第一章 勾股定理全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新八年级数学上册新教材北师大版

"**基本信息** \n北师大版初中数学勾股定理单元自测卷，以《九章算术》“引葭赴岸”、赵爽弦图等文化素材及梯子滑动、旗杆折断等生活情境为载体，覆盖勾股定理应用、勾股数等核心知识，适配暑假复习，培养数学眼光、思维与语言。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|选择题|10/30|勾股定理应用、图形折叠、网格问题|第1题古算题体现文化传承，第5题勾股树规律培养创新意识|\n|填空题|5/15|勾股数规律、折叠问题、方程应用|第11题表格分析发展抽象能力，第13题高的方程应用体现模型意识|\n|解答题|9/75|作图、实际应用、综合证明|第24题赵爽弦图面积法证明勾股定理发展推理能力，第21题物理实验体现应用意识|"

第一章 勾股定理（单元自测） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 2．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 3．在中，，则三边长（从小到大）可能的比是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 5．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 6．如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 8．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 9．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 12．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 13．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具．如图，是锐角的高．当，，时，设的长为x，则可列方程为____________． 14．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 15．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（6分）如图是由每个边长都为1的小正方形组成的网格，线段AB的两个端点都是格点（正方形的顶点），请画出三个格点（点C是格点），使满足下列条件：（1） 是直角三角形；（2）三个三角形都不全等． 17．（6分）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端也沿墙下滑吗？ 18．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． （1）求旗杆从距地面多高处折断； （2）工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 19．（8分）在四边形中，，，，，， （1）求的长 （2）判断与是否也垂直，并说明理由． 20．（8分）如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 21．（8分）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 22．（10分）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 （1）若，，，求证：； 【问题解决】 （2）如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 23．（10分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 24．（11分）阅读与思考：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． （1）已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． （2）如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 勾股定理（单元自测） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何”．其中一丈为十尺，其意思是有一正方形水池边长为一丈，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐平，问水有多深，该植物有多长？这个问题中，池水的深度是（　　）． A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】本题将实际问题转化为直角三角形模型，利用勾股定理列方程即可求解水深． 【详解】解：∵水池边长为丈，丈尺，葭生长在池中央， ∴池中心到岸边的水平距离为尺， 设池水深度为尺，则葭长为尺，引葭到岸边后，水深、池中心到岸边的水平距离、葭长构成直角三角形，葭长为斜边， 根据勾股定理可得：， 展开得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：， ∴池水深度为尺． 故选：C． 2．两艘轮船从同一港口同时出发，甲船时速40海里，乙船时速30海里，两个小时后两船相距100海里，已知甲船的航向为北偏东，则乙船的航向（     ） A．南偏西 B．北偏西 C．南偏东或北偏西 D．南偏西或西偏北 【答案】C 【分析】先计算两船航行2小时后的路程，利用勾股定理逆定理判断两船航行方向互相垂直，再结合甲船的方位角分情况得到乙船的航向即可． 【详解】解：由题意得，两船航行2小时后，甲船行驶路程为海里，乙船行驶路程为海里， ∵， ∴ 由勾股定理逆定理可得，甲乙两船的航行方向夹角为， 已知甲船航向为北偏东，计算得，分两种情况： 乙船航行方向为北偏西或乙船航行方向为南偏东； 因此乙船的航向为南偏东或北偏西． 故选：C． 3．在中，，则三边长（从小到大）可能的比是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】验证选项中两较短边的平方和是否等于最长边的平方，即可得到正确结果 【详解】解：∵在中，， ∴由勾股定理可得，两较短边的平方和等于最长边的平方. 设三边长分别为，公因子可约去，只需验证比例系数满足的平方关系： A选项：，，，不满足； B选项：，，，不满足； C选项：，满足勾股定理，符合要求； D选项：，，，不满足. 故选：C． 4．如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（    ） A．30 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】连接，形成两个三角形，分别利用勾股定理和逆定理求得为直角三角形，再利用四边形面积等于两个直角三角形的面积差即可得． 【详解】解：如图所示，连接， ， ， ，，， ， ， ． 故选：C． 5．勾股树是一个可以无限生长的树形图形，它既展示了数学中的精确与秩序，还蕴含了自然界的生长与繁衍之美．如图是勾股树及它的形成过程，其中第1个图形是正方形，第2个图形是以正方形的一边为斜边在其外部构造一个直角三角形，再以这个直角三角形的两条直角边为边长，分别向外生成两个新的正方形，重复上述步骤得到第3个图形，……，则第2026个图形中正方形的个数为（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题图可知，第1个图形有1个正方形， 第2个图形中共有个正方形， 第3个图形中共有个正方形， 第4个图形中共有个正方形， 第5个图形中共有个正方形， …… 第2026个图形中共有个正方形． 故选：C． 6．如图，在长方形纸片中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，点落在点的位置，折痕为，则的面积为（    ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【分析】由折叠可知，设，则，利用勾股定理建立方程求出的长，进而计算三角形面积． 【详解】解：由折叠的性质可知， 设，则， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 即， ． 故选：B． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式、勾股定理、勾股定理的逆定理计算，判断即可． 【详解】解：A、，正确，不符合题意； B、，，， ， ，正确，不符合题意； C、，结论错误，符合题意； D、设点到直线的距离为， ， ， 则， 解得，即点到直线的距离是2，正确，不符合题意． 故选：C． 8．如图，在中，，以，，为边向外作正方形、正方形、正方形，它们的面积分别记为，，，点N在直线上，连接，．若，则的面积为（     ） A．3 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，根据正方形的性质得出，根据，求出， 根据三角形面积公式求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形、正方形、正方形的面积分别记为，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵正方形中，，， ∴． 故选：B． 9．我国汉代的数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”，是一种用面积证明勾股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则，据此可判断A；小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则，据此可判断B；C选项中的图形不能证明勾股定理；中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则，据此可判断D． 【详解】解：A、大正方形的边长为，则大正方形面积等于，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，则大正方形的面积等于， ， ， ， 故该选项能证明勾股定理，不符合题意； B、小正方形的边长为，则小正方形的面积等于，小正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形的面积，则小正方形的面积等于， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意； C、选项中的图形不能证明勾股定理，符合题意； D、中间等腰直角三角形的面积为，中间等腰直角三角形的面积又等于梯形面积减去个直角三角形面积，则中间等腰直角三角形的面积为， ， ， ，故该选项能证明勾股定理，不符合题意． 故选：C． 10．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 故答案为：6560． 12．如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】/ 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 13．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具．如图，是锐角的高．当，，时，设的长为x，则可列方程为____________． 【答案】 【分析】根据题意，在和中，利用勾股定理分别表示出，利用公共边建立等量关系即可列出方程． 【详解】解：∵是的高 ∴ 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．如图，棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，在棱柱下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的食物，需要爬行的最短路程是，则的值为______． 【答案】 【分析】将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可． 【详解】解：棱柱展开前面与右边如图所示， ∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点， ∴， ∴， 棱柱展开前面与上面如图所示， ∴， 棱柱展开左面与上面如图所示， ∴， ∵， ∴需要爬行的最短路程是． 故答案为：． 15．如果正整数满足方程，且互素，那么就称这三个数是一组本原勾股数．若为一组“本原勾股数”，则______． 【答案】50或800 【分析】根据题意，易得40必为直角边，设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为，推出，设，得到，进而得到或，求出或，即可得出结果. 【详解】解：∵正整数满足方程，且互素， 则必为一奇一偶， ∴为奇数， ∵为一组“本原勾股数”，且40为偶数， ∴40必为直角三角形的一条直角边的长，为一条直角边和一条斜边的长， 设直角三角形的斜边长为，另一条直角边的长为， 则， ∴， ∵和互素， ∴均为偶数，且最大公约数为2， ∴设， ∴， ∴， ∵， ∴满足条件的只有两组：或， ∴或， 解得：或， ∴或. 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分75分） 16．（6分）如图是由每个边长都为1的小正方形组成的网格，线段AB的两个端点都是格点（正方形的顶点），请画出三个格点（点C是格点），使满足下列条件：（1） 是直角三角形；（2）三个三角形都不全等． 【分析】利用网格特点画出三角形，再利用勾股定理及其逆定理、全等三角形的判定方法验证即可． 【详解】解：如图所示： 图1：，，， 图2：∵，∴， ∴， 图3：∵，∴， ∴， 综上可知，三个三角形都是直角三角形，且三个三角形都不全等． 17．（6分）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端也沿墙下滑吗？ 【分析】由题意得到．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：当梯子底端设向外移动0.8m时，设梯子的底端由点B移动到点D，顶端由点A下滑到点C． 可以看出，． 在中，根据勾股定理得， ． 在中，根据勾股定理得， ． 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端并不是下滑，而是下滑． 18．（8分）如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． （1）求旗杆从距地面多高处折断； （2）工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图， 点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 19．（8分）在四边形中，，，，，， （1）求的长 （2）判断与是否也垂直，并说明理由． 【分析】（1）因为，所以是直角三角形，可利用勾股定理求的长． （2）要判断与是否垂直，可先计算出的长度，再结合、的长度，利用勾股定理的逆定理进行判断． 【详解】（1）解：已知， 因此是直角三角形，． 根据勾股定理 ， 代入，， 得， 因为线段长度为正， 因此 ． （2）解：．理由如下： 已知，，， 得： ， 可得 ， 根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，， 因此 ． 20．（8分）如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． （1）问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： （2）求原来的路线的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 21．（8分）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离，． （1）求绳子的总长度； （2）如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【分析】（1）设，则，运用勾股定理求出即可求解； （2）先利用勾股定理计算出，进而得到即可． 【详解】（1）解：由题可知为直角三角形，， 设，则， 又，即，解得， ， 答：绳子的总长度为； （2）解：如图， 则， ， ， 答：滑块B向左滑动了，此时物体C升高了． 22．（10分）【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 （1）若，，，求证：； 【问题解决】 （2）如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 23．（10分）如图，在一条东西方向铁路的北边有一鸟类巢穴C，铁路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．火车行驶时会对周围范围造成噪声污染． （1）求点C到铁路的距离； （2）当一列长度为的火车以的速度经过铁路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长（火车长度不能忽略不计）． 【分析】（1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于点D，如图． 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图，以点C为圆心，以为半径画圆弧，分别交于点E、F，连接，则． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：火车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 24．（11分）阅读与思考：美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，每个直角三角形较长直角边为，较短直角边为，斜边长，用面积法得到直角三角形三边长、、之间的一个重要结论：． （1）已知：，，，．求证． 下面是小颖的证明过程，请把空缺处补充完整： 证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为__________， ∵，且（等面积法）， ∴__________＋__________， ∴． （2）如图2，四边形是直角梯形，，，，， 其中，． ①求证：； ②仿照（1）用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：． （3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，外围轮廓（图中实线部分）的总长度为52，则这个风车图案的面积为__________． 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得，再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）①先根据角度关系，证出，随后根据“”证明即可；②由①中的全等，可得出，，再分别根据梯形面积公式以及等面积法将梯形转换为三个三角形的面积，得出两种表达方式，也可证出； （3）根据题意，先得出，设，则，根据勾股定理得，代入求出的值，最终可求出风车图案的面积． 【详解】（1）解：证明：∵四个直角三角形全等，且，， ∴正方形的边长为， ∵，且（等面积法）， ∴， ∴， 故答案为：、、． （2）解：①∵， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ． ②∵， ∴，， ∴， ， 故， 化简得． （3）解：由题意，如下图： ∵外围轮廓的总长度为， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 将，代入可得， ， 解得， ∴小正方形的边长为， ∴风车的面积为：， 故答案为：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $