精品解析：吉林省长春市绿园区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷

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2025-2026学年度下学期七年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将已知解代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴ ∴ 故选C． 2. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确． 故选D． 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 【详解】解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 4. 已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接把两式相加即可得出结论． 【详解】， ①+②得，4x+4y=20，解得x+y=5． 故选A． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键． 5. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形， CF 所在的直线是它的对称轴，若AFC BCF 150，则AFE BCD 的大小是（ ） A. 150° B. 300° C. 210° D. 330° 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用轴对称图形的性质得出∠AFE+∠BCD=2（∠AFC+∠BCF），进而得出答案． 【详解】∵六边形ABCDEF是轴对称图形，CF所在的直线是它的对称轴，∠AFC+∠BCF=150°， ∴∠AFC=∠EFC，∠BCF=∠DCF， ∴∠AFE+∠BCD=2（∠AFC+∠BCF）=300°． 故选B 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的性质，正确把握定义是解题关键． 6. 如图，是的外角的平分线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，可得，再由是的外角的平分线，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的外角的平分线， ∴， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下： 第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； 第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F； 第三步：作直线CF，直线CF即为所求． 下列关于的说法正确的是（ ） A. ≥ B. ≤ C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可． 【详解】解：由作图可知，分别以点和点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，此时， 故选：． 【点睛】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 【答案】B 【解析】 【分析】此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，因此格点N就是所求的旋转中心； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可） 【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可） 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再解即可． 【详解】解：设第三边长为x，由题意得： ， 则， 故答案可为：4（答案不唯一，大于2且小于8之间的数均可）． 【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系：第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和． 10. 不等式组的解集是_____． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】解不等式x+2＞0得x＞﹣2，结合x＞1，利用口诀“同大取大”可得答案． 【详解】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2， 又x＞1， ∴不等式组的解集为x＞1， 故答案为：x＞1． 【点睛】此题主要考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键． 11. 如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 【答案】720 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式；根据n边形的内角和公式进行计算即可． 【详解】解：根据图形知，空白部分为六多边形， 六边形的内角和为， 故答案为：720． 12. 如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 __． 【答案】9 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， 的周长为8， ， ， ， ， ． 故答案为：9 【点睛】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 13. 如图所示，已知线段DE由线段AB平移而得，AB=DC=4cm，EC=5cm，则△DCE的周长是____cm. 【答案】13 【解析】 【详解】试题分析：根据平移的性质，线段DE是由线段AB平移而得，则AB=DE，结合已知可求△DCE的周长． ∵线段DE是由线段AB平移而得， ∴DE=AB=4cm， ∴△DCE的周长=DE+CE+CD=4+5+4=13cm． 答：△DCE的周长是13cm． 考点：本题考查了平移的性质 点评：解答本题的关键是要准确把握平移的性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等． 14. 如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，正确结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，可判断①；再由全等三角形的性质可得，，从而得到可判断②；再由余角的性质可得可判断③；根据三角形的面积公式可判断④． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，故①正确； ∴，， ∴，故②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴的面积是，故④正确． 综上，所有正确结论的序号是①③④． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】先通过给方程两边同乘合适的数，使y的系数相等，再将两个方程相减消去该未知数，转化为一元一次方程求解即可． 【详解】解： ， 将①式两边同乘2，得 ， 用③减②： ， 化简得 ， 解得 ． 把代入①式，得 ， 解得 ． 因此原方程组的解为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1即可．根据解一元一次方程的基本步骤，解方程即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 18. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔记本6本，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 【答案】8元 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元，列方程求解． 【详解】解：设该文具店中这种大笔记本的单价是x元，则小笔记本的单价是元， 因为买了一种大笔记本4本和一种小笔记本6本，共用了62元， 所以， 解得． 答：该文具店中这种大笔记本的单价为8元． 19. 如图，D是△ABC的BC边上一点，，，．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 【答案】（1）35° （2）65° 【解析】 【分析】（1）利用外角的性质求解即可； （2）先求出∠DAC的度数，再利用三角形内角和求出∠C的度数． 【小问1详解】 解：∵∠ADC是△ABD的外角， ∴∠ADC=∠B+∠BAD， ∴=， 【小问2详解】 ∵，∠BAD=， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=， ∴∠C=． 【点睛】此题考查了三角形外角的性质定理，三角形内角和定理，熟记三角形内角度数的计算方法是解题的关键． 20. 如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1）图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形． （2）图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． （3）图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等． 【答案】（1） 所画的三角形与组成的图形是轴对称图形，答案不唯一； （2） 如图，所画的三角形与组成的图形是中心对称图形，答案不唯一； （3） 如图，所画的三角形与的面积相等，但不全等，答案不唯一． 【解析】 【分析】本题考查了利用轴对称的性质，中心对称的性质，以及三角形的面积作图，熟练掌握轴对称的性质与中心对称的性质是作图的关键，要注意对称轴与对称中心的确定． (1)先确定出对称轴，再根据轴对称图形的性质作出即可； (2)确定出对称中心，然后根据中心对称图形的性质作出即可； (3)根据格点的特点，作出的底边与这边上的高分别是，或，的三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高_______，，放入一个大球水面升高______； （2）如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？ 【答案】 （1）2；3 （2）如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 【解析】 【分析】（1）设一个小球使水面升高x厘米，一个大球使水面升高y厘米，根据图象提供的数据建立方程求解即可． （2）设应放入大球m个，小球n个，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：（1）设一个小球使水面升高x厘米，由图意，得3x=32﹣26， 解得：x=2． 设一个大球使水面升高y厘米，由图意，得2y=32﹣26， 解得：y=3． 所以，放入一个小球水面升高2cm，放入一个大球水面升高3cm． （2）设应放入大球m个，小球n个，由题意，得 ， 解得：． 答：如果要使水面上升到50cm，应放入大球4个，小球6个． 22. 在四边形中，，． （1）如图①，若，则______度． （2）如图②，作的角平分线交于点．若，求的大小． （3）如图③，作和的角平分线交于点，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据四边形的内角和是，结合已知条件就可求解； （2）根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，进一步根据四边形的内角和定理进行求解； （3）根据四边形的内角和定理以及角平分线的概念求得的度数，再结合三角形内角和求得的度数． 【小问1详解】 解：在四边形中，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵CE平分， ∴， ∵， ∴， ． ∴的大小为． 【小问3详解】 ∵四边形ABCD中，，， ∴， ∵和的角平分线交于点E， ∴，， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题考查了四边形的内角和，三角形的内角和，平行线的性质，角平分线的定义等知识． 综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、熟练运用平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 23. 完成以下问题 （1）【问题再现】我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面．如下图所示，在一个顶点周围围绕着4个正方形的内角，正方形的每个内角是，四个拼在一起恰好组成 一个周角，所以全用正方形就可以铺满地面． 试想：如果用正六边形铺满地面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角． （2）【问题探究】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？ 分析：当一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角时，就可以铺满地面． 验证1：设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：，整理得：， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？ 请按照上述方法补全下面的验证． 验证2：设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据 题意，可得方程： _________________________________， 我们可以找到适合方程的正整数解为______________________．（写出一组即可） 结论2：同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以铺满地面． （3）【问题拓广】请你仿照上面的研究方式，直接写出一个同时用三种不同的正多边形组合铺满地面的结论． 【答案】（1）3 （2）．（答案不唯一）． （3）同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以铺满地面 【解析】 【分析】（1）仿照“问题再现”求解即可； （2）根据题意得到用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．用两种正多边形镶嵌，再根据“问题再现”列出二元一次方程，并写出一组解即可； （3）仿照“问题再现”，写出一个同时用三种不同的正多边形组合铺满地面的结论即可； 【小问1详解】 解：∵正六边形的每一个内角为， 用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着个正六边形的内角． 【小问2详解】 解：设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角． 由题意可得方程：， 我们可以找到适合方程的正整数解为（答案不唯一）． 【小问3详解】 解：设围绕某一点有个正三角形、y个正方形和z个正六边形的内角可以拼成一个周角． 由题意可得方程：， 我们可以找到适合方程的正整数解为，即1个正三角形、2个正方形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角． 答：同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合可以铺满地面（答案不唯一）． 24. 如图①，在中，，，边在直线l上，以点C为旋转中心将直线l顺时针旋转到直线，交于点E，以为直角边作直角，使，，点F和点A始终在直线的同侧．设． （1）当时，______． （2）当时，______°． （3）当时，求的大小． （4）当与重叠部分为直角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）25 （3）或； （4）的取值范围是或． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形，三角形外角的性质，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键. （1）利用三角形两锐角互补求解即可； （2）利用三角形外角的性质求得的度数，据此求解即可； （3）分①当时，②当时两种情况讨论，据此求解即可； （4）分三种情况讨论，画出图形，据此求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∵， ∴， 故答案为：25； 【小问3详解】 解：当时，分两种情况： ①当时，， ∵， ∴， ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴， 综上，或； 【小问4详解】 解：的取值范围是或， 过点C作， ∵， ∴， 又∵， ∴分以下三种情况讨论： ①当点E在线段上时，点F在的外部， ∴当与的重叠部分为直角三角形时，点H在上，如图(1)， ∵， ∴； ②当点E与点H重合时，点F落在上， 此时与的重叠部分为，如图(2)， 此时； ③当点E在线段上时，与的重叠部分为或的一部分，如图(3)， 此时， 综上所述，当与的重叠部分为直角三角形时，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期七年级期末测试 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共8页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是关于的方程的解，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 社会规则营造良好的社会秩序，我们要了解并遵守社会规则．下列标志是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A. 5 B. 7 C. 9 D. 3 5. 如图，六边形ABCDEF是轴对称图形， CF 所在的直线是它的对称轴，若AFC BCF 150，则AFE BCD 的大小是（ ） A. 150° B. 300° C. 210° D. 330° 6. 如图，是的外角的平分线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知直线AB和AB上的一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下： 第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E； 第二步：分别以点D和点E为圆心，以为半径作弧，两弧交于点F； 第三步：作直线CF，直线CF即为所求． 下列关于的说法正确的是（ ） A. ≥ B. ≤ C. D. 8. 如图，在6×4的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ） A. 点M B. 格点N C. 格点P D. 格点Q 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 一个三角形的两边长分别是3和5，则第三边长可以是__________．（只填一个即可） 10. 不等式组的解集是_____． 11. 如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多边形的内角和为________度． 12. 如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 __． 13. 如图所示，已知线段DE由线段AB平移而得，AB=DC=4cm，EC=5cm，则△DCE的周长是____cm. 14. 如图，在直角三角形中，，，将绕点逆时针旋转得到，点落在上，延长交于点．给出下面四个结论：①；②；③；④若，，连接，则的面积是4．上述结论中，正确结论的序号有_______． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 解方程组：． 16. 解方程：． 17. 解不等式组：并求所有整数解的和． 18. 小红在一家文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔记本6本，共用了62元．已知她买的这种大笔记本的单价比这种小笔记本的单价多3元，求该文具店中这种大笔记本的单价． 19. 如图，D是△ABC的BC边上一点，，，．求： （1）∠B的度数； （2）∠C的度数． 20. 如图所示，在的正方形网格中，选取14个格点，以其中三个格点为顶点画出，请你以选取的格点为顶点再画出一个三角形，且分别满足下列条件： （1）图①中所画的三角形与组成的图形是轴对称图形． （2）图②中所画的三角形与组成的图形是中心对称图形． （3）图③中所画的三角形与的面积相等，但不全等． 21. 根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球水面升高_______，，放入一个大球水面升高______； （2）如果要使水面上升到50，应放入大球、小球各多少个？ 22. 在四边形中，，． （1）如图①，若，则______度． （2）如图②，作的角平分线交于点．若，求的大小． （3）如图③，作和的角平分线交于点，求的度数． 23. 完成以下问题 （1）【问题再现】我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形铺满地面．如下图所示，在一个顶点周围围绕着4个正方形的内角，正方形的每个内角是，四个拼在一起恰好组成 一个周角，所以全用正方形就可以铺满地面． 试想：如果用正六边形铺满地面，在一个顶点周围应该围绕着 个正六边形的内角． （2）【问题探究】 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合铺满地面？ 分析：当一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角时，就可以铺满地面． 验证1：设围绕某一点有个正方形和个正八边形的内角可以拼成一个周角． 根据题意，可得方程：，整理得：， 我们可以找到唯一一组适合方程的正整数解为． 结论1：在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以铺满地面． 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合铺满地面？ 请按照上述方法补全下面的验证． 验证2：设围绕某一点有个正三角形和个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据 题意，可得方程： _________________________________， 我们可以找到适合方程的正整数解为______________________．（写出一组即可） 结论2：同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以铺满地面． （3）【问题拓广】请你仿照上面的研究方式，直接写出一个同时用三种不同的正多边形组合铺满地面的结论． 24. 如图①，在中，，，边在直线l上，以点C为旋转中心将直线l顺时针旋转到直线，交于点E，以为直角边作直角，使，，点F和点A始终在直线的同侧．设． （1）当时，______． （2）当时，______°． （3）当时，求的大小． （4）当与重叠部分为直角三角形时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $