单元复习讲义：专题07 ☆ 有趣的密铺（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学五年级上册（人教版·新教材）

"该小学数学“有趣的密铺”专题讲义通过考点梳理构建知识体系，分核心概念定义、几何原理（重点难点）、组合密铺、实践操作四部分，用表格对比正多边形内角度数与密铺关系，结合记忆口诀呈现知识脉络，突出密铺角度原理等重难点及内在逻辑。\n讲义亮点在于“原理验证-实践应用”的练习设计，如典例判断正五边形密铺并总结规律，提升练习中不规则四边形密铺分析等题型，培养几何直观与推理意识（数学思维）。实践操作步骤指导学生设计密铺图案，兼顾基础题与拓展题，支持不同层次学生自主复习，为教师提供系统考点与分层练习，助力精准教学。"

专题07 ☆ 有趣的密铺 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念定义 1 考点二、密铺的几何原理（重点难点） 1 考点三、组合密铺（拓展知识） 2 考点四、实践操作与设计步骤 3 例题讲解 3 题型一、图形的密铺 3 提升练习 5 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 什么是密铺？ (1) 定义：用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种现象叫做密铺（也称镶嵌）。 (2) 关键要素： 1　 无空隙：图形之间没有留下任何空白区域。 2　 不重叠：图形之间没有相互覆盖的部分。 3　 平面性：所有图形必须在同一平面内。 考点二、密铺的几何原理（重点难点） 1. 密铺的根本条件 要实现密铺，关键在于拼接点（顶点）处的角度关系。 (1) 原理：在每一个公共顶点处，几个图形的内角之和必须恰好等于 360°。 (2) 公式表达：若 个相同的多边形在一点拼接，每个多边形的内角为 ，则需满足 。这意味着该多边形的内角必须能整除 360°。 2. 常见图形的密铺判定 (1) 任意三角形 1　 结论：可以密铺。 2　 理由：任意三角形的内角和是 。将6个相同的三角形围绕一个点拼接，每两个角组成一对，总共3对，即 。或者更直观地，通过旋转和平移，任意三角形都能实现密铺。 (2) 任意四边形 1　 结论：可以密铺。 2　 理由：任意四边形的内角和是 。将4个相同的四边形围绕一个点拼接，使四个不同的内角汇聚于一点，其和恰好为 。 (3) 正多边形 只有部分正多边形可以单独进行密铺。判断依据是：正多边形的一个内角能否整除 360°。 图形名称 边数 ( ) 单个内角度数 能否整除 360° 能否单独密铺 正三角形 3 能 正方形 4 能 正五边形 5 不能 正六边形 6 能 正八边形 8 不能 记忆口诀：三角、正方、六边形，单独密铺最可行；五边八边行不通，角度不合难拼成。 考点三、组合密铺（拓展知识） 虽然某些正多边形不能单独密铺，但它们可以与其他图形组合实现密铺。 1. 常见组合示例 (1) 正方形 + 正八边形： 1　 正八边形内角 ，正方形内角 。 2　 拼接方式：2个正八边形 + 1个正方形 = 。 (2) 正三角形 + 正六边形： 1　 拼接方式1：2个正三角形 + 2个正六边形 = 。 2　 拼接方式2：4个正三角形 + 1个正六边形 = 。 2. 非规则图形密铺 (1) 通过平移、旋转、轴对称等几何变换，可以将不规则图形转化为可密铺的单元。 (2) 方法：剪补法。例如，从正方形的一边剪下一块，平移补到对边，形成的新图形依然可以密铺。 考点四、实践操作与设计步骤 1. 设计流程 (1) 选择基础图形：确定是使用单一图形还是组合图形。 (2) 验证角度：计算拼接点处的角度和是否为 360°。 (3) 绘制单元：在纸上画出基础图形。 (4) 变换复制：利用平移或旋转，复制出相邻的图形。 (5) 美化装饰：在基本骨架上进行色彩填充或图案修饰（参考埃舍尔风格）。 2. 注意事项 (1) 作图时要保证线条平直，角度准确。 (2) 色彩搭配要和谐，突出密铺的规律美。 (3) 注意区分“密铺”与“堆叠”，密铺必须是二维平面的无缝连接。 例题讲解 题型一、图形的密铺 【典例例题】下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 【答案】不能；图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 【分析】图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。据此判断即可。 【详解】正三角形：任意三角形的内角和是180°，6个相同的三角形拼接时，每个顶点处的6个角之和正好是360°，因此可以密铺； 正四边形：任意四边形的内角和是360°，4个相同的四边形拼接时，每个顶点处的4个角之和为360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个正六边形拼接时，顶点处的角之和为120°×3＝360°，可密铺。 正五边形：每个内角108°，无法通过整数个108°相加得到360°，由于无法满足“拼接点处角的和为360°，所以不能密铺。 即仅用正五边形不能密铺，所以答案为不能。 我发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：图形拼接后，在每个拼接点处的各个角的和恰好是360°，这样才能没有空隙、不重叠地铺满整个平面。 举一反三 【变式训练1】下面四种图形中，不能单独密铺地面的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺。据此选择即可。 【详解】A．正六边形：每个内角是120°，3个内角拼接刚好凑成360°，可以单独密铺 B．四边形的4个内角和是360°，可以单独密铺。 C．等腰梯形的四个内角和是360°，拼接时可以凑出360°不留空隙，能单独密铺。 D．圆形拼接时，图形之间一定会留下空隙，因此不能单独密铺地面。 【变式训练2】王阿姨打算给厨房地面铺地砖，选用的五边形地砖可以单独密铺。( ) 【答案】× 【分析】平面密铺的核心条件：围绕一个点拼接的几个多边形的内角和，必须等于360°。 【详解】基于题干图示，正五边形每个内角的度数为108°，无法在一个点处拼成360°，不能密铺。 故答案为：× 【变式训练3】在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 【答案】能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 【分析】判断图形能否密铺，关键是看拼接点处几个角的度数之和是否为360°。对于任意四边形，其内角和是360°。 【详解】这些不规则四边形木料大小和形状一样，当把它们拼接时，每个拼接点处正好可以摆放4个四边形的不同内角，这4个内角的度数之和等于四边形的内角和360°，能保证拼接后无缝隙、不重叠。所以这些木料能密铺。   答：能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 提升练习 1．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 【答案】D 【分析】根据题意可知，所选的地板砖能够密铺才行，图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此判断图形能否单独进行密铺的关键是看这个图形的内角和能否整除360°或被360°整除，据此解答即可。 【详解】密铺的条件是围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，即。 A．三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； B．四边形的内角和为360°，360°÷360°＝1，因此四边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； C．正六边形的内角和是720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独进行密铺，可以选，此选项错误； D．正五边形的内角和是540°，540°÷360°＝1……180°，不能整除，因此正五边形不可以单独进行密铺；不能选，此选项正确。 2．下面四种瓷砖中，可以用同一种瓷砖密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】密铺指用同一种图形拼接时，拼接点处几个内角的和必须等于360°，不留空隙、不重叠。 正多边形密铺的判断方法：先算出正多边形每个内角的度数，再看360°能否被这个内角度数整除，能整除就可以密铺，不能整除就不可以。 【详解】先判断每个图形的类型和内角度数： 正三角形：每个内角是60°，360°÷60°＝6，能整除，可密铺。 正方形：每个内角是90°，360°÷90°＝4，能整除，可密铺。 正五边形：每个内角是108°，360°÷108°≈3.33，不能整除，不可密铺。 正六边形：每个内角是120°，360°÷120°＝3，能整除，可密铺。 所以能单独密铺的是①②④。 3．下面不属于密铺图案的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，拼接时需满足：图形彼此之间不重叠，无缝隙。依此逐一分析各个选项的正确性。 【详解】A．本选项所给的是用相同的三角形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； B．本选项所给的是用相同的六边形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； C．本选项所给的是用相同的五边形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，但有缝隙，所以不是密铺，是正确选项； D．本选项所给的是用相同的等腰梯形拼接成的图案，图案中的图形之间不重叠，也无缝隙，所以是密铺，不是正确选项； 所以不是密铺的是C选项中的图案。 4．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图形的密铺是：拼接在同一个点的所有内角加起来恰好等于360°，且拼接不留空隙不重叠，即这个图形的内角和能整除360°或被360°整除，则这个图形就能单独密铺。 【详解】A．平行四边形是四边形，四边形的内角和是360°，4个平行四边形的不同内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； B．等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； C．正五边形的每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，在拼接点处无法保证没有空隙或重叠，不能密铺，符合题意； D．正六边形内角和为720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独密铺，不符合题意； 5．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 【答案】D 【分析】图形的密铺是指用一种或几种图形进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠。要实现密铺，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和必须恰好填满该点周围的空间，即角度之和为360°。在角的分类中，360°的角称为周角。直角是90°，钝角是大于90°且小于180°的角，平角是180°，只有周角等于360°。据此即可选择。 【详解】根据分析可知，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个周角时，能密铺成一个平面图形。 6．形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。( ) 【答案】√ 【分析】密铺是指图形之间没有空隙也不重叠。判断一种图形能否密铺，关键看拼接点处的几个角之和是否为。平行四边形是四边形，四边形的内角和是，四个完全相同的平行四边形不同的四个角拼在一起正好是，所以可以密铺。 【详解】平行四边形属于四边形，任意四边形的内角和等于，所以形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。原题说法正确。 故答案为：√ 7．密铺的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加起来等于360°。( ) 【答案】√ 【分析】密铺是指用一种或多种平面图形进行拼接，彼此之间没有空隙也不重叠。 【详解】密铺要求平面图形之间没有空隙也不重叠，所以围绕一点拼在一起的几个多边形的内角之和必须等于 360°。 故答案为：√ 8．同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )            ( )            ( )             ( ) 【答案】 √ × √ × 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种图形，在平面上没有空隙，又不重叠地满铺。 【详解】通过观察： 图①中的各个六边形之间没有空隙，又不重叠，是密铺； 图②中的五边形之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺； 图③中的每个平行四边形之间没有空隙，也不重叠，所以是密铺； 图④中的每个圆之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺。 所以①√；②×；③√；④× 9．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 【答案】 正三角 正四边 正六边 【分析】密铺的要求是图形在拼接点处的内角和等于360°，且能不留空隙、不重叠地铺满平面，据此解答。 【详解】正四边形（正方形）：每个内角是90°，4个90°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正三角形（等边三角形）：每个内角是60°，6个60°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个120°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 因此，在装修时，无论是正方形、正三角形还是正六边形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 10．等边三角形和正六边形( )密铺，正八边形( )密铺。（“能”或“不能”） 【答案】 能 不能 【分析】判断图形能否密铺，需依据密铺的核心条件，图形拼接在同一顶点处的几个内角之和能等于360°，且拼接后无空隙、不重叠，据此分别计算每个正多边形的内角度数，判断其能否整除360°，判断图形能否密铺。 【详解】等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角拼在一起正好是360°，等边三角形能密铺。 正六边形的每个内角是120°，360°÷120°＝3，即3个正六边形的内角拼在一起正好是360°，正六边形能密铺。 正三角形和正六边形能密铺。 正八边形的每个内角是135°，360°÷135°＝2……90，360°不是135°的整数倍，拼接处会有空隙或重叠，正八边形不能密铺。 11．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 【答案】正五边形 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种完全一样的图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此判断图形能否单独密铺的关键是看这个图形的内角和能否被360°整除，或整除360°。据此填空即可。 【详解】三角形内角和为180°，能被360°整除，可以单独密铺； 正方形四个角都是直角，内角和为360°，能被360°整除，可以单独密铺； 正五边形可以分成三个三角形，内角和为540°，不能整除360°，不可以单独密铺； 正六边形可以分成四个三角形，内角和为720°，能整除360°，可以单独密铺。 正五边形不能单独密铺。 12．仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 【答案】 等边三角形 正方形 正六边形 能 【分析】等边三角形：三条边都相等，三个角都相等；正方形：四条边都相等，四个角都是直角；正六边形：六条边都相等，六个角都相等。图形之间没有缝隙也不重复，叫做密铺，依此解答。 【详解】仔细观察如图的图案，它是由等边三角形、正方形、正六边形拼接组成的（先后顺序不唯一）；它们组合到一起能否继续密铺下去？能。 13．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 【答案】(1)360 (2) 梯形 长方形 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则不能密铺。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360°。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：梯形的内角和是：（4－2）×180°＝360°，梯形能密铺；长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成360度，能单独密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360°。 （2）梯形：（4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有梯形、长方形等。（答案不唯一） 14．下面的三幅图，哪一幅图可以看作是密铺？为什么？    【答案】第三幅图形；理由见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1） 用一种或几种全等图形进行拼接：（2）拼接处不留空隙。不重叠：（3）连续铺成一片。据此解答。 【详解】第一幅不是密铺，第二幅不是密铺，第三幅是密铺。理由：因为第一幅图中图形之间有空隙；第二幅图中，图形之间重叠，不是密铺；第三幅图中既不留空隙。也不重叠地铺满，所以是密铺。 【点睛】本题考查平面图形密铺的特点，需熟练掌握。 15．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    【答案】能；见详解 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片。 【详解】能密铺。 如图：    【点睛】掌握密铺图形的定义是解题的关键。 16．如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    【答案】能密铺；画图见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。正方形能密铺，从正方形的一个边去剪一个三角形补在对边的上方，仍能密铺。 【详解】能密铺。方法是把有剪去缺口的一边与补的边上缺口剪下一块的一边，拼接。如图所示：    【点睛】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 17．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【分析】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【详解】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 ☆ 有趣的密铺 内容导航 考点梳理 1 考点一、核心概念定义 1 考点二、密铺的几何原理（重点难点） 1 考点三、组合密铺（拓展知识） 2 考点四、实践操作与设计步骤 3 例题讲解 3 题型一、图形的密铺 3 提升练习 4 考点梳理 考点一、核心概念定义 1. 什么是密铺？ (1) 定义：用一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这种现象叫做密铺（也称镶嵌）。 (2) 关键要素： 1　 无空隙：图形之间没有留下任何空白区域。 2　 不重叠：图形之间没有相互覆盖的部分。 3　 平面性：所有图形必须在同一平面内。 考点二、密铺的几何原理（重点难点） 1. 密铺的根本条件 要实现密铺，关键在于拼接点（顶点）处的角度关系。 (1) 原理：在每一个公共顶点处，几个图形的内角之和必须恰好等于 360°。 (2) 公式表达：若 个相同的多边形在一点拼接，每个多边形的内角为 ，则需满足 。这意味着该多边形的内角必须能整除 360°。 2. 常见图形的密铺判定 (1) 任意三角形 1　 结论：可以密铺。 2　 理由：任意三角形的内角和是 。将6个相同的三角形围绕一个点拼接，每两个角组成一对，总共3对，即 。或者更直观地，通过旋转和平移，任意三角形都能实现密铺。 (2) 任意四边形 1　 结论：可以密铺。 2　 理由：任意四边形的内角和是 。将4个相同的四边形围绕一个点拼接，使四个不同的内角汇聚于一点，其和恰好为 。 (3) 正多边形 只有部分正多边形可以单独进行密铺。判断依据是：正多边形的一个内角能否整除 360°。 图形名称 边数 ( ) 单个内角度数 能否整除 360° 能否单独密铺 正三角形 3 能 正方形 4 能 正五边形 5 不能 正六边形 6 能 正八边形 8 不能 记忆口诀：三角、正方、六边形，单独密铺最可行；五边八边行不通，角度不合难拼成。 考点三、组合密铺（拓展知识） 虽然某些正多边形不能单独密铺，但它们可以与其他图形组合实现密铺。 1. 常见组合示例 (1) 正方形 + 正八边形： 1　 正八边形内角 ，正方形内角 。 2　 拼接方式：2个正八边形 + 1个正方形 = 。 (2) 正三角形 + 正六边形： 1　 拼接方式1：2个正三角形 + 2个正六边形 = 。 2　 拼接方式2：4个正三角形 + 1个正六边形 = 。 2. 非规则图形密铺 (1) 通过平移、旋转、轴对称等几何变换，可以将不规则图形转化为可密铺的单元。 (2) 方法：剪补法。例如，从正方形的一边剪下一块，平移补到对边，形成的新图形依然可以密铺。 考点四、实践操作与设计步骤 1. 设计流程 (1) 选择基础图形：确定是使用单一图形还是组合图形。 (2) 验证角度：计算拼接点处的角度和是否为 360°。 (3) 绘制单元：在纸上画出基础图形。 (4) 变换复制：利用平移或旋转，复制出相邻的图形。 (5) 美化装饰：在基本骨架上进行色彩填充或图案修饰（参考埃舍尔风格）。 2. 注意事项 (1) 作图时要保证线条平直，角度准确。 (2) 色彩搭配要和谐，突出密铺的规律美。 (3) 注意区分“密铺”与“堆叠”，密铺必须是二维平面的无缝连接。 例题讲解 题型一、图形的密铺 【典例例题】下面是仅用一种正多边形进行密铺的图案。 你认为仅用正五边形能密铺吗？（能   不能）打“√”。 你发现仅用一种正多边形可以密铺的“奥秘”是：___________________。 举一反三 【变式训练1】下面四种图形中，不能单独密铺地面的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】王阿姨打算给厨房地面铺地砖，选用的五边形地砖可以单独密铺。( ) 【变式训练3】在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 提升练习 1．学校教室要进行翻修，要密铺地板，建材市场有以下几种板砖，（    ）不能选。 A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正五边形 2．下面四种瓷砖中，可以用同一种瓷砖密铺的是（    ）。 A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 3．下面不属于密铺图案的是（    ）。 A． B． C． D． 4．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 5．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角和加在一起恰好组成一个（    ）时，能密铺成一个平面图形。 A．直角 B．钝角 C．平角 D．周角 6．形状、大小完全相同的平行四边形可以密铺。( ) 7．密铺的关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加起来等于360°。( ) 8．同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )            ( )            ( )             ( ) 9．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 10．等边三角形和正六边形( )密铺，正八边形( )密铺。（“能”或“不能”） 11．如图在研究图形的密铺时，以下图形( )不能单独密铺。 12．仔细观察如图的图案，它是由( )、( )、( )拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？( )（填“能”或“否”） 13．图形的密铺。 (1)经过观察，我们发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为( )°。 (2)能单独进行密铺的图形还有( )( )等。 14．下面的三幅图，哪一幅图可以看作是密铺？为什么？    15．几个完全相同的图形（如图所示），能密铺吗？如果可以，试着画一画。    16．如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    17．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $