 三角函数周期性的判断与应用 题型二 三角函数奇偶性与对称性的综合应用 题型三 三角函数单调区间的求解与应用 题型四 三角函数值域与最值的求解 题型五 三角函数图象的平移、伸缩与翻折变换 题型六 图象变换前后三角函数解析式的互求 题型七 由图象或已知条件确定三角函数解析式 题型八 三角函数在实际问题中的建模与应用 题型九 三角函数中的恒成立与有解问题 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1. 三角函数的定义域与值域 2. 周期性与奇偶性判断 3. 单调性（单调区间、最值求解） 4. 图像平移、伸缩变换（相位变换） 5. 的图像与解析式 6. 对称性（对称轴、对称中心） 1. 定义域与值域：结合三角恒等变换求函数定义域，利用单调性或辅助角公式求值域，常结合参数范围考查。 2.周期性与奇偶性：利用周期公式(求周期，结合奇偶性定义判断函数奇偶性，常与参数结合考查。 3. 单调性与最值：求正弦、余弦、正切函数的单调区间，结合区间求函数的最大值、最小值，是高频考点。 4. 图像变换：考查平移、伸缩、翻折变换，常与相位变换结合，易错点为平移方向与单位。 5. 图像解析式：由图像特征（周期、最值、特殊点）反求，常结合五点法考查。 6. 对称性应用：利用对称轴、对称中心的性质求参数，或解决图像交点问题。 考情解码：“三角函数的性质与图像”是高中函数体系的重要组成部分，是后续学习三角恒等变换、解三角形及选修模块的基础。本专题涉及的周期性、奇偶性、单调性、图像变换等性质，是培养学生数形结合、逻辑推理与转化化归能力的重要载体。 试题从单一性质的判断、计算，向多性质综合辨析、图像变换、参数求解、实际情境应用转型，着重考查学生的图像分析能力、逻辑推理能力及运用三角函数性质解决综合问题的能力。的图像与性质、图像变换是高频综合考点，常与后续三角恒等变换、导数、平面向量等知识结合，体现函数知识的内在联系。 知识点一 周期函数 1、周期函数的定义 一般地,设函数的定义域为,如果存在一个非零常数,使得对每一个,都有,且,那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2、最小正周期的定义 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做的最小正周期.  即时即练 函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得. 知识点二 正余弦函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 周期性 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 即时即练 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】函数，设函数的最小正周期为T， 由可得，（）， 所以，即， 又函数在上存在零点， 且当时，，所以≥，解得， 综上，的最小值为4. 知识点三 正切函数的性质与图像 函数 图象 定义域 值域 最值 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数． 对称性 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 即时即练 已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为且 B．函数的值域为 C．函数的最小正周期为 D．函数的图象关于直线对称 【答案】C 【解析】对于A，由正切函数的性质可得， 又由， 因此，函数的定义域为且，故A错误； 对于B，由 ， 因为函数的定义域为且， 所以且，即， 因此，所以，故B错误； 对于C，由上分析知，所以， 且的最小正周期为，因此函数的最小正周期为，故C正确； 对于D，由上分析知，所以， ， 显然等式不恒成立，因此函数的图象不关于直线对称，故D错误. 知识点四 图象变换 1、对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 即时即练 将函数的图象向右平移个单位长度后所得图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将的图象向右平移个单位长度，得到， 根据诱导公式可得 . 题型一：三角函数周期性的判断与应用 【典例1-1】（2026·高三·河北·开学考试）函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由二倍角公式得：，则 利用辅助角公式得：，其中， 所以最小正周期：. 【典例1-2】（2026·高三·北京·二轮复习）已知下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】画的图象，如图， 由图可知函数的最小正周期为，故A正确； 对于B，函数周期为，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，故C错误； 对于D，对于函数，当时，， 当时，， 所以，其最小正周期为，故D错误. 故选：A. 【变式1-1】（2026·高二·上海·期中）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】的图象如图所示， 由图象可知最小正周期为. 故选：B. 【变式1-2】（2026·高一·内蒙古·期中）在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数为（   ） A．①②③ B．②③ C．②④ D．①③ 【答案】A 【解析】①函数为偶函数，周期与相同，最小正周期； ②函数的周期是的一半，即； ③由余弦型函数性质； ④由正切型函数性质； 因此，最小正周期为的所有函数为①②③，故A正确. 题型二：三角函数奇偶性与对称性的综合应用 【典例2-1】（2026·高三·全国·一轮复习）已知函数，是偶函数，则θ的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 由函数为偶函数，得，而， 则，所以的值为. 【典例2-2】已知．若，则（    ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 【答案】D 【解析】∵， ∴， ∴ . 故选：D 【变式2-1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 【变式2-2】（2026·安徽·三模）已知是函数的对称轴，则的值可以是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为， 又因为是函数的对称轴， 所以函数在处取最值， 所以， 解得， 所以当时，， 当时，， 故只有A选项满足. 【变式2-3】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）函数图象的一条对称轴的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若为函数图象的对称轴方程，则， 整理得：，当时，， 即一条对称轴的方程为. 题型三：三角函数单调区间的求解与应用 【典例3-1】函数的单调增区间为______. 【答案】 【解析】 . 由，得， 所以函数的单调增区间为. 【典例3-2】（2026·高一·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【解析】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 【变式3-1】（2026·高一·辽宁鞍山·期中）函数的单调递减区间为_____________． 【答案】 【解析】令，解得， 所以函数的单调递减区间为. 【变式3-2】（2026·高一·江西南昌·阶段检测）已知函数在区间上单调递减，，则__________． 【答案】/ 【解析】在区间上单调递减，， 由，得①. 又，图象关于点对称， 即②. 由②①得，由于， 则，代入①，即， 由于，则． 题型四：三角函数值域与最值的求解 【典例4-1】（2026·高一·云南昆明·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数在区间上的值域． 【解析】（1）因为. 所以函数的最小正周期为. （2）因为，所以，， 设，则，因为， 所以， 所以， 即函数在区间上的值域为. 【典例4-2】（2026·高一·广东河源·阶段检测）已知函数． (1)求函数的最小正周期，以及最大值和最小值； (2)求函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最大值和最小值． 【解析】（1）因为， 所以. ，. （2）令， 解得单调递增区间为，. （3）因为，所以，则, 所以，. 【变式4-1】设函数． (1)求； (2)求的最大值和最小正周期． 【解析】（1）函数， . （2）由， 当， 即时，取得最大值为， 最小正周期为． 【变式4-2】（2026·高一·广东江门·阶段检测）已知函数. (1)求的单调递减区间和对称轴； (2)求的最大值，以及取得最大值时x的值； (3)求在上的值域. 【解析】（1）由，解得， 所以的单调减区间为. 由，得，的对称轴为. （2）当即时，取得最大值，最大值为. （3）由，得，则，， 故在上的值域为. 题型五：三角函数图象的平移、伸缩与翻折变换 【典例5-1】（2026·高一·北京朝阳·期末）将函数的图象经过下列哪种变换可以得到函数的图象（     ） A．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） D．先向左平移个单位，再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 【答案】A 【解析】先将向左平移个单位，可得， 再将函数图象上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 可得的图象，故A正确. 【典例5-2】（2026·高一·云南楚雄·期中）将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变）， 可得的图象， 令，得，可得， ． 【变式5-1】（2026·高一·上海·期中）要得到函数的图像，只需要将函数的图像（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【解析】因， 故只需要将的图像向左平移个单位长度即得的图象. 【变式5-2】（2026·高一·四川南充·阶段检测）将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，则所得到的图象的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将函数的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得到， 即所得到的图象的函数解析式是. 题型六：图象变换前后三角函数解析式的互求 【典例6-1】（2026·高一·上海·阶段检测）将函数的图像先向左平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半，所得函数图像的解析式为______． 【答案】 【解析】函数的图像先向左平移个单位得， 再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的一半得. 【典例6-2】把函数的图象向右平移个单位，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变），则得到的函数解析式为_____________． 【答案】 【解析】把函数的图象向右平移个单位， 则得到的图象， 即解析式为，然后把横坐标扩大为原来的3倍（纵坐标不变）， 得到函数的图象，即函数的解析式为：， 故答案为：. 【变式6-1】（2026·高三·北京·阶段检测）若将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，则变换后得到的函数图象的解析式为______. 【答案】 【解析】由函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到， 再向左平移个单位长度，得到. 故答案为： 【变式6-2】把函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标保持不变），得到函数的图象，则的解析式为_______． 【答案】 【解析】将函数的图象上每个点的横坐标缩短到原来的（纵坐标保持不变），得到函数的图象， 再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 故答案为： 题型七：由图象或已知条件确定三角函数解析式 【典例7-1】（2026·高一·山东枣庄·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，则的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数的最小正周期为，且，则， 由图象可知：，且， 即，解得，可得， 又因为函数的图象过点，则， 即，且，则， 可得，解得， 所以. 故选：D. 【典例7-2】（2026·高一·四川成都·期末）已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后得的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知，函数经过点，则得， 因，则有，解得，故， 依题意. 故选：C. 【变式7-1】（2026·高一·甘肃定西·期末）函数的部分图象如图所示，则该函数的解析式可以是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设函数的最小正周期为， 由图可得：，且，即， 且，可得，解得，则， 代入点可得，即 则，即， 所以． 故选：B. 【变式7-2】（2026·高一·江苏南京·阶段检测）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图可知,,则 由图像根据五点法，当 时,对应得到, 即，因为，所以或， 当，验证单调递增区间： 令， 当时，为其一个增区间，由图象可得位于减区间上，矛盾， 所以. 故选：D 题型八：三角函数在实际问题中的建模与应用 【典例8-1】（2026·高一·河南南阳·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t秒后点P距离水面的高度为h米，且，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D．当点P运动秒时，距水面的高度为米 【答案】D 【解析】筒车半径为2米，故振幅为，圆心距水面1米，故平衡位置，故A正确； 已知每分钟转4圈，周期秒，角速度，故B正确； 时，点在水面，，代入公式，解得， ，且在第四象限，，故C正确； 秒时，， 米，故D错误． 【典例8-2】（2026·高一·辽宁沈阳·期中）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；．若实验室温度不低于11℃时需要降温，则在一天时间内实验室需要降温的时长为（   ） A．6小时 B．8小时 C．9小时 D．12小时 【答案】B 【解析】， 令，则，所以， 解得，由于，则或， 所以在这段时间，实验室需要降温， 即在一天时间内实验室需要降温的时长为小时. 【变式8-1】（2026·高一·湖北·期中）如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（   ） A．点P距离水面的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数解析式为 B．点P第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动95秒时，点P距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【解析】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 【变式8-2】（2026·高一·北京·阶段检测）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具．据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足．关于函数，下列描述： ①；         ②当时，函数单调递增； ③当时，；     ④当时，的最大值为 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，，所以， 点代入，可得，解得， 又，所以，故①正确； 因为，当时，， 所以函数先增后减，故②错误； 当时，，的纵坐标为，横坐标为， 所以，故③正确； 当时，点到轴的距离的最大值为，故④错误； 题型九：三角函数中的恒成立与有解问题 【典例9-1】（2026·高一·上海浦东新·期中）已知函数的最小正周期为. (1)化简函数的表达式，并求出的值； (2)若不等式 在上恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1） 所以. （2）即在上恒成立 在上恒成立， 由于，所以 ，故， 所以，，实数的取值范围为. 【典例9-2】（2026·高一·广东江门·期中）已知函数. (1)求的单调递减区间和最小正周期； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 其最小正周期为. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 当时，即时，取得最大值， 因为对任意的，使得恒成立， 即恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 【变式9-1】（2026·高一·上海嘉定·阶段检测）已知，． (1)是否存在常数，使得函数是奇函数； (2)若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是奇函数，则对任意恒成立 即 所以，因为，所以． 故当时，函数是奇函数. （2）若，则， 则不等式对任意恒成立可化为对任意恒成立， 因为在上单调递减，所以， 所以的取值范围是． 【变式9-2】（2026·高一·湖北孝感·期末）设函数. (1)若，求函数在上的值域； (2)若不等式在上恒成立，求的取值范围； (3)若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围. 【解析】（1）令，，则， 令， 当时，在上单调递减， 所以，，即的值域为，故函数的值域为. （2）若要，则需，当时，， 函数变为，，所求问题变为恒成立， 函数的图象开口向下， ①当时，即当时，此时函数在上单调递减， 则，解得，此时； ②当时，即当时，此时函数在上单调递增， 则，解得，此时； ③当时，即当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 故， 当时，即当时，，解得，此时； 当时，即当时，，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. （3）令，，由题意可知，当时， 关于的方程在时有两个不等实数解， 而关于的方程最多只有两个根， 因为方程在上有四个不相等的实数根， 所以原题可转化为在内有两个不等实数根，    令，则有，解得， 即的范围. 【变式9-3】（2026·高一·山东滨州·期中）已知函数． (1)当时，函数在一个周期内的图象，如图A为图象的最高点，为图象与轴的交点，且为等腰直角三角形，求曲线的对称中心； (2)当时，若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，设，若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【解析】（1）设函数的最小正周期为．由为等腰直角三角形知，，所以，解得，所以． 令，解得， 故曲线的对称中心为． （2）因为为偶函数，所以， 因为，所以，则． ， 若，则，则． 因为不等式在上恒成立， 所以，解得，故实数的取值范围为． （3）由题意，得． 因为，所以，则． 因为对任意的，都有， 所以， 则对任意的，都有，即． 令，则对任意的恒成立． 若，则恒成立，． 若，则． 因为在上单调递减，所以，则，解得． 若，则．因为在上单调递减， 所以，则，即． 综上，实数的取值范围是． 1．（2026·高一·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 2．（2026·重庆·模拟预测）函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以的最小正周期， 所以，由，得，解得， 因为正切函数的对称中心满足，函数的图象关于点对称， 所以，将代入得： ， 整理得， 因为 所以，取，得，即为满足条件的最小正实数值，即正实数的最小值为. 3．（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 4．（2026·江苏苏州·三模）已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 5．（2026·高一·北京·期中）已知函数，下列结论中：①函数恒满足；②直线是函数图象的一条对称轴；③点是函数图象的一个对称中心；④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，函数的最小正周期为， 则函数恒满足，故①正确； 对于②，由， 则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确； 对于③，由， 则点不是函数图象的一个对称中心，故③错误； 对于④，令，即， 当时，函数的单调减区间为，故④正确. 6．（2026·高一·江西上饶·阶段检测）若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 7．若方程在上有两个实数根，则的取值范围为____. 【答案】 【解析】在同一直角坐标系中作出的图象，的图象， 由图象可知，当，即时， 函数的图象与的图象有两个交点， 即方程在上有两个实根， 故的取值范围为. 故答案为：. 8．（2026·高一·上海宝山·期中）函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为______． 【答案】 【解析】函数向左平移后的新函数为： ， 若正弦型函数为偶函数，则需满足， 则，解得， ， 当时，． 9．（2026·河北张家口·三模）若函数是偶函数，则最小正周期的最大值为_________． 【答案】4 【解析】因为为偶函数，所以. 由，得， 所以的最小正周期，当且仅当时等号成立. 所以最小正周期的最大值为4. 10．（2026·高一·上海·期中）函数，如图，则___________. 【答案】 【解析】由图可知，正切函数的周期 . 根据周期公式 ，得 ，解得 . 正切函数的零点满足 ，图中零点为 ，代入得， 由，得 时，，符合条件. 由图可知函数过点，代入得， 所以. 11．（2026·高一·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【解析】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，所以，因为， 所以，或. 12．（2026·高一·河北·期中）若函数在区间上单调，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】令，解得：，所以， 则，即：，由题意得：， 因为，所以， 所以，即的取值范围为. 13．（2026·高一·江苏镇江·期末）已知函数在上最大值为，最小值为，则_________． 【答案】8 【解析】， 设，因为， 所以为奇函数，则， 所以. 14．（2026·高一·河南南阳·阶段检测）已知函数 ，给出下列三个命题： ①该函数的值域为 ； ②当且仅当 时，； ③若，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 其中正确的命题为_______ 【答案】①③ 【解析】去掉绝对值分段化简函数，可得， 即. 因为当时，； 当时，， 所以，函数为周期函数，最小正周期为. 如下图所示，作出函数的图象（图中实线）： 由图象可知，函数的值域为，故①正确； 当 时，，故②错误； 当，且方程有两个实根，则实数的取值范围为 ，故③正确. 15．（2026·高一·辽宁抚顺·期中）某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【答案】40 【解析】设两点间的距离为厘米，， 则，所以． 因为，所以． 由，得，解得， 则两点间的距离大于6厘米的时长是秒． 16．（2026·高一·上海·期中）将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】/ 【解析】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 17．（2026·高一·湖北·期中）函数的部分图象如图所示，最高点和最低点的坐标分别为和． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)求方程在内所有解的和． 【解析】（1）由题意，最高点和最低点，得，. 解得，. ，故. 由得.所以. 代入：，即. 又，得，故. 解析式为. 令，解得. 故单调递减区间为. （2）令，方程. 当时，（舍去）； 当时，. 故，即，. 得，解得. 在内的解为和，和为. 18．（2026·高一·辽宁朝阳·期中）设函数（为常数，且，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调递增区间及对称中心； (3)求的解集． 【解析】（1）由图知，， 由，得， 又，所以， 因为的图象过点， 所以，解得， 又，所以， 所以； （2）由， 得， 所以的单调递增区间为， 由，得， 所以的对称中心为； （3）因为，所以， 所以， 解得， 所以的解集为． 19．（2026·高一·广东茂名·期中）图1所示的是一段根据正弦曲线设计安装的过山车轨道，建立平面直角坐标系，如图2，h（单位：）表示在时间t（单位：）时，过山车（看作质点）离地平面的高度，轨道最高点P距离地平面，最低点Q距离地平面，当时，过山车到达最高点P，当时，过山车到达最低点Q，设（，，）. (1)求A，B，，的值； (2)求入口处M离地平面的高度； (3)求一个周期内过山车距离地平面的高度不大于的时长. 【解析】（1）∵ 高度最大值为，最小值为， ∴ ，解得，. ∵ 从最高点到最低点的时间间隔为半个周期， ∴ ，即，∴ . ∴ . 将，代入得，即， ∴ .∵ ，∴ . （2）由（1）知， 入口处对应，∴ . 即入口处离地面高度为. （3）令，即，化简得. 函数周期，取一个周期，则. 由，得，即， 解得. ∴ 时长为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $