专题1.9 线段垂直平分线的性质（举一反三讲义）数学新教材浙教版八年级上册

"本讲义聚焦线段垂直平分线的性质这一核心知识点，系统梳理其定义（过线段中点且垂直的直线）、性质（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）及尺规作图方法，衔接线段中点、垂直等前置概念，为后续三角形外心等知识构建学习支架。\n该资料以8类题型（求线段长度、周长、角度、面积、最值、证明、作图、实际应用）为主线，例题与变式题结合，通过实际应用（如确定到三小区距离相等的学校位置）培养应用意识，尺规作图强化几何直观，证明题提升推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。"

专题1.9 线段垂直平分线的性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 2 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求周长】 4 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 7 【题型4 利用线段垂直平分线的性质求面积】 9 【题型5 利用线段垂直平分线的性质求最值】 13 【题型6 利用线段垂直平分线的性质证明】 17 【题型7 作已知线段的垂直平分线】 22 【题型8 线段垂直平分线的实际应用】 24 考点1 线段垂直平分线的性质 知识点 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，    是的垂直平分线，， ∴． 【变式1-1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【答案】4 【分析】由尺规作图可知直线是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得，进而将的周长转化为，代入数据即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ， 即， ， ， ． 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求周长】 【例2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【答案】27 【分析】连接，结合等边三角形的性质、角平分线的定义以及垂直平分线的性质证明为等边三角形，易得，进而可得，可证明，然后计算的周长即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∵的平分线交于点O，和的垂直平分线交于E、F， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【答案】6 【分析】根据垂直平分线性质可知，根据等腰三角形性质，得出的周长等于． 【详解】解：∵的中垂线交于点F， ∴， ∴， ∵在中，， ∴ ∴的周长， ∵， ∴的周长． 【变式2-2】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 【详解】解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质计算即可. 【详解】解：线段的垂直平分线交线段于点， ， ， . 【变式3-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为______． 【答案】/26度 【分析】首先利用等边对等角求出，然后由垂直平分线的性质得到，结合三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴ 由作图得，垂直平分 ∴ ∴． 【变式3-2】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 【答案】#20度 【分析】由点是、垂直平分线的交点得，由可得，在中可得，又得，故． 【详解】解：点O是，垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， ． 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 【答案】/81度 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，，由可得，由外角的性质可得，由可得，进而求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， ， 是的外角， ， ∵，， ∴， ， ， ， ， ． 【题型4 利用线段垂直平分线的性质求面积】 【例4】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形与四边形的面积分别为8和13， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是边的中垂线， ∴E是的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】20 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 在中，是边上的垂直平分线，得，即可证得，即可得，继而求得答案． 【详解】解：∵在中，是边上的垂直平分线， ， 在和中， ， ∴， ， ， 故答案为：20． 【变式4-2】如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为______．    【答案】6 【分析】先求出，再根据，计算即可. 【详解】∵平分，垂直平分， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线，线段垂直平分线的性质．利用数形结合的思想是解题关键． 【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若 平分求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠得，则，所以，则，求得． （2）作于点F，由折叠得垂直平分，由角平分线的性质得，则． 此题重点考查翻折变换的性质、垂直平分线的判定与性质，角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正解地作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴的长是． （2）解：作于点F， ∵将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． ∴点A与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∵平分于点F，于点E，且， ∴， ∴， ∴的面积是． 【题型5 利用线段垂直平分线的性质求最值】 【例5】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 【变式5-1】如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到，利用两点之间线段最短，找出最短距离为即可得到结果． 【详解】解：连接， ∵l垂直平分， ， ， 的最小值是，值为7， 故选：C． 【变式5-2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为___________． 【答案】18 【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得，，，，等量代换得，，得是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当时，取最小值，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵点关于，的对称点分别是点，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴当最小即取最小值时，的面积最小， ∴当，取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积的最小值， 故答案为：18． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·周测）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线； (2)2； (3)6． 【分析】本题考查了垂直平分线，角的平分线基本作图，线段和的最值，角的平分线的性质，线段的垂直平分线的性质． （1）根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线． （2）过点E作于点M，根据角的平分线性质，得，根据三角形面积公式解答即可． （3）根据题意，点A与点B是关于直线的对称点，当P与点D重合时，取得最小值． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，， 所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线， 所以，， 所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 【题型6 利用线段垂直平分线的性质证明】 【例6】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，熟知线段垂直平分线的性质及其判定定理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质和已知条件可证明，则可证明； （2）可证明垂直平分，则可证明是的中点． 【详解】（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ， ； （2）证明：如图所示， ，， ∴点A和点D都在线段的垂直平分线上，即垂直平分， ∴是的中点． 【变式6-2】如图，四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：是的角平分线； ②若时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的长为3 【分析】（1）由平行线的性质得到，，由线段中点的定义得到，由“”可证； （2）①由全等三角形的性质可得，由中垂线的性质可得，则可证明，则是的角平分线；②根据前面所证可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①∵， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是的角平分线； ②由（2）①， ∴的长为3．    【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，证明是本题的关键． 【变式6-3】如图，在中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等腰直角三角形，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，注意：①全等三角形的判定定理有，，，SSS，②全等三角形的对应角相等，对应边相等． （1）求出，根据三角形内角和定理求出，根据推出即可； （2）根据全等得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求出答案； （3）根据线段垂直平分线的性质求出，求出，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：是的角平分线，， ，， ， ， ∵在和中， ，， ，， ， 在和中，， ； （2）， ， ， ， ； （3）是等腰直角三角形， 证明：，F是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． 【题型7 作已知线段的垂直平分线】 【例7】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】如图所示，直线即为所求． 【分析】作边的垂直平分线即可； 【变式7-1】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，等腰即为所求． 【分析】作出线段的垂直平分线与的交点即为点，根据线段垂直平分线的性质得到． 【变式7-2】（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：根据题意，作图如下： 则即为所求． 【分析】先作的垂直平分线，与交于点D，再在上截取，连接，结合，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可判定是等边三角形，即为所求． 【变式7-3】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接、，作线段、的垂直平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求， 【题型8 线段垂直平分线的实际应用】 【例8】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 【变式8-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．要使点P到点A，B，C的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可得出答案． 【详解】解：利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点． 故选：C． 【变式8-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：∵仓库到三个学校的距离相等， ∴仓库应设置的最适当的位置是在的三边的垂直平分线的交点， 故选：． 【变式8-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理的逆定理，正确理解线段垂直平分线的性质定理逆定理是解答本题的关键．线段垂直平分线的性质定理逆定理：和线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据线段垂直平分线的性质定理逆定理进行推理，即可得到答案． 【详解】解：到北京和莫斯科距离相等的点在北京和莫斯科两地连线的垂直平分线上，到北京和雅典距离相等的点在北京和雅典两地连线的垂直平分线上，则中转仓的位置应选在的三边的垂直平分线的交点处． 故选：C． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.9 线段垂直平分线的性质（举一反三讲义） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 2 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求周长】 3 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 4 【题型4 利用线段垂直平分线的性质求面积】 5 【题型5 利用线段垂直平分线的性质求最值】 6 【题型6 利用线段垂直平分线的性质证明】 7 【题型7 作已知线段的垂直平分线】 8 【题型8 线段垂直平分线的实际应用】 9 考点1 线段垂直平分线的性质 知识点 线段垂直平分线的定义及其性质 1. 定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 2. 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． 3. 尺规作线段的垂直平分线： (1)以点 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于 两点； (2)作为直线 ，为所求直线． 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例1】（25-26七年级下·广东深圳·期中）如图在中，的垂直平分线交于，交于，，连接，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【变式1-2】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，连接，线段的垂直平分线交于点，线段的垂直平分线交于点，若，则的长为________． 【变式1-3】（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，交于点，连接，若，的周长为6，则的值为_____． 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求周长】 【例2】（25-26七年级下·上海宝山·期末）如图，在等边三角形中，、的平分线交于点O，和的垂直平分线分别交于点E、F．如果，那么的周长是______． 【变式2-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，的中垂线交于点D，交的延长线于点E，交于点F，若，则的周长为_________． 【变式2-2】如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【变式2-3】（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【题型3 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例3】如图所示，线段的垂直平分线交线段于点D，，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B、C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于M、N两点；②作直线交于点D，连接．若，，则的度数为______． 【变式3-2】（25-26八年级下·江西景德镇·期末）如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 【变式3-3】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点作于点，且为线段的中点．若，则的度数为________． 【题型4 利用线段垂直平分线的性质求面积】 【例4】（24-25八年级上·新疆阿克苏·期末）如图，在中，是的中线，是的垂直平分线，且与相交于点，连接．若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．5 B．17 C．21 D．22 【变式4-1】（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）如图在中，垂直平分，，、是上的两点，则图中阴影部分的面积是__________． 【变式4-2】如图，在中，，平分，垂直平分，若的面积等于，则的面积为______．    【变式4-3】（24-25八年级上·重庆·期中）如图，将沿直线折叠后，使得点B与点A重合． (1)已知，的周长为，求的长； (2)若 平分求的面积． 【题型5 利用线段垂直平分线的性质求最值】 【例5】如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【变式5-1】如图，已知直线l垂直平分，点C在直线l的左侧，且，，，P是直线l上的任意一点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【变式5-2】（24-25八年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，在中，，，，D为边上的动点，点关于，的对称点分别是点，，连接，，，面积的最小值为___________． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·周测）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积； (3)若P是直线上的一个动点，求的最小值． 【题型6 利用线段垂直平分线的性质证明】 【例6】如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，是的垂直平分线，与边交于点，点在上，且，连接． (1)求证：； (2)延长交于点，若．求证：是的中点． 【变式6-2】如图，四边形中，，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若． ①求证：是的角平分线； ②若时，求的长． 【变式6-3】如图，在中，，于点E，BE=AE，是的角平分线，和相交于点P，和边交于点D，点F是边的中点，连结，交于点Q，连结． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状，并证明你的结论． 【题型7 作已知线段的垂直平分线】 【例7】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，已知．请你用尺规作图法作直线，使得点、关于直线对称．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式7-1】（2026·陕西渭南·一模）如图，已知．请你用尺规作图法作等腰，使得为底边，且点D在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-2】（2026·陕西渭南·二模）如图，已知在中，，请用尺规作图法在边、上分别取点、，连接，使得是等边三角形，且其边长为．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】据璧山信息网10月26日报道，为了打造“一生之城”，解决人民群众入学难的问题，规划在璧山区璧泉街道观音村修建高新区实验学校．如图，A、B、C三点表示三个小区，若实验学校到这三个小区距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置P．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型8 线段垂直平分线的实际应用】 【例8】（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【变式8-1】（24-25八年级下·山西运城·阶段检测）如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三条中线的交点 【变式8-2】（24-25八年级下·贵州贵阳·阶段检测）为响应总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我市向某县的，，三个学校捐赠一批书籍，若需要建立一个仓库，使该仓库到三个学校的距离相等，则仓库应设置的最适当的位置是在的（   ） A．三边中线的交点 B．三边的垂直平分线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边上高的交点 【变式8-3】（24-25八年级上·云南迪庆·期中）2024年10月23日至24日，第三届“一带一路”能源部长会议在山东举行，提出了未来5年“一带一路”能源合作伙伴成员国的七方面计划．北京、莫斯科、雅典三地之间想建立一个货物中转仓，使其到三地的距离相等，如图所示，则中转仓的位置应选在（   ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边垂直平分线的交点 D．三边高线的交点 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $