第五单元 多边形的面积（单元自测）2026-2027学年五年级上册数学北师大版

"**基本信息** \n本单元提优卷聚焦几何面积计算，融合人文历史（如“腰铁”截面）、社会热点（哈尔滨冰雪节冰雕）等真实情境，通过推导探究、材料阅读等题型，培养几何直观、空间观念与推理意识，适配小学数学单元复习巩固与能力提升。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|解答题（含填空、计算、探究）|14题|梯形、三角形、平行四边形等面积计算，中位线性质，组合图形分割与拼接|结合“腰铁”“冰雕W”等情境，通过三角形中点分面积推导、中位线性质探究提升推理能力，体现几何直观与空间观念|"

第五单元提优卷 1.人文历史中国古代建造石桥时，为使相邻拱石紧密贴合，常在相邻拱石之间镶嵌“腰铁”起连接作用，“腰铁”是两头宽、中间束腰，形似蝴蝶结的生铁块。一块“腰铁”截面的数据如下图所示，这块“腰铁”截面的面积是( )cm²,，将一张长方形铁皮做成“腰铁”，最少要裁掉( )cm² 的铁皮。 2.热点视窗2026年1月5日，第42届中国·哈尔滨国际冰雪节正式开幕，美轮美奂的冰雪景观吸引了全国各地的游客。制作冰雕时，匠人先按照图纸把冰砖切成小块，再用电锯切割掉多余的部分，做出最后的造型。下图是冰雕字母“W”的图纸，字母“W”的面积是多少平方分米? 3.推导探究如图①，在三角形ABC中，D是边AB的中点，可知AD=BD，则三角形BCD与三角形ACD 的面积相等。 (1)如图②，在三角形ABC中，D，E分别是AB和AC 两边的中点。已知三角形ADE 的面积是2 cm²,则三角形ABC 的面积是( )cm²。 (2)如图③，在三角形ABC中，把AB边三等分、AC边四等分。已知三角形ADE的面积是2cm²，则三角形ABC 的面积是( )cm²。 (3)如图④，在平行四边形ABCD 中，把AB 边五等分、AD 边六等分。已知平行四边形ABCD的面积是60 cm²,则三角形AEF 的面积是( )cm²。 4.材料阅读连接梯形两腰中点的线段通常被称为梯形的中位线。 如图，线段EF就是梯形ABCD的中位线。推导梯形面积计算公式时，我们将梯形沿着中位线剪开拼成平行四边形，从图中可以看出，中位线EF、上底AD和下底BC互相平行，同时EF=(AD+BC)÷2。 (1)除了梯形，三角形也有中位线：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线，一个三角形有( )条中位线。如图①，D是AB的中点，E是AC的中点，DE就是三角形ABC的一条中位线，DE 和BC有什么样的关系? (2)如图②,直角梯形ABCD的上底AD长12cm,下底BC长18cm,腰AB长14cm,E,F分别是腰AB和DC的中点。G是EF 上的一点,若EF=3EG,则梯形ABCD的面积是三角形ABG面积的几倍? 5. 几何直观 如图所示，直角梯形ABCD的上底与高相等，正方形DEFH的边长等于6cm。涂色部分的面积是多少平方厘米? 6.空间观念 从边长是1 cm的正方形的O点出发，以正方形的对角线为边长向同一侧连续画正方形，如图。求第5个组合图形的面积。 学科网（北京）股份有限公司 7.如图，将等腰直角三角形ABC与等腰直角三角形DEC 重叠在一起，涂色部分是一个正方形。已知三角形 ABC 的面积是 72 cm²，求三角形DEC 的面积。 8.图①是由一副七巧板拼成的面积为 32 cm² |的正方形；图②是一个长方形，其中涂色部分是由图①的七巧板拼成的，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米? 9.如图,长方形的面积是80 cm²,A,B 分别是长方形长和宽的中点，求涂色部分的面积。 10.如图，四边形ABCD 和四边形 CEFG是两个正方形,已知正方形 ABCD 的面积是 50 cm²,求涂色部分的面积。 11.如图,已知长方形 ABCD 的长是 8 cm,宽是4 cm,涂色三角形GEC 的面积是10cm²,求OF的长。 12.如图，已知平行四边形ABCD 的底是8 dm，高是6dm，涂色部分的面积是16dm²。求四边形EFGH的面积。 13. 如图,在平行四边形ABCD中,已知AE=3cm,BC=12 cm,梯形ABCE 的面积比三角形 CDE的面积大 15 cm²。求平行四边形 ABCD 的面积。 14如图，边长分别为20cm和30cm的两个正方形并排放在一起，求三角形ABC(涂色部分)的面积。 学科网（北京）股份有限公司 第五单元提优卷 1.280 70 提示：这块“腰铁”的截面可以看作用两个相同的梯形拼成,故面积为(6+10)×(35÷2)÷2×2=280(cm²)；也可以看作从长方形中剪去两个三角形得到，这两个三角形的面积和为 35×[(10-6)÷2]÷2×2=70(cm²)。 2. (14.5+8)×12÷2-5×8÷2×3=75(dm²) 答:字母“W”的面积是75 dm²。 提示：根据题意，冰雕字母“W”是从一块梯形图样中挖去了三小块相同的三角形图样得到的，分别计算面积，相减即可。 3.(1)8 (2)24 (3)1 提示：(1)因为 E 是 AC 边的中点，所以三角形ADE的面积=三角形 CDE 的面积;因为 D 是 AB边的中点，所以三角形BCD的面积=三角形ACD的面积。所以三角形ACD 的面积=三角形ADE的面积×2=2×2=4(cm²),三角形ABC 的面积=三角形ACD的面积×2=4×2=8(cm²)。 (2)连接 CD，因为把 AC 边四等分，所以三角形ACD 的面积=三角形 ADE 的面积×4=2×4=8(cm²)。因为把AB 边三等分,所以三角形ABC的面积=三角形ACD的面积×3=8×3=24(cm²)。 (3)连接BD,DE,因为三角形ABD的面积=平行四边形的面积÷2=60÷2=30(cm²),三角形ADE的面积=三角形ABD的面积÷5=30÷5=6(cm²),所以三角形 AEF 的面积=三角形 ADE 的面积÷ 4. (1)3 DE 和BC 平行且DE 的长度是 BC 的一半提示：三角形有三条边，所以一共有3个中点，不共线的3点之间能连出3条线段。类比梯形中位线可知，将三角形沿着中位线剪开也可以拼成平行四边形，故中位线也与底部平行，长度等于底边的一半。 (2)(12+18)÷2=15(cm) 15÷3=5(cm) 5×14÷2=35(cm²) 210÷35=6 答：梯形ABCD的面积是三角形ABG面积的6倍。提示：根据题意，EF 是梯形的中位线，EF 和AD，BC 互相平行，所以EF 垂直于AB，EG就是三角形ABG的高,EF=(12+18)÷2=15(cm),所以EG=15÷3=5(cm),梯形 ABCD 的面积=(12+18)×14÷2=210(cm²),三角形ABG的面积=5×14÷2=35(cm²),故梯形ABCD 的面积是三角形ABG 面积的6倍。 5.6×6÷2=18(cm²) 答:涂色部分的面积是18 cm²。提示：观察题图，直角梯形ADHB 的面积=(AB+DH)×AD÷2,直角三角形ABE 的面积=AB×(AD+DE)÷2,因为AB=AD,四边形 DEFH是正方形,所以直角梯形ADHB 的面积=直角三角形ABE 的面积，两个图形都减去重叠的部分(梯形ABOD)，得到三角形 BOH 的面积等于三角形 DOE 的面积。所以涂色部分的面积=三角形DEH的面积=正方形 DEFH的面积÷2。 1×2=2(cm²) 2×2=4(cm²) 4×2=8(cm²)0.5+1+2+4+8+8=23.5(cm²) 答：第5个组合图形的面积是23.5cm²。 提示：把原题图转化成下图： 由图可知，每个图形都是由若干个三角形组成的，其中三角形①的面积是 1×1÷2=0.5(cm²),三角形②的面积是( 三角形③的面积是1×2=2(cm²),三角形④的面积是 2×2 =4(cm²)。发现：从三角形①开始，后一个三角形的面积都是前一个三角形面积的2倍，每个图形的最后两个三角形的面积相等。由此可总结出所得到的组合图形的面积规律，整理成表格如下。 图形序号 三角形个数 图形面积/cm² 第1个 2 0.5+0.5 第2个 3 0.5+1+1 第3个 4 0.5+1+2+2 第4个 5 0.5+1+2+4+4 … … … 由此可知，第5个组合图形中含有6个三角形，面积是0.5+1+2+4+8+8=23.5(cm²)。 7. 72÷9×8=64(cm²) 答:三角形 DEC 的面积为64 cm²。 提示：如图，通过等分可以发现，三角形ABC 被平均分成了9份，三角形 DEC 被平均分成了8份。由于两个三角形中每一份的大小相同，所以要求三角形DEC 的面积，需先求出一份的面积。 8.32÷16=2(cm²)6×5=30(个) 2×30=60(cm²)答:长方形ABCD 的面积是 60 cm²。 提示：如图，给图①加上辅助线，可以将图①分成16个相等的小三角形，已知图①的面积是32 cm²,所以1 个小三角形的面积是 32÷16=2(cm²)。给图②添加辅助线，可以得到与图①一样的6×5=30(个)小三角形，所以图②的面积为2×30=60(cm²)。 9.①的面积: ②的面积：8 ③的面积：880÷4=20(cm²) 80-20-20-10=30(cm²) 答：涂色部分的面积是30cm²。 提示：因为A，B分别是长方形长和宽的中点，所以①的面积为长方形面积的 ,即20cm²,②的面积为长方形面积的 ，即10cm²，③的面积为长方形面积的 ,即20cm²。 答：涂色部分的面积是25 cm²。提示:连接CF,在梯形 BCFD 中,C点到 BD 的距离与 F点到 BD的距离相等，所以三角形BFD的面积与三角形BCD 的面积相等，而三角形 BCD的面积是正方形 ABCD 面积的一半，即 50÷2=25(cm²),因此涂色部分的面积是25 cm²。 11.方法一:8-10×2÷4=3(cm) 方法二:8×4÷2-10=6(cm²) 6×2÷4=3(cm) 答:OF 的长为3cm。 提示：如图①，连接OA，OB。观察发现，三角形AEO与三角形 GEO 同底等高，则它们的面积相等；同理，三角形 BEO 与三角形 CEO 的面积相等。由此可推出，三角形AEO 的面积+三角形BEO的面积=三角形 GEO 的面积+三角形 CEO的面积，即三角形 AOB 的面积=涂色三角形 GEC的面积，即三角形 AOB 的面积是 10 cm²。又因为AB的长是4 cm,可求出高OE 的长为 10×2÷4=5(cm)。然后用EF的长减去OE 的长，就可以求出OF的长为8-5=3(cm)。如图②,连接DE,DO。观察发现,三角形 GEO 与三角形 DEO 同底等高，则它们的面积相等。用三角形 ECD 的面积减去涂色部分的面积，就可以求出三角形OCD 的面积,为8×4÷2-10=6(cm²)。又因为三角形OCD的底CD的长为4 cm,则它的高OF的长为6×2÷4=3(cm)。 12.16-8×6÷4=4(dm²) 答:四边形 EFGH 的面积为4 dm²。 提示：三角形 BAE 与三角形 CAE 同底等高，则它们的面积相等。从这两个三角形中同时减去三角形AEF，则剩下的面积相等，即三角形ABF 的面积与三角形CEF的面积相等。要求四边形EFGH的面积，就相当于用题图中涂色部分的面积减去三角形 DGC 的面积。 13.15÷3=5(cm) 12×5=60(cm²) 答:平行四边形ABCD 的面积为60 cm²。 提示:过点 E 作 CD 的平行线,交 BC 于点 F(如图)，由此可看出，平行四边形ABFE 的面积就是题中梯形ABCE 与三角形CDE 的面积差，也就是15 cm²。因为平行四边形ABFE的底AE长3c m,所以它的高，也就是平行四边形ABCD 的高为15÷3=5(cm)。因此,平行四边形ABCD的面积是 12×5=60(cm²)。 答:三角形ABC 的面积为180 cm²。 提示：如图，连接BE。观察发现，三角形ABC 与三角形EBC 同底等高，则它们的面积相等。由此可推即)的面积为20×30÷2=300(cm²),BC 的长为 300×2÷(20+30)= 12(cm),三角形 ABC 的面积为 12× 学科网（北京）股份有限公司 $