【暑假预习】微专题6 整式规律探究问题 2026-2027学年苏科版数学七年级上册暑假预习衔接讲练

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微专题6 整式规律探究问题 题型一：数字（代数式）中的规律 【典例精讲1】（2026•楚雄州二模）按一定规律排列的单项式：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第n个单项式是（　　） A．（2n﹣1）a2n B．（2n+1）a2n C．（2n﹣1）a2n+2 D．（2n+1）a2n+2 【典例精讲2】（2026•玉溪模拟）按一定规律排列的多项式：x3﹣y2，x5﹣y4，x7﹣y6，x9﹣y8，…，第n个多项式是（　　） A．x2n﹣1+y2n B．x2n+1﹣y2n C．x2n﹣1﹣yn+1 D．x2n+1﹣yn+1 【变式训练1】（2026•金平县模拟）按一定规律排列的代数式：2a，4a，8a，16a，32a，…第n个代数式是（　　） A．2na B．n2a C．2na D． 【变式训练2】（2026•徐州二模）观察下列各数：，1，，，…，按此规律，第12个数为（　　） A． B． C． D． 【变式训练3】（2026•班一模）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a3，﹣3a5，4a7，﹣5a9，…，第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nn B．（﹣1）n+1（n﹣1）a2n+1 C．（﹣1）nna2n﹣1 D．（﹣1）n+1na2n+1 【变式训练4】（2026•楚雄市一模）以下是一组按规律排列的多项式：2x+y2，4x2+y3，8x3+y4，16x4+y5…其中第n个多项式是（　　） A．2x2+yn B．2nxn+yn+1 C．2xn+yn+1 D．2nxn+1yn﹣2 【变式训练5】（2026•丽江模拟）按一定规律排列的一组数据，，，，，，…，则按此规律排列的第n个数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练6】（2026春•兰州期中）让我们按以下步骤计算： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；… 依此类推，则a2026＝（　　） A．26 B．65 C．122 D．无法计算 【变式训练7】（2024秋•深圳校级期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定a的值为 　175　 ． 题型二：等式中的规律 【典例精讲1】（2026春•深圳月考）观察下列各式： 32﹣12＝8＝8×1 52﹣32＝16＝8×2； 72﹣52＝24＝8×3； 92﹣72＝32＝8×4… 根据以上规律，第n个等式（n为正整数）应为（　　） A．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n B．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n C．（n+2）2﹣n2＝4n+4 D．（2n+3）2﹣（2n+1）2＝8n+8 【典例精讲2】（2025秋•大祥区校级期末）观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据以上规律计算42025+42024+42023+…+43+42+4的值是（　　） A． B． C． D． 【典例精讲3】（2025秋•洪山区期末）观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•辉县市二模）请先观察下列等式，再填空：32﹣12＝4×2，42﹣22＝4×3，52﹣32＝4×4，62﹣42＝4×5，…，通过观察归纳，写出第n个等式是：　 　 （n为正整数）． 【变式训练2】（2025秋•寿阳县期末）观察下列等式： 第1个等式：12﹣02＝1， 第2个等式：22﹣12＝3， 第3个等式：32﹣22＝5， … 按此规律，则第n个等式为　 　 ． 【变式训练3】（2025秋•秦皇岛期末）观察下列等式： 9﹣1＝8 ① 16﹣4＝12 ② 25﹣9＝16 ③ 36﹣16＝20 ④ … 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第⑧个等式：　 　 ； （2）设n表示正整数，写出第n个等式：　 　 ． 题型三：图形中的规律 【典例精讲1】（2026•沙坪坝区校级二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒…按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（　　） A．56 B．57 C．63 D．64 【典例精讲2】（2026•江北区校级模拟）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍，第②个图案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（　　） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【典例精讲3】（2026春•万州区月考）如图，是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，…第7个图形的星星个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．64 【变式训练1】（2026•沙坪坝区校级三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（　　） A．15 B．17 C．19 D．21 【变式训练2】（2026•北碚区校级模拟）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，…按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（　　） A．17 B．19 C．21 D．23 【变式训练3】（2026•铜梁区校级模拟）如图，某非遗服饰的银饰花边是由若干个“十字银纹”基本图形按规律排列而成的图案：第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图形组成；第3个图案由10个基本图形组成，…，按此规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 【变式训练4】（2026•松北区二模）如图，某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为0.8cm，按照这种连接方式，10节链条的总长度为（　　）cm． A．25 B．0.8 C．17.8 D．25.8 【变式训练5】（2026•南岗区三模）学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏，当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（　　） A．30 B．36 C．37 D．43 【变式训练6】（2026•卢氏县二模）如图1所示的铜钱纹是中国传统经典的吉祥几何纹样，其原型是古代外圆内方的方孔圆钱，兼具“天圆地方”的哲学内涵与招财纳福的美好寓意．如图2是一组有规律的铜钱纹图案，它由若干个大小相同且相互交叠的圆组成，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆…依此规律，第200个图案中圆的个数为（　　） A．596 B．598 C．599 D．600 【变式训练7】（2026春•单元）某数学兴趣小组开展以“四边形内n个点与各顶点的连线可把四边形分割成不重叠三角形的个数”为主题的探究活动．指导教师将小组的发现整理成表格，部分信息如下： 示意图 n 1 2 3 4 不重叠三角形个数 4 6 8 　 　 （1）把上面的表格补充完整． （2）四边形内n个点与各顶点的连线把四边形分割成不重叠三角形的个数可用含n的代数式表示为　　 　 ． （3）兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了m（m≥3）边形的内部的n个点与各顶点的连线把m边形分割成不重叠三角形的个数的一般规律，分析过程如下： ①设m边形的内部的n个点与各顶点的连线把m边形分割成不重叠的x个三角形； ②三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180x°； ③m边形的内角和为　 　 °； ④m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数可以表示为360n°； ⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，所以这x个三角形的总内角和可以看成m边形的内角和加上n个周角的和，即　 　 ； ⑥综上可得，x＝　 　 ． 阅读以上内容，请在③⑤⑥的横线上填写所缺内容． 题型四：与化学相关的规律 【典例精讲1】（2026•重庆）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中C，H，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【典例精讲2】（2026•厦门模拟）数学方法在跨学科学习中具有较大作用．某小组研究化学中烷烃（一类只含C、H元素的有机物）的结构，已知部分烷烃的结构简式如表所示． 分子中C原子的数量 名称 结构简式 1 甲烷 CH4 2 乙烷 CH3CH3 3 丙烷 CH3CH2CH3 4 丁烷 CH3CH2CH2CH3 5 戊烷 CH3CH2CH2CH2CH3 6 己烷 CH3CH2CH2CH2CH2CH3 请寻找规律，计算一个二十二烷分子（有22个C原子）具有的H原子的个数是（　　） A．44 B．46 C．48 D．50 【变式训练1】（2026•呼兰区二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒的根数是（　　） A．53 B．51 C．49 D．47 【变式训练2】（2026•道外区二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第11个图形中，碳原子的个数为（　　） A．44 B．46 C．50 D．54 【变式训练3】（2026•甘肃校级模拟）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，C12Hx中的x= ． 【变式训练4】（2025春•安徽校级期中）有机物是生命产生的物质基础，主要由碳、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，如图是烷烃前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种：如图1，有1个碳原子，4个氢原子；第2种：如图2，有2个碳原子，6个氢原子；第3种：如图3，有3个碳原子，8个氢原子；第4种：如图4，有4个碳原子，10个氢原子；… （1）按照这一规律，图n中氢原子的个数为 （用含n的代数式表示）； （2）按照这一规律，烷烃中是否存在某种化合物的分子结构模型图中有2035个氢原子？请说明理由． 题型五：数阵中的规律 【典例精讲1】（2026•泰州模拟）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： … 按照此规律，下一个等式是（　　） A．1234×8+4＝9876 B．1234×8+4＝9877 C．1235×8+4＝9876 D．1234×8+3＝9877 【典例精讲2】（2025秋•新田县期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　） A．133 B．132 C．131 D．130 【典例精讲3】（2025秋•桓台县期末）如图所示的数阵，第9行的所有数之和为（　　） A．343 B．512 C．729 D．989 【变式训练1】（2025秋•海陵区校级月考）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角数阵”，它是承载着丰富思想内涵的数学符号．数阵是由整数的倒数组成的，每行两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第5行第3个数（从左往右数）为（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•江北区校级期中）已知一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，…，将这列数按如图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，﹣8在第二个拐弯处，﹣32在第三个拐弯处，﹣128在第四个拐弯处，…，则第一百个拐弯处的数是　 　 ． 【变式训练3】观察下面由正整数组成的数阵，照此规律，按从上到下、从右到左的顺序，第45行的第4个数是　 　 ． 【变式训练4】如图，正整数按以下数阵规律排列，则下列判断正确的有 　 　 ．（填入正确的判断序号） （1）第⑥个数阵第6行第5列的数为30； （2）第⑥个数阵新增的数和为341； （3）第⑧个数阵第2行所有数和为158； （4）第ⓝ个数阵所有数和为． 【变式训练5】（2025秋•平房区期末）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．那么第12个数对为（　　） A．（157，170） B．（157，169） C．（157，171） D．（133，145） 【变式训练6】（2025秋•新城区月考）如图是一个由50个奇数排成的数阵，若用图中的框去框住四个数，并求出这四个数的和，则这四个数的和可能是（　　） A．114 B．122 C．220 D．222 题型六：表格中的规律 【典例精讲1】（2025秋•神池县期末）某校七年级同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数如下表所示： 每排的人数/人 40 25 20 10 … 排数/排 5 a 10 20 … 则表格中a的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【变式训练1】（2025秋•黄埔区期末）观察图和所给表格回答：当等腰梯形个数为2026时，图形的周长为（　　） 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … A．6080 B．6076 C．6083 D．6081 【变式训练2】（2026•甘谷县二模）由表格规律可知，当m＝10时，b﹣a＝　 　 ． m 1 2 3 4 5 … a 3 5 7 9 11 … b 1 4 9 16 25 … 【变式训练3】（2026•合肥模拟）在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 名位上数字的和差 结论 1210 0+2﹣1﹣1＝0 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 9+5﹣2﹣1＝11 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 8+6﹣0﹣3＝11 11是11的整数倍，3608能被11整除 　8041　 　1　 +0﹣4﹣8＝﹣11 ﹣11是11的倍数，原数能被11整除 （1）根据以上规律，补齐表格中空白部分； （2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； （3）将千位、百位、十位、个位分别是a，b，c，d的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 【变式训练4】（2025秋•成都校级期末）根据表格，回答问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 2x+3 … ﹣1 1 3 5 a … ﹣3x﹣2 … 4 1 ﹣2 ﹣5 b … （1）【初步感知】a＝　 　 ；b＝　 　 ； （2）【归纳规律】表中2x+3的值的变化规律是：x的值每增加1，2x+3的值就增加　 　 ．类似地，﹣3x﹣2的值的变化规律是：　 　 ． （3）【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就增加5：　 　 ；若要求x的值每增加1，代数式的值就减少2，且当x＝0时，代数式的值为﹣6．你能找到这样的满足条件的代数式吗？若能请求出这样的代数式，若不能，请说明理由． 【变式训练5】（2025秋•市中区期末）问题解决策略——归纳 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）． 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个m边形，内部有n个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形．） 【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： 图形：三角形 … 三角形内点的个数 1 2 3 4 … 互不重叠的小三角形个数 3 5 7 a … ①当三角形内点的个数为4时，请补全表格中的图，并填空：a＝　 　 ； ②变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加　 　 个； ③当三角形内点的个数为n时，分割得到的小三角形有　 　 个； 【类比应用】（2）四边形有4个顶点，若内部有1个点，连线后可以把四边形分割成　 　 个小三角形；四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加　 　 个；当四边形内点的个数为n时，分割得到　 　 个小三角形； 【问题解决】（3）结论：m边形内有n个点时，可以分割得　 　 个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题6 整式规律探究问题 题型一：数字（代数式）中的规律 【典例精讲1】（2026•楚雄州二模）按一定规律排列的单项式：a2，3a4，5a6，7a8，…，则第n个单项式是（　　） A．（2n﹣1）a2n B．（2n+1）a2n C．（2n﹣1）a2n+2 D．（2n+1）a2n+2 【分析】分别找出单项式的系数与a的指数的变化规律，即可推出第n个单项式的表达式． 【解答】解：当n＝1时，单项式为a2，系数为1＝2×1﹣1，a的指数为2＝2×1； 当n＝2时，单项式为3a4，系数为3＝2×2﹣1，a的指数为4＝2×2； 当n＝3时，单项式为5a6，系数为5＝2×3﹣1，a的指数为6＝2×3； ⋯⋯ ∴可得第n个单项式中，a的指数为2n，系数为2n﹣1，即第n个单项式为（2n﹣1）a2n． 故选：A． 【典例精讲2】（2026•玉溪模拟）按一定规律排列的多项式：x3﹣y2，x5﹣y4，x7﹣y6，x9﹣y8，…，第n个多项式是（　　） A．x2n﹣1+y2n B．x2n+1﹣y2n C．x2n﹣1﹣yn+1 D．x2n+1﹣yn+1 【分析】观察所给多项式，发现各部分的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 所给所项式含x的部分依次为x3，x5，x7，…， 所以第n个多项式中含x的部分可表示为x2n+1． 所给多项式含y的部分依次为y2，y4，y6，…， 所以第n个多项式中含y的部分可表示为y2n， 所以第n个多项式可表示为x2n+1﹣y2n． 故选：B． 【变式训练1】（2026•金平县模拟）按一定规律排列的代数式：2a，4a，8a，16a，32a，…第n个代数式是（　　） A．2na B．n2a C．2na D． 【分析】观察所给单项式，发现其系数及次数的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 所给单项式的系数依次为2，4，8，16，32，…， 所以第n个单项式的系数可表示为2n； 所给单项式的次数都是1， 所以第n个单项式可表示为2na． 故选：A． 【变式训练2】（2026•徐州二模）观察下列各数：，1，，，…，按此规律，第12个数为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据前4个数的数字变化特点得出规律，再根据规律解答． 【解答】解：先根据前4个数的数字变化特点得出规律： 第1个数为：； 第2个数为：； 第3个数为：； 第4个数为：； …； 第n个数是， ∴第12个数是． 故选：A． 【变式训练3】（2026•班一模）按一定规律排列的单项式：﹣a，2a3，﹣3a5，4a7，﹣5a9，…，第n个单项式是（　　） A．（﹣1）nn B．（﹣1）n+1（n﹣1）a2n+1 C．（﹣1）nna2n﹣1 D．（﹣1）n+1na2n+1 【分析】根据所给单项式，观察其系数及次数的变化，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 所给单项式的系数依次为：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：（﹣1）nn； 所给单项式的次数依次为：1，3，5，7，9，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：2n﹣1， 所以第n个单项式可表示为：（﹣1）nna2n﹣1． 故选：C． 【变式训练4】（2026•楚雄市一模）以下是一组按规律排列的多项式：2x+y2，4x2+y3，8x3+y4，16x4+y5…其中第n个多项式是（　　） A．2x2+yn B．2nxn+yn+1 C．2xn+yn+1 D．2nxn+1yn﹣2 【分析】观察所给多项式，发现各部分的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 多项式中含x的部分系数依次为2，4，8，16，…，次数依次为1，2，3，4，…， 所以第n个多项式中含x的部分为2nxn； 多项式中含y的部分系数都是1，次数依次为2，3，4，5，…， 所以第n个多项式中含y的部分为yn+1， 所以第n个多项式是2nxn+yn+1． 故选：B． 【变式训练5】（2026•丽江模拟）按一定规律排列的一组数据，，，，，，…，则按此规律排列的第n个数是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察所给各数，发现其分子及分母的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为， 所以所给各数的分子依次为1，3，5，7，9，…， 所以第n个数的分子可表示为2n﹣1． 所给各数的分母依次为2，5，10，17，26， 所以第n个数的分母可表示为n2+1， 所以第n个数可表示为． 故选：A． 【变式训练6】（2026春•兰州期中）让我们按以下步骤计算： 第一步：取一个自然数n1＝5，计算得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，计算得a3；… 依此类推，则a2026＝（　　） A．26 B．65 C．122 D．无法计算 【分析】根据题意，依次求出a1，a2，a3，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为a1＝52+1＝26， 所以，，…， 由此可知，这列数从a1开始按26，65，122循环出现． 因为2026÷3＝675余1， 所以a2026＝26． 故选：A． 【变式训练7】（2024秋•深圳校级期末）如表所示每个表格中的四个数都是按相同规律填写的，根据此规律确定a的值为 　175　 ． 【分析】根据所给表格，发现表格中四个数的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由所给表格可知， 0＝8×0，8＝8×（0+1），24＝8×（0+1+2），48＝8×（0+1+2+3），…， 所以第n个表格中左上角的数可表示为：8（0+1+2+3+…+n﹣1）＝4n（n﹣1）． 令4n（n﹣1）＝168， 解得n＝7（舍负）， 所以右上角的168出现在第7个表格中． 因为左上角的数字依次为1，﹣2，3，﹣4，…， 所以第7个表格左上角的数字为7，即m＝7． 因为0＝1﹣1，8＝6﹣（﹣2），24＝27﹣3，48＝44﹣（﹣4），…， 所以168＝a﹣m， 则a＝168+7＝175． 故答案为：175． 题型二：等式中的规律 【典例精讲1】（2026春•深圳月考）观察下列各式： 32﹣12＝8＝8×1 52﹣32＝16＝8×2； 72﹣52＝24＝8×3； 92﹣72＝32＝8×4… 根据以上规律，第n个等式（n为正整数）应为（　　） A．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n B．（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝4n C．（n+2）2﹣n2＝4n+4 D．（2n+3）2﹣（2n+1）2＝8n+8 【分析】本题为规律探究题，先观察等式左边和右边的规律即可得解． 【解答】解：观察等式右边得数的规律：n为正整数时，第n个等式中得数为8n， 观察等式左边底数的规律：n为正整数时，第n个等式中，第一个底数为2n+1，第二个底数为2n﹣1， 则第n个等式为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n． 故选：A． 【典例精讲2】（2025秋•大祥区校级期末）观察下列等式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据以上规律计算42025+42024+42023+…+43+42+4的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】题目中的等式表明，（x﹣1）（xn+xn﹣1+⋯+x+1）＝xn+1﹣1，即多项式求和可转化为xn+1﹣1除以x﹣1．将题目中的求和式42025+42024+⋯+4 与上述规律关联，通过添加并减去常数项1，构造符合规律的形式．直接应用公式验证结果，确保答案正确性． 【解答】解：当x＝4时，有（4﹣1）（42025+42024+4+…4+1）＝42026﹣1， 左边可化简为：3×（42025+42024+⋯+4+1）＝42026﹣1． 因此，完整多项式之和为：． 题目要求的和为42025+42024+⋯+4，即缺少常数项1． 因此：． 将1通分后合并：． 故选：C． 【典例精讲3】（2025秋•洪山区期末）观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（　　） A． B． C． D． 【分析】观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【解答】解：∵两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴一般形式应为分子为x和8﹣x，分母分别为x﹣4和（8﹣x）﹣4＝4﹣x， ∴依照以上各式成立的规律，等式为， 故选：B． 【变式训练1】（2026•辉县市二模）请先观察下列等式，再填空：32﹣12＝4×2，42﹣22＝4×3，52﹣32＝4×4，62﹣42＝4×5，…，通过观察归纳，写出第n个等式是：　（n+2）2﹣n2＝4（n+1）　 （n为正整数）． 【分析】对所给的等式进行整理，不难得出第n个等式为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 【解答】解：∵第1个等式为：32﹣12＝4×2，整理得：（1+2）2﹣12＝4×（1+1）， 第2个等式为：42﹣22＝4×3，整理得：（2+2）2﹣22＝4×（2+1）， 第3个等式为：52﹣32＝4×4，整理得：（3+2）2﹣32＝4×（3+1）， 第4个等式为：62﹣42＝4×5，整理得：（4+2）2﹣42＝4×（4+1）， …， ∴第n个等式为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 【变式训练2】（2025秋•寿阳县期末）观察下列等式： 第1个等式：12﹣02＝1， 第2个等式：22﹣12＝3， 第3个等式：32﹣22＝5， … 按此规律，则第n个等式为n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1　 ． 【分析】观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为12﹣02＝1，22﹣12＝3，32﹣22＝5，…， 所以第n个等式可表示为n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1． 故答案为：n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1． 【变式训练3】（2025秋•秦皇岛期末）观察下列等式： 9﹣1＝8 ① 16﹣4＝12 ② 25﹣9＝16 ③ 36﹣16＝20 ④ … 根据上述规律解决下列问题： （1）写出第⑧个等式：　100﹣64＝36　 ； （2）设n表示正整数，写出第n个等式：　（n+2）2﹣n2＝4（n+1）　 ． 【分析】（1）先分析前几个式子，从中找出规律，再用规律写出第⑧个式子； （2）根据（1）找出的规律用n表示出式子即可． 【解答】解：（1）先分析前几个式子，从中找出规律： 第①个式子为9﹣1＝8，即32﹣12＝2×4， 第②个式子为16﹣4＝12，即42﹣22＝3×4， 第③个式子为25﹣9＝16，即52﹣32＝4×4， 第④个式子为36﹣16＝20，即62﹣42＝5×4， … 第⑧个式子为（8+2）2﹣82＝（8+1）×4，即100﹣64＝36， 故答案为：100﹣64＝36； （2）设n表示正整数，第n个等式为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）， 故答案为：（n+2）2﹣n2＝4（n+1）． 题型三：图形中的规律 【典例精讲1】（2026•沙坪坝区校级二模）下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案①需8根火柴棒，图案②需15根火柴棒，图案③需22根火柴棒…按此规律，图案⑧需要火柴棒的根数为（　　） A．56 B．57 C．63 D．64 【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 图案①需要的火柴棒根数为：8＝1×7+1， 图案②需要的火柴棒根数为：15＝2×7+1， 图案③需要的火柴棒根数为：22＝3×7+1， …， 所以图案n需要的火柴棒根数为7n+1． 当n＝8时， 图案⑧需要的火柴棒根数为：7×8+1＝57． 故选：B． 【典例精讲2】（2026•江北区校级模拟）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了8根木棍，第②个图案用了11根木棍，第③个图案用了14根木棍，第④个图案用了17根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用了木棍数量是（　　） A．26根 B．29根 C．31根 D．32根 【分析】根据所给图形，依次求出所需木棍的数量，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第①个图案用的木棍数量为：8＝1×3+5； 第②个图案用的木棍数量为：11＝2×3+5； 第③个图案用的木棍数量为：14＝3×3+5； …， 所以第n个图案用的木棍数量为3n+5． 当n＝8时， 第⑧个图案用的木棍数量为：3×8+5＝29． 故选：B． 【典例精讲3】（2026春•万州区月考）如图，是由同样大小的星星按照一定规律摆放的，第1个图有4个星星，第2个图有8个星星，第3个图形有13个星星，…第7个图形的星星个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．64 【分析】观察所给图形，依次求出图形中星星的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图形中星星的个数为：4＝1+1+2， 第2个图形中星星的个数为：8＝2+1+2+3， 第3个图形中星星的个数为：13＝3+1+2+3+4， …， 所以第n个图形中星星的个数为：n+1+2+3+…+n+1． 当n＝7时， 第7个图形中星星的个数为：． 故选：B． 【变式训练1】（2026•沙坪坝区校级三模）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有3个圆点，第②个图中有5个圆点，第③个图中有7个圆点，第④个图中有9个圆点，…，按照这一规律，则第⑧个图中圆点的个数是（　　） A．15 B．17 C．19 D．21 【分析】根据所给图形，依次求出图形中圆点的个数，发现规律即可解集问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中圆点的个数为：3＝1×2+1， 第②个图形中圆点的个数为：5＝2×2+1， 第③个图形中圆点的个数为：7＝3×2+1， …， 所以第n个图形中圆点的个数为2n+1． 当n＝8时， 第⑧个图形中圆点的个数为2×8+1＝17． 故选：B． 【变式训练2】（2026•北碚区校级模拟）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有5个圆点，第②个图中有7个圆点，第③个图中有9个圆点，…按照这一规律，则第⑨个图中圆点的个数是（　　） A．17 B．19 C．21 D．23 【分析】观察所给图形，发现圆点个数的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图中圆点的个数是：5＝1×2+3； 第②个图中圆点的个数是：7＝2×2+3； 第③个图中圆点的个数是：9＝3×2+3； …， 所以第n个图中圆点的个数是2n+3． 当n＝9时， 第⑨个图中圆点的个数是：2×9+3＝21． 故选：C． 【变式训练3】（2026•铜梁区校级模拟）如图，某非遗服饰的银饰花边是由若干个“十字银纹”基本图形按规律排列而成的图案：第1个图案由4个基本图形组成；第2个图案由7个基本图形组成；第3个图案由10个基本图形组成，…，按此规律，第8个图案中基本图形的个数为（　　） A．22 B．25 C．28 D．31 【分析】根据所给图形，依次求出图案中基本图形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第1个图案中基本图形的个数为：4＝1×3+1， 第2个图案中基本图形的个数为：7＝2×3+1， 第3个图案中基本图形的个数为：10＝3×3+1， …， 所以第n个图案中基本图形的个数为3n+1． 当n＝8时， 第8个图案中基本图形的个数为：3×8+1＝25． 故选：B． 【变式训练4】（2026•松北区二模）如图，某品牌的自行车链条每节长为2.5cm，每两节链条连接时，重叠部分的圆直径为0.8cm，按照这种连接方式，10节链条的总长度为（　　）cm． A．25 B．0.8 C．17.8 D．25.8 【分析】根据题意，依次求出链条的长度，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 1节链条的长度为：2.5＝1×1.7+0.8， 2节链条的长度为：4.2＝2×1.7+0.8， 3节链条的长度为：5.9＝3×1.7+0.8， …， 所以n节链条的长度为1.7n+0.8． 当n＝10时， 10节链条的长度为：1.7×10+0.8＝17.8（cm）． 故选：C． 【变式训练5】（2026•南岗区三模）学校准备在植物园周围增设由大小相同的等边三角形组成的栅栏，当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分共7个镂空的等边三角形（如图1）；当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分共13个镂空的等边三角形（如图2）；当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分共19个镂空的等边三角形（如图3）…根据以上规律，当栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为（　　） A．30 B．36 C．37 D．43 【分析】根据所给图形，依次求出镂空三角形的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 当栅栏顶部是1个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为：7＝1×6+1， 当栅栏顶部是2个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为：13＝2×6+1， 当栅栏顶部是3个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为：19＝3×6+1， …， 所以当栅栏顶部是n个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为6n+1． 当n＝6时， 栅栏顶部是6个灰色等边三角形时，其余部分镂空的等边三角形的个数为：6×6+1＝37． 故选：C． 【变式训练6】（2026•卢氏县二模）如图1所示的铜钱纹是中国传统经典的吉祥几何纹样，其原型是古代外圆内方的方孔圆钱，兼具“天圆地方”的哲学内涵与招财纳福的美好寓意．如图2是一组有规律的铜钱纹图案，它由若干个大小相同且相互交叠的圆组成，其中第1个图案中有2个圆，第2个图案中有5个圆，第3个图案中有8个圆…依此规律，第200个图案中圆的个数为（　　） A．596 B．598 C．599 D．600 【分析】根据题意，依次求出图案中圆的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1个图案中圆的个数为：2＝1×3﹣1， 第2个图案中圆的个数为：5＝2×3﹣1， 第3个图案中圆的个数为：8＝3×3﹣1， …， 所以第n个图案中圆的个数为3n﹣1． 当n＝200时， 第200个图案中圆的个数为：3×200﹣1＝599． 故选：C． 【变式训练7】（2026春•单元）某数学兴趣小组开展以“四边形内n个点与各顶点的连线可把四边形分割成不重叠三角形的个数”为主题的探究活动．指导教师将小组的发现整理成表格，部分信息如下： 示意图 n 1 2 3 4 不重叠三角形个数 4 6 8 　10　 （1）把上面的表格补充完整． （2）四边形内n个点与各顶点的连线把四边形分割成不重叠三角形的个数可用含n的代数式表示为　2n+2　 ． （3）兴趣小组灵活运用数学知识，探究归纳出了m（m≥3）边形的内部的n个点与各顶点的连线把m边形分割成不重叠三角形的个数的一般规律，分析过程如下： ①设m边形的内部的n个点与各顶点的连线把m边形分割成不重叠的x个三角形； ②三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180x°； ③m边形的内角和为　（m﹣2）×180　 °； ④m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数可以表示为360n°； ⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，所以这x个三角形的总内角和可以看成m边形的内角和加上n个周角的和，即　（m﹣2）×180°+360n°　 ； ⑥综上可得，x＝m+2n﹣2　 ． 阅读以上内容，请在③⑤⑥的横线上填写所缺内容． 【分析】（1）根据所给图形，得出四边形内点的个数与被分成的三角形个数之间的关系即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律即可解决问题； （3）根据题意，将所给分析过程补充完整即可． 【解答】解：（1）由题知， 四边形内1个点时，四边形被分割成不重叠三角形的个数为：4＝1×2+2， 四边形内2个点时，四边形被分割成不重叠三角形的个数为：6＝2×2+2， 四边形内3个点时，四边形被分割成不重叠三角形的个数为：8＝3×2+2， …， 所以四边形内n个点时，四边形被分割成不重叠三角形的个数为2n+2． 当n＝4时， 2n+2＝2×4+2＝10， 故答案为：10； （2）由（1）知， 四边形内n个点与各顶点的连线把四边形分割成不重叠三角形的个数可用含n的代数式表示为2n+2． 故答案为：2n+2； （3）由题知， ①设m边形的内部的n个点与各顶点的连线把m边形分割成不重叠的x个三角形； ②三角形的内角和为180°，x个三角形的总内角和可以表示为180x°； ③m边形的内角和为（m﹣2）×180°， ④m边形内部的每个点都对应一个周角，n个点对应n个周角，其度数可以表示为360n°； ⑤这x个三角形正好拼成了内部有n个点的m边形，所以这x个三角形的总内角和可以看成m边形的内角和加上n个周角的和，即（m﹣2）×180°+360n°， ⑥综上可得，x＝m+2n﹣2． 故答案为：（m﹣2）×180；（m﹣2）×180°+360n°＝180x°；m+2n﹣2． 题型四：与化学相关的规律 【典例精讲1】（2026•重庆）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物，如图是这类物质的分子结构式，其中C，H，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4个氢原子，第②个图中有6个氢原子，第③个图中有8个氢原子，第④个图中有10个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是（　　） A．14 B．16 C．18 D．20 【分析】根据所给图形，依次求出图中氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图中氢原子的个数为：4＝1×2+2， 第②个图中氢原子的个数为：6＝2×2+2， 第③个图中氢原子的个数为：8＝3×2+2， …， 第n个图中氢原子的个数为2n+2． 当n＝9时， 第⑨个图中氢原子的个数为：2×9+2＝20． 故选：D． 【典例精讲2】（2026•厦门模拟）数学方法在跨学科学习中具有较大作用．某小组研究化学中烷烃（一类只含C、H元素的有机物）的结构，已知部分烷烃的结构简式如表所示． 分子中C原子的数量 名称 结构简式 1 甲烷 CH4 2 乙烷 CH3CH3 3 丙烷 CH3CH2CH3 4 丁烷 CH3CH2CH2CH3 5 戊烷 CH3CH2CH2CH2CH3 6 己烷 CH3CH2CH2CH2CH2CH3 请寻找规律，计算一个二十二烷分子（有22个C原子）具有的H原子的个数是（　　） A．44 B．46 C．48 D．50 【分析】根据题意，依次求出氢原子的个数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 当C原子个数为1时，H原子的个数为：4＝1×2+2， 当C原子个数为2时，H原子的个数为：6＝2×2+2， 当C原子个数为3时，H原子的个数为：8＝3×2+2， …， 所以当C原子个数为n时，H原子的个数为2n+2． 当n＝22时， 一个二十二烷分子（有22个C原子）具有的H原子的个数是：2×22+2＝46． 故选：B． 【变式训练1】（2026•呼兰区二模）苯是一种有机化合物，可以合成一系列衍生物．如图是用小木棒摆放的苯及其衍生物的结构式，第①个图形需要9根小木棒，第②个图形需要17根，第③个图形需要25根，…，按此规律，第⑥个图形需要小木棒的根数是（　　） A．53 B．51 C．49 D．47 【分析】根据所给图形，依次求出需要小木棒的根数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 第①个图形中需要的小木棒根数为：9＝1×8+1， 第②个图形中需要的小木棒根数为：17＝2×8+1， 第③个图形中需要的小木棒根数为：25＝3×8+1， …， 所以第④个图形中需要的小木棒根数为8n+1． 当n＝6时， 第⑥个图形中需要的小木棒根数为：8×6+1＝49． 故选：C． 【变式训练2】（2026•道外区二模）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”．石墨烯材料可能成为将来制造芯片的关键材料．下面各图是二维石墨烯的晶格结构，图中的黑色圆点是石墨烯二维晶格结构中的碳原子，第1个图形中有14个碳原子，第2个图形中有18个碳原子，第3个图形中有22个碳原子，按这样的规律，第11个图形中，碳原子的个数为（　　） A．44 B．46 C．50 D．54 【分析】罗列前3个图形中碳原子的个数，发现规律，利用规律解答问题即可． 【解答】解：第1个图形中有14个碳原子， 第2个图形中有18个碳原子， 第3个图形中有22个碳原子， …， 发现第n个图形中，碳原子的个数为（4n+10）个．图形中有14个碳原子， 第2个图形中有18个碳原子， 第3个图形中有22个碳原子， …， 发现第n个图形中，碳原子的个数为（4n+10）个． 当n＝11时，4×11+10＝54， 故选：D． 【变式训练3】（2026•甘肃校级模拟）我们知道有机物是生命产生的物质基础，所有的生命体都含有有机物．有机物主要是由碳元素、氢元素组成．烷烃是一类最基本的有机物，从结构上可看作其他各类有机物的母体，而球棍模型能够直观地展示各个原子之间的化学键连接情况．如图，这是几种常见烷烃的球棍模型，依此规律，C12Hx中的x= ． 【分析】观察前面四幅图可得相关的个数规律，据此规律求解即可． 【解答】解：根据题意，可得规律如下：当n=12时，2n+2=26， 故C12Hx中的x=26． 故答案为：26． 【变式训练4】（2025春•安徽校级期中）有机物是生命产生的物质基础，主要由碳、氢元素组成，烷烃是最基本的有机物，如图是烷烃前4种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子，第1种：如图1，有1个碳原子，4个氢原子；第2种：如图2，有2个碳原子，6个氢原子；第3种：如图3，有3个碳原子，8个氢原子；第4种：如图4，有4个碳原子，10个氢原子；… （1）按照这一规律，图n中氢原子的个数为 （用含n的代数式表示）； （2）按照这一规律，烷烃中是否存在某种化合物的分子结构模型图中有2035个氢原子？请说明理由． 【分析】（1）观察前面四幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可； （2）根据（1）所求得到方程，解方程看方程是否有正整数解，即可得到结论． 【解答】解：（1）观察前面四幅图可知： 第1种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：4=1×2+2， 第2种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：6=2×2+2， 第3种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：8=3×2+2， 第4种化合物的分子模型中，氢原子的个数为：10=4×2+2， ⋯⋯， ∴第n种化合物的分子模型中，氢原子的个数为（2n+2）个； 故答案为：（2n+2）； （2）不存在，理由如下： 令2n+2=2035， 解得：， ∵n为正整数， ∴不存在某种化合物的分子结构模型中有2035个氢原子． 题型五：数阵中的规律 【典例精讲1】（2026•泰州模拟）我国宋代数学家杨辉在《详解九章算法》中给出了著名的“杨辉三角”．观察下列按规律排列的算式： … 按照此规律，下一个等式是（　　） A．1234×8+4＝9876 B．1234×8+4＝9877 C．1235×8+4＝9876 D．1234×8+3＝9877 【分析】观察已知三个等式，总结各部分的变化规律，即可推导出下一个等式． 【解答】解：第1个等式：1×8+1＝9， 第2个等式：12×8+2＝98， 第3个等式：123×8+3＝987， … 由以上等式可知，规律为：第n个等式中，左边第一个乘数是从1开始的连续n个正整数组成的数，加号后的加数是n，结果是从9开始依次递减1的连续n个正整数组成的数． ∴下一个等式等式为1234×8+4＝9876． 故选：A． 【典例精讲2】（2025秋•新田县期末）如图所示的是一个按某种规律排列的数阵，根据规律，自然数2024应该排在从上向下数的第m行，是该行中的从左向右数的第n个数，那么m+n的值是（　　） A．133 B．132 C．131 D．130 【分析】根据所给排列方式，得出第a行有（2a﹣1）个数及第a行的最右边一个数为a2，据此可解决问题． 【解答】解：由所给数阵可知， 第a行的最右边一个数为a2，且第a行有（2a﹣1）个数． 因为452＝2025，2×45﹣1＝89， 所以数2025在第45行，是该行中的从左向右数的第89个数， 所以数2024在第45行，是该行中的从左向右数的第88个数， 则m＝45，n＝88， 所以m+n＝45+88＝133． 故选：A． 【典例精讲3】（2025秋•桓台县期末）如图所示的数阵，第9行的所有数之和为（　　） A．343 B．512 C．729 D．989 【分析】根据题意，依次求出每行数字之和，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 第1行的所有数之和为：1＝13， 第2行的所有数之和为：8＝23， 第3行的所有数之和为：27＝33， 第4行的所有数之和为：64＝43， …， 所以第n行的所有数之和为n3． 当n＝9时， 第9行的所有数之和为：93＝729． 故选：C． 【变式训练1】（2025秋•海陵区校级月考）如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨三角数阵”，它是承载着丰富思想内涵的数学符号．数阵是由整数的倒数组成的，每行两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第5行第3个数（从左往右数）为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据给出的数据可得：第n行的第一个数等于，第n行的第二个数等于，根据每个数是它下一行左右相邻两数的和，即可计算得出答案． 【解答】解：∵第n行有n个数，且两端的数均为，，每个数是它下一行左右相邻两数的和， ∴第4，5行从左往右第1个数分别为，； 第4，5行从左往右第2个数分别为，； 第5行从左往右第3个数为． 故选：A． 【变式训练2】（2025秋•江北区校级期中）已知一列数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，﹣128，…，将这列数按如图所示的规律排成一个数阵，其中，4在第一个拐弯处，﹣8在第二个拐弯处，﹣32在第三个拐弯处，﹣128在第四个拐弯处，…，则第一百个拐弯处的数是 　（﹣2）2551 ． 【分析】由题中所给的数发现，箭头后一个数为前一个数的2倍，再确定第一百个拐弯处的数为（﹣2）13+4+4+5+5+6+6+…+50+50＝（﹣2）2551即可． 【解答】解：第一个拐弯处的数是4＝（﹣2）2， 第二个拐弯处的数是﹣8＝（﹣2）3， 第三个拐弯处的数是﹣32＝（﹣2）5， 第四个拐弯处的数是﹣128＝（﹣2）7， 第五个拐弯处的数是1024＝（﹣2）10， 第六个拐弯处的数是1024＝（﹣2）13， … 第一百个拐弯处的数是（﹣2）13+4+4+5+5+6+6+…+50+50＝（﹣2）2551， 故答案为：（﹣2）2551． 【变式训练3】观察下面由正整数组成的数阵，照此规律，按从上到下、从右到左的顺序，第45行的第4个数是　2022　 ． 【分析】观察数阵可知第n行最右边的数是n2，按此规律计算第45行从右到左第4个数即可． 【解答】解：观察数阵可知第n行最右边的数是n2， ∴第45行最右边第1个数为452＝2025， ∴第45行从右到左第4个数为2025﹣3＝2022； 故答案围殴：2022． 【变式训练4】如图，正整数按以下数阵规律排列，则下列判断正确的有 　（2）（3）　 ．（填入正确的判断序号） （1）第⑥个数阵第6行第5列的数为30； （2）第⑥个数阵新增的数和为341； （3）第⑧个数阵第2行所有数和为158； （4）第ⓝ个数阵所有数和为． 【分析】根据所给数阵，发现正整数的排列及变化规律，再依次进行判断即可． 【解答】解：由所给数阵可知， 第ⓝ个数阵有n2个数，且第n行第1列数为n2， 所以第⑥个数阵第6行第1列数为36． 又因为第n行从左起第1个数开始，有连续n个数依次减1， 所以36﹣5+1＝32， 所以第⑥个数阵第6行第5列的数为32． 故（1）错误． 第⑤个数阵所有数的和为：1+2+3+…+25， 第⑥个数阵所有数的和为：1+2+3+…+36， 则666﹣325＝341， 即第⑥个数阵新增的数和为341． 故（2）正确． 第⑧个数阵的第1行的8个数分别为：1，12+1＝2，22+1＝5，32+1＝10，42+1＝17，52+1＝26，62+1＝37，72+1＝50． 因为第2行的数比第1行相应位置的数大1（第1行除外）， 所以第⑧个数阵的第2行的8个数分别为：4，3，6，11，18，27，38，51， 则第⑧个数阵第2行所有数和为：4+3+6+11+18+27+38+51＝158． 故（3）正确． 当n＝1时，， 而第①个数阵所有数的和为1，且1， 故（4）错误． 故答案为：（2）（3）． 【变式训练5】（2025秋•平房区期末）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单另把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．那么第12个数对为（　　） A．（157，170） B．（157，169） C．（157，171） D．（133，145） 【分析】根据所给数对，发现其中两个数的变化规律即可解决问题． 【解答】解：由题知， 数对中的第1个数依次为3，7，13，21，31，…， 所以第n个数对中的第1个数可表示为：n（n+1）+1； 数对中的第2个数依次为5，10，17，26，37，…， 所以第n个数对中的第1个数可表示为：（n+1）2+1， 当n＝12时， n（n+1）+1＝12×13+1＝157，（n+1）2+1＝132+1＝170， 所以第12个数对为（157，170）． 故选：A． 【变式训练6】（2025秋•新城区月考）如图是一个由50个奇数排成的数阵，若用图中的框去框住四个数，并求出这四个数的和，则这四个数的和可能是（　　） A．114 B．122 C．220 D．222 【分析】根据所给数阵，发现数阵中各数之间的关系，据此得出所框数和的特征即可解决问题． 【解答】解：由所给各数可知， 上下两数相差10，左右两数相差2， 令所框四个数中的最上面的数为a， 则其余各数为a+8，a+10，a+12， 所以这四个数的和为：a+a+8+a+10+a+12＝4a+30． 由4a+30＝114得， a＝21， 因为21在最左侧， 所以它左下方没有数了， 故A选项不符合题意； 由4a+30＝122得， a＝23， 因为23的左下方和右下方都有数， 所以B选项符合题意； 由4a+30＝220得， a， 因为不是奇数， 故C选项不符合题意； 由4a+30＝222得， a＝48， 因为48不是奇数， 故D选项不符合题意． 故选：B． 题型六：表格中的规律 【典例精讲1】（2025秋•神池县期末）某校七年级同学参加队列操表演，按每排人数相等的规定排列，每排的人数与排数如下表所示： 每排的人数/人 40 25 20 10 … 排数/排 5 a 10 20 … 则表格中a的值为（　　） A．9 B．8 C．7 D．6 【分析】根据所给表格，得出每排的人数与排数的积为定值200，据此进行计算即可． 【解答】解：由所给表格可知， 40×5＝20×10＝10×20＝200， 所以a． 故选：B． 【变式训练1】（2025秋•黄埔区期末）观察图和所给表格回答：当等腰梯形个数为2026时，图形的周长为（　　） 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … A．6080 B．6076 C．6083 D．6081 【分析】依题意可得梯形个数与图形周长的关系为：周长＝3n+2，将n＝2026代入计算即可． 【解答】解：依题意可得：周长＝3n+2， 当n＝2026时，周长＝3n+2＝3×2026+2＝6080． 故选：A． 【变式训练2】（2026•甘谷县二模）由表格规律可知，当m＝10时，b﹣a＝　79　 ． m 1 2 3 4 5 … a 3 5 7 9 11 … b 1 4 9 16 25 … 【分析】先根据表格数据分别得到a、b关于m的变化规律，再代入m＝10计算b﹣a的值． 【解答】解：对于b，当m＝1时，b＝1＝12， 当m＝2时，b＝4＝22， 当m＝3时，b＝9＝32， 归纳可得规律：b＝m2． 对于a，当m＝1时，a＝3＝2×1+1， 当m＝2时，a＝5＝2×2+1， 当m＝3时，a＝7＝2×3+1， 归纳可得规律：a＝2m+1． 当m＝10时，a＝2×10+1＝21，b＝102＝100， ∴b﹣a＝100﹣21＝79． 故答案为：79． 【变式训练3】（2026•合肥模拟）在数学活动课中，某兴趣小组观察能被11整除的数时，发现以下规律： 原数 名位上数字的和差 结论 1210 0+2﹣1﹣1＝0 0是11的整数倍，1210能被11整除 1529 9+5﹣2﹣1＝11 11是11的整数倍，1529能被11整除 3608 8+6﹣0﹣3＝11 11是11的整数倍，3608能被11整除 　8041　 　1　 +0﹣4﹣8＝﹣11 ﹣11是11的倍数，原数能被11整除 （1）根据以上规律，补齐表格中空白部分； （2）请利用上述规律判断2026是否能被11整除，请说明理由； （3）将千位、百位、十位、个位分别是a，b，c，d的四位数用表示，请叙述能被11整除的四位数的特征，并证明． 【分析】（1）根据所给表格，进行计算即可； （2）根据发现的规律进行计算即可； （3）根据题意，进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为﹣11﹣0﹣（﹣4）﹣（﹣8）＝1， 所以这个数的个位上的数字为1， 所以原数为8041． 故答案为：8041，1； （2）不能，理由如下： 因为6+0﹣2﹣2＝2， 2不是11的倍数， 所以2026不能被11整除； （3）当（﹣a+b﹣c+d）能被11整除时，原数能被11整除，理由如下： 1000a+100b+10c+d＝（1001﹣1）a+（99+1）b+（11﹣1）c+d＝（1001a+99b+11c）+（﹣a+b﹣c+d）＝11×91a+11×9b+11c+（﹣a+b﹣c+d）， 因为11×91a+11×9b+11c能被11整除， 所以当（﹣a+b﹣c+d）能被11整除时，原数能被11整除． 【变式训练4】（2025秋•成都校级期末）根据表格，回答问题： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … 2x+3 … ﹣1 1 3 5 a … ﹣3x﹣2 … 4 1 ﹣2 ﹣5 b … （1）【初步感知】a＝　7　 ；b＝　﹣8　 ； （2）【归纳规律】表中2x+3的值的变化规律是：x的值每增加1，2x+3的值就增加　2　 ．类似地，﹣3x﹣2的值的变化规律是：x的值每增加1，﹣3x﹣2的值就减少3　 ． （3）【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就增加5：　5x ；若要求x的值每增加1，代数式的值就减少2，且当x＝0时，代数式的值为﹣6．你能找到这样的满足条件的代数式吗？若能请求出这样的代数式，若不能，请说明理由． 【分析】（1）把对应的x值代入可得a，b的值； （2）仿照题目中的描述，语言叙述（1）中的规律即可； （3）根据x的值每增加1，代数式的值就增加5，可得解，第二个代数式，设代数式为：﹣2x+b，根据当x＝0时，代数式的值为﹣6，求得：b＝﹣6，据此即可求解． 【解答】解：（1）把x＝2代入2x+3得，2×2+3＝7，即a＝7； 把x＝2代入﹣3x﹣2得，﹣3×2﹣2＝﹣8，即b＝﹣8； 故答案为：7，﹣8； （2）根据表中当x取﹣2，﹣1，0，1，2时，对应的2x+3的值为﹣1，1，3，5，7，可知， x每增加1，2x+3的值就增加2； 同理，﹣3x﹣2的值的变化规律是：x每增加1，﹣3x﹣2的值就减少3； 故答案为：2； （3）∵x的值每增加1，代数式的值就增加5， ∴代数式为：5x； 若要求x的值每增加1，代数式的值就减少2， ∴设代数式为：﹣2x+b， ∵当x＝0时，代数式的值为﹣6， ∴﹣2x+b＝﹣2×0+b＝﹣6， ∴b＝﹣6， ∴这个代数式可以为：﹣2x﹣6， ∴能找到这样的满足条件的代数式，这样的代数式为﹣2x﹣6， 故答案为：5x，﹣2x﹣6． 【变式训练5】（2025秋•市中区期末）问题解决策略——归纳 “低多边形风格”是一种数字艺术设计风格．它将整个区域分割成若干个三角形，通过把相邻三角形涂上不同颜色，产生立体及光影的效果，随着三角形数量的增加，效果更为斑斓绚丽（如图）． 【数学问题】某数学兴趣小组受此启发提出了如下问题：一个m边形，内部有n个点，可把原多边形分割成多少个互不重叠的小三角形？（分割方法：在多边形内取一定数量的点，连同多边形的顶点，逐步连接这些点，连线不相交，使多边形内部都变成三角形．） 【问题探究】（1）为了解决上面的问题，我们先从简单和具体的情形入手： 图形：三角形 … 三角形内点的个数 1 2 3 4 … 互不重叠的小三角形个数 3 5 7 a … ①当三角形内点的个数为4时，请补全表格中的图，并填空：a＝　9　 ； ②变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加　2　 个； ③当三角形内点的个数为n时，分割得到的小三角形有　（2n+1）　 个； 【类比应用】（2）四边形有4个顶点，若内部有1个点，连线后可以把四边形分割成　4　 个小三角形；四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加　2　 个；当四边形内点的个数为n时，分割得到　（2n+2）　 个小三角形； 【问题解决】（3）结论：m边形内有n个点时，可以分割得　（m+2n﹣2）　 个小三角形，请仿照（2）写出此结论的探索过程． 【分析】（1）根据所给图形，得出三角形内点的个数与互不重叠的小三角形个数之间的关系即可解决问题； （2）根据题意，得出四边形内点的个数与分割所得三角形个数之间的关系即可解决问题； （3）结合上面发现规律的过程进行探索即可． 【解答】解：（1）①由题知， 当三角形内点的个数为1时，分割得到的小三角形个数为：3＝1×2+1； 当三角形内点的个数为2时，分割得到的小三角形个数为：5＝3×2+1； 当三角形内点的个数为3时，分割得到的小三角形个数为：7＝3×2+1； 当三角形内点的个数为4时，分割得到的小三角形个数为：9＝4×2+1； …， 所以当三角形内点的个数为n时，分割得到的小三角形个数为2n+1， 所以a的值为9． 故答案为：9； ②由上述过程可知， 变化规律是：三角形内的点每增加1个，小三角形增加2个． 故答案为：2； ③由①知， 当三角形内点的个数为n时，分割得到的小三角形有（2n+1）个． 故答案为：（2n+1）； （2）由题知， 当四边形内点的个数为1时，分割得到的小三角形个数为：4＝1×2+2； 当四边形内点的个数为2时，分割得到的小三角形个数为：6＝3×2+2； 当四边形内点的个数为3时，分割得到的小三角形个数为：8＝3×2+2； …， 所以当四边形内点的个数为n时，分割得到的小三角形个数为2n+2， 则四边形内部每增加1个点，分割得到的小三角形增加2个． 故答案为：4，2，（2n+2）； （3）由上述过程可知， 三角形内部有1个点时，分割得到的三角形个数为：3＝1×2+1； 四边形内部有1个点时，分割得到的三角形个数为：4＝1×2+2； 五边形内部有1个点时，分割得到的三角形个数为：5＝1×2+3； …， 所以m边形形内部有1个点时，分割得到的三角形个数为1×2+m﹣2＝m； m边形形内部有2个点时，分割得到的三角形个数为m+2， m边形形内部有3个点时，分割得到的三角形个数为m+4， m边形形内部有4个点时，分割得到的三角形个数为m+6， …， 所以m边形形内部有n个点时，分割得到的三角形个数为m+2n﹣2． 故答案为：（m+2n﹣2）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $