精品解析：甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末模拟数学试题

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甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末模拟数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（ ） A. 10人 B. 20人 C. 33人 D. 40人 3. 如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，（其中，与塔底在同一水平面内），则塔高（ ） A. B. C. D. 4. 下列有五个命题：①若直线a平面，a平面，则am；②若直线a平面，则a与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤对于异面直线a、b存在唯一一对平面、β使得a⊂平面， b⊂平面β，且β.其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 6. 甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示： 到达日期 3月25日 .3月26日 3月27日 0.3 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.5 设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则 A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同 C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反 8. 正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为 A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，此三角形有两解 B. 面积最大值为 C. 的外接圆半径为2 D. 若，则此三角形一定是直角三角形 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若向量，则 B. 若向量，则在上的投影向量为 C. 在中，是的充要条件 D. 在△ABC中，若，，，则△ABC有两解 11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则____________. 13. 九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 14. 在中，，，，则外接圆面积为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1） （2） 16. （1）求方程在复数范围内的解； （2）若，求和. 17. 定义：为不超过的最大整数部分，如，．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示： 高二成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 68 74 77 84 88 95 乙 71 75 82 84 86 94 进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为，若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为；若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100． （1）试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生的成绩（填入下列表格内）； 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 乙 （2）记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：，记为转换分为3分；，记为转换分为4分；，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率． 18. 我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组 [90，100] 2 b 合计 ▓ ▓ （1）求出a，b，x，y的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）． 19. 在中，，. （1）求的大小； （2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； （3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 20. 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. （1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； （2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省靖远县第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末模拟数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数代数形式乘、除运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 为了解中小学生手机使用情况，某地区计划从8000名小学生、8000名初中生，4000名高中生中采用分层抽样的方式一共抽取100名学生进行调查，则应选取的高中生人数为（ ） A. 10人 B. 20人 C. 33人 D. 40人 【答案】B 【解析】 【分析】设选取的高中生人数为人，根据分层抽样的定义，列出方程，即可求解. 【详解】设选取的高中生人数为人， 根据题意，可得，解得， 所以应选取的高中生人数为人. 故选：B. 3. 如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，（其中，与塔底在同一水平面内），则塔高（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，在中，利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】在中，由正弦定理得，，则， 在中，. 故选：A 4. 下列有五个命题：①若直线a平面，a平面，则am；②若直线a平面，则a与平面内任何直线都平行；③若直线α平面，平面平面β，则α平面β；④如果ab，a平面，那么b平面；⑤对于异面直线a、b存在唯一一对平面、β使得a⊂平面， b⊂平面β，且β.其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线，平面间的位置关系判断命题正误. 【详解】对于①，直线平面，直线平面，，过a作平面交平面于c，作平面交平面于d，则，，所以，因为平面，所以平面，因为，所以，所以，①正确； 对于②，直线平面，则直线与平面内的直线平行或异面，所以②错误； 对于③，直线平面，平面平面，可能平面，所以③错误； 对于④，，直线平面，可能平面，所以④错误； 对于⑤，一对异面直线a，b，过a作与b平行的平面，过b作与a平行的平面，使得，所以⑤正确； 故选：C. 5. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理的边角变换得到，再利用正弦定理的边角变换与三角函数的和差公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为， 两式相减，得， 由正弦定理，得，即， 因为，所以. 故选：C. 6. 甲、乙、丙三人各自计划去河南洛阳旅游，他们在3月25日到3月27日这三天中的一天到达河南洛阳，他们在哪一天到达河南洛阳相互独立，互不影响，且他们各自在3月25日、3月26日、3月27日到达河南洛阳的概率如下表所示： 到达日期 3月25日 .3月26日 3月27日 0.3 0.4 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.5 设甲、乙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，甲、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，乙、丙两人在同一天到达河南洛阳的概率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由独立事件乘法公式及互斥事件和事件概率公式求解即可. 【详解】由题意可知：， ，， 故. 故选：A 7. 已知点A（1，2），B（3，7），向量，则 A. ，且与方向相同 B. ，且与方向相同 C. ，且与方向相反 D. ，且与方向相反 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， ， 可得，解得， 与 方向相反， 故选：D. 8. 正三棱柱中,所有棱长均为2,点分别为棱的中点,若过点作一截面,则截面的周长为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，利用正三棱柱的结构特征，分别利用勾股定理和余弦定理，即可求解. 【详解】在正三棱柱中，延长和交于点M，连接，交于点，分别连接，则过点的截面为四边形，如图所示， 由，可得， 由，则，解得，则， 在直角中，，则， 在直角中，，则， 在直角中，，则， 在中，， 由余弦定理可得， 即， 所以截面的周长为，故选B. 【点睛】本题主要考查了几何体的截面问题，其中解答中根据空间几何体的结构特征，利用平面的性质找出几何体的截面的形状是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 在中，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，此三角形有两解 B. 面积最大值为 C. 的外接圆半径为2 D. 若，则此三角形一定是直角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合二倍角公式求出，再结合正弦定理、三角形面积公式、余弦定理逐项判断即得. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，又，因此，，即， 对于A，当时，，则，由正弦定理得： ，角有两个值，三角形有两解，A正确； 对于B，由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此面积，B正确； 对于C，的外接圆半径，C错误； 对于D，当时，，而，有，解得， 因此，此三角形一定是直角三角形，D正确. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（    ） A. 若向量，则 B. 若向量，则在上的投影向量为 C. 在中，是的充要条件 D. 在△ABC中，若，，，则△ABC有两解 【答案】BCD 【解析】 【分析】用坐标表示出向量，用模长公式求出模长即可判断A选项；用向量坐标求向量的数量积，再利用公式计算投影向量判断B选项；利用大边对大角以及正弦定理可判断C选项；利用正弦定理得出，再结合三角函数可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题可得，， 则， 所以，故A错； 对于B选项，由题可得，，， 所以在上的投影向量为：，故B正确； 对于C选项，在中，的充要条件为， 由正弦定理可知，的充要条件为， 故是的充要条件，所以C正确； 对于D选项，若，，， 则由正弦定理，得， ，故或，故△ABC有两解，故D正确. 故选：BCD. 11. 设的内角、、所对的边为、、，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用余弦定理与基本不等式可判断AB选项的正误；利用反证法结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用特殊值法可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由余弦定理可得， ，故，A选项正确； 对于B选项，，则，则， 由余弦定理可得， ，故，B选项正确； 对于C选项，假设，则，则， 所以，，与矛盾， 假设不成立，故，故C选项正确； 对于D，取，，满足， 且，则为锐角，故D选项错误. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下： （1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”； （2）若式子中含有、、的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”； （3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”； （4）代数式变形或者三角恒等变换前置； （5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解； （6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算即可求解. 【详解】结合题意可得：. 因为，， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 九宫格填数游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏，某九宫格如图所示，小王需要在九宫格上填上至中不重复的整数，小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字，，，，，这个数字未知，且，为奇数，则的概率为______. 9 7 4 5 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，列出关于，，，，的表格，结合古典概型的概率计算公式，即可求解. 【详解】根据题意，小王需要在个小格子中填上中不重复的整数， 小王通过推理已经得到了个小格子中的准确数字， 且，，，，这个数字未知，，为奇数， 这个试验的等可能结果用下表表示： 2 2 6 6 8 8 2 2 6 6 8 8 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 6 8 2 8 2 6 6 8 2 8 2 6 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 8 6 8 2 6 2 8 6 8 2 6 2 共有种情况，即基本事件的总数为， 其中包含着种，即， 所以的概率为. 14. 在中，，，，则外接圆面积为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出的长度，再利用正弦定理求出外接圆半径，最后根据圆的面积公式求出外接圆面积. 【详解】在中，已知，，，根据余弦定理可得： 因为为三角形的边长，所以. 由正弦定理可得：,则. 根据圆的面积公式，将代入可得：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1） （2） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）（2）利用向量线性运算计算即得. 【详解】（1）. （2） . 16. （1）求方程在复数范围内的解； （2）若，求和. 【答案】（1）或（2）， 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解方程即可； （2）先计算，再将拆为，即可借助计算. 【详解】（1），因为，所以， 所以或； （2）因为，， 所以； 因为，所以. 17. 定义：为不超过的最大整数部分，如，．甲、乙两个学生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示： 高二成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 68 74 77 84 88 95 乙 71 75 82 84 86 94 进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二的数学测试成绩为，若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为；若，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为100． （1）试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生的成绩（填入下列表格内）； 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 乙 （2）记高三任意一次数学测试成绩估计值为，规定：，记为转换分为3分；，记为转换分为4分；，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩的转换分之和为8分的概率． 【答案】（1）答案见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意直接计算即可； （2）利用列举法求解即可. 【小问1详解】 由已知，预测高三6次数学测试成绩如下： 高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试 甲 84 90 93 93 97 100 乙 87 91 91 93 95 100 【小问2详解】在乙的高三6次数学测试预测成绩中，转换分为3分的有1次，记为A； 转换分为4分的有4次，记为；转换分为5分的有1次，记为． 现从中任意抽取2次，一共有15种结果，它们是： ， ， 其中2次成绩的转换分之和为8分有7种结果，它们是： ， 则所求概率为． 18. 我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛．为了了解本次比赛成绩情况，从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： 频率分布表 组别 分组 频数 频率 第1组 [50，60） 8 0.16 第2组 [60，70） a ▓ 第3组 [70，80） 20 0.40 第4组 [80，90） ▓ 0.08 第5组 [90，100] 2 b 合计 ▓ ▓ （1）求出a，b，x，y的值； （2）在选取的样本中，从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会，求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率； （3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1）a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004 （2） （3）中位数为70.5，平均数为70.2，方差为96.96 【解析】 【分析】（1）利用频率＝，及表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y； （2）由（2）可知第四组的人数，已知第五组的人数是2，利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出． （3）根据频率分布直方图，估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差． 【小问1详解】 由题意可知，样本容量n＝， ∴b＝＝0.04， 第四组的频数＝50×0.08＝4， ∴. y＝＝0.004，x＝×＝0.032． ∴a＝16，b＝0.04，x＝0.032，y＝0.004． 【小问2详解】 由题意可知，第4组共有4人，记为A，B，C，D，第5组共有2人，记为X，Y． 从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取2名同学， 有AB，AC，AD，BC，BD，CD，AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY，共15种情况． 设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E， 有AX，AY，BX，BY，CX，CY，DX，DY，XY共9种情况． 所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P（E）＝． ∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率． 【小问3详解】 ∵[50，70）的频率为：， [70，80）的频率为0.4， ∴中位数为：， 平均数为：． 方差为： ． 19. 在中，，. （1）求的大小； （2）是的中点.从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积； （3）如图为某垒球比赛的预计场景，是的中点，，某教练为研究战术，要求击球手在点A沿如图方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，球速为游击手最大跑速的4倍，问若游击手由点出发沿如图方向奔跑，游击手能不能接到球？并说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个个解答计分. 【答案】（1） （2）选条件①或者条件②，面积为，选条件③，不符合题意. （3）游击手不能接到球，理由如下： 由题意可知：，则， 因为， 即，可得，所以游击手不能接到球. 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正余弦定理分析求解； （2）对于①：在，利用余弦定理求得，进而可得面积；对于②：根据（1）中边的关系分析可得，进而可得面积；对于③：根据（1）中边的关系分析判断； （3）根据题意结合分析可得，进而可得结果. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 又因为， 由余弦定理可得， 即，则，所以. 【小问2详解】 对于①：AB边上的中线长为， 在，由余弦定理得 即，解得， 则， 所以的面积为； 对于②：因为，解得， 则， 所以的面积为； 对于③：若，这与相矛盾，不合题意； 【小问3详解】 略 20. 一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. （1）若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； （2）若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【答案】（1）50公里； （2），小时. 【解析】 【分析】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【小问1详解】 设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. 【小问2详解】 由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $