3.2.1 单调性与最大（小）值 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

"本讲义聚焦函数基本性质，系统梳理单调性（含定义、等价形式、单调区间及常见函数单调性）、最大（小）值（含定义与求法）、奇偶性（含定义、图像特征）等核心知识点，构建从基础概念到综合应用的学习支架。\n资料通过表格对比、题型分层设计（如单调性判断证明、单调区间求解、奇偶性应用）培养学生数学思维与推理能力，结合跟踪训练和练习题强化数学语言表达，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。"

3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点一、函数的单调性 1.单调递增与单调递减 名称 单调递增与增函数 单调递减与减函数 定义 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图 形 表 示 几何 意义 函数图像在区间I上从左到右是上升的 函数图像在区间I上从左到右是下降的 2.单调递增和单调递减定义的等价形式 （1）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0或，则f(x)在区间I 上单调递增. （2）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0或，则f(x)在区间I 上单调递减. 3.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 4.常见函数的单调性 （1）一次函数：y=ax+b(a≠0). ①a>0时，在R上单调递增；②a<0时，在R上单调递减. （2）反比例函数：. ①a>0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减； ②a<0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增. （3）二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0). ①a>0时，在（-∞，）单调递减，在（，+∞）上单调递增； ②a<0时，在（-∞，）单调递增，在（，+∞）上单调递减. 知识点二、函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 2.求函数最大（小）值常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 题型一：函数单调性的判断与证明 例1.判断函数在上的单调性. 跟踪训练： 1.利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 2.用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性． 题型二：求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 跟踪训练： 1.求下列函数的单调区间 （1）. （2）. （3）f(x)＝. 题型三：函数单调性的应用 例1.（1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为 ． 例2.（1）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． （2）已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 跟踪训练： 1.已知函数在上单调递减，试比较与的大小. 2.已知在定义域上单调递增，则不等式的解集为 . 3.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 . 4.若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 . 题型四：求函数的最值 例1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 例2.求函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . 例3.已知函数f(x)＝x＋.求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． 跟踪训练： 1.已知函数f(x)＝,求函数f(x)的最大值、最小值． 2.设，求在上的最大值. 3.已知函数在区间上的最小值为，求实数的值. 1.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　) A． [－3,1] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,4] D．[－4,4] 2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 3.函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A． f(3)>f(5) B．f(3)≥f(5) C．f(3)≤f(5) D．f(3)<f(5) 4.已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,8 B．8,6 C．10,6 D．以上都不对 5.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是 ． 6.已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为 ． 7.若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是 ． 8.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝ ，b＝ ． 1.(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数f(x)＝，在定义域上是减函数 D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 2.函数f(x)＝x＋，x∈[0,4]的值域为(　　) A．[0,3] B．[1,4] C．[0,6] D．[0,4] 3.函数f(x)＝，的最大值为(　　) A． B． C.2 D.1 4.若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　) A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1) C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1) 5.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　) A. B. C. D. 6.已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 7.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(3，＋∞) C. D.(－∞，－3] 8.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是 ． 9.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为 ． 10.函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为 ；最小值为 ． 11.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 12.已知函数，满足对任意的，都有，则的取值范围是 . 13.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝. (1)求m，n的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明． 14.已知函数f(x)＝(x>0)． (1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 15.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)是R上的减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值． 16.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)． 3.2.2 奇偶性 知识点一、函数的奇偶性 奇、偶函数的定义 名称 定义 等价形式 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)－f(x)=0； . 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)+f(x)=0； . 知识点二、奇、偶函数的图像 1.奇、偶函数的图像特征 （1）奇函数：若f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称； （2）偶函数：若f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称； 2.函数奇偶性与单调性的关系 （1）奇函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相同的单调性； （2）偶函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相反的单调性. 题型一：判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）； （3）；（4）. 跟踪训练： 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝. 题型二：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求函数值 例1.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 跟踪训练： 1.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 2.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A. B. C. D. 3.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝，则 f(f(－2))＝________. 2.利用奇偶性求函数解析式 例1.函数是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式. 例2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 跟踪训练： 1.已知是定义在上的偶函数，当时，，求函数的解析式. 2.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 3.（1）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． （2）已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式． 3.已知奇偶性求参数的值 例1.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 跟踪训练： 1.已知函数是定义在上的偶函数，则 , . 2.若函数为奇函数，则( ) A.B.C.D. 3.已知函数为奇函数，则 . 题型三：函数奇偶性与其他性质的综合应用 1.利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例1.设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 跟踪训练： 1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(－5) f(3)．(填“>”或“<”) 2.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 2.利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式 例1.已知函数在定义域上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为 . 例2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则 的解集为 ． 跟踪训练： 1.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) A B C D 3.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 4.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f(2)<f(－1)<  B．<f(－1)<f(2) C．f(2)<<f(－1) D．f(－1)<<f(2) 5.已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A． f(1)＝f(2) B．f(1)>f(2) C． f(1)<f(2) D．以上都有可能 6.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝ . 7.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是 . 8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是 . 1.(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 2.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 3.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　) A．这个函数仅有一个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 5.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递增且最大值为－5 C．单调递减且最小值为－5 D．单调递减且最大值为－5 6.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 8.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<< B．<f(1)< C．<f(1) D．<f(1)< 9.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 10.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法： ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④ ＝－1. 其中一定正确的为 ．(填序号) 11.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝ ． 12.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是 ． 13.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为 ． 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝ 时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 15.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0. 16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． 17.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 知识点一、函数的单调性 1.单调递增与单调递减 名称 单调递增与增函数 单调递减与减函数 定义 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 一般地设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D：如果∀x1，x2∈I，x1<x2，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 图 形 表 示 几何 意义 函数图像在区间I上从左到右是上升的 函数图像在区间I上从左到右是下降的 2.单调递增和单调递减定义的等价形式 （1）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]>0或，则f(x)在区间I 上单调递增. （2）∀x1，x2∈I，且x1≠x2，都有（x1-x2）[f(x1)-f(x2)]<0或，则f(x)在区间I 上单调递减. 3.单调区间 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 4.常见函数的单调性 （1）一次函数：y=ax+b(a≠0). ①a>0时，在R上单调递增；②a<0时，在R上单调递减. （2）反比例函数：. ①a>0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递减； ②a<0时，在（-∞，0）和（0，+∞）上单调递增. （3）二次函数：y=ax2+bx+c(a≠0). ①a>0时，在（-∞，）单调递减，在（，+∞）上单调递增； ②a<0时，在（-∞，）单调递增，在（，+∞）上单调递减. 知识点二、函数的最大（小）值 1.函数的最大（小）值的定义 最大值 最小值 条件 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：∀x∈I，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 称M是函数y＝f(x)的最大值 称M是函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 2.求函数最大（小）值常用方法 （1）图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． （2）运用已学函数的值域． （3）运用函数的单调性： ①若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． ②若y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． （4）分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． 题型一：函数单调性的判断与证明 例1.判断函数在上的单调性. 解：任取，且， 则. 当时，， 即，即， 所以在上单调递减； 当时，，， 即，所以在上单调递增. 综上所述，在上单调递增，在上单调递减. 跟踪训练： 1.利用单调性的定义，证明函数f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 证明：∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝. 因为－1<x1<x2，所以x2－x1>0，x1＋1>0，x2＋1>0， 所以>0， 即f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 所以f(x)＝在(－1，＋∞)上单调递减． 2.用定义判断函数f(x)＝在(－2，＋∞)上的单调性． 解：设－2<x1<x2， 则f(x2)－f(x1)＝. ∵－2<x1<x2，∴x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0， 故当a<时，f(x2)－f(x1)<0，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递减． 当a>时，f(x2)－f(x1)>0，∴f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 综上得，当a<时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递减； 当a>时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增． 题型二：求函数的单调区间 例1.求下列函数的单调区间 (1)f(x)＝； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3. 解：(1)函数f(x)＝的单调区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都单调递增． (2)当x≥1时，f(x)单调递增，当x<1时，f(x)单调递减，所以f(x)的单调区间为(－∞，1)， [1，＋∞)，并且函数f(x)在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增． (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上单调递增，在(－1,0)，[1，＋∞)上单调递减． 跟踪训练： 1.求下列函数的单调区间 （1）. （2）. （3）f(x)＝. 解：（1）令. 画出的图象，保留其在轴及其上方部分，将位于轴下方的部分翻折到轴上方，得到的图象，如图所示. 由图象可得，函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是和. （2）令. 先画出的图象，再画出其关于轴对称的图象，即将轴右侧的图象翻折到轴的左侧，得到的图象，如图所示. 由图象可得，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为和. （3）作出f(x)的图象如图． 有图像可知，函数的单调递增区间为[，2]，函数单调递减区间[0，]和[2，+∞）. 题型三：函数单调性的应用 例1.（1）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上单调递增，则实数a的取值范围是 ． （2）若函数f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的单调递增区间是(－∞，3]，则实数a的值为 ． 解：（1）f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由f(x)在(－∞，3]上单调递增知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]．故答案为：(－∞，－4]． （2）解：f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]，由题意得－a－1＝3，a＝－4.故答案为：－4. 例2.（1）已知函数y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． （2）已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，且f(2x－3)>f(5x－6)，则实数x的取值范围为 ． 解：（1）∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，且f(2x－3)>f(5x－6)， ∴2x－3>5x－6，即x<1.∴实数x的取值范围为(－∞，1)． （2）由题意可知： ，解得x>，∴x的取值范围为（，+∞）. 跟踪训练： 1.已知函数在上单调递减，试比较与的大小. 解：因为(当且仅当时取等号)， 所以与都在区间内. 又因为在区间上单调递减， 所以(当且仅当时取等号). 2.已知在定义域上单调递增，则不等式的解集为 . 解：由题意，得：，解得.① 因为在定义域上单调递增，且， 所以，解得.② 由①②得.所以不等式的解集为. 3.若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是 . 解：因为函数在区间上不单调，且函数的图象的对称轴为直线，所以对称轴在区间内部. 所以，所以.故答案为：. 4.若f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)<f(－2x＋8)的解集是 . 解：依题意，得不等式组，解得：<x≤4.故答案为：(，4]. 题型四：求函数的最值 例1.求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 解：y＝|x＋1|－|x－2|＝，作出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]． 所以函数的最大值为3，最小值为－3. 例2.求函数在区间上的最大值为 ，最小值为 . 解：，对称轴，开口向上. 最小值在顶点： 比较端点：， 故最大值，最小值.故答案为：最大值为8，最小值为. 例3.已知函数f(x)＝x＋.求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值． 解：由(1)可知f(x)在[1,4]上单调递增， ∴当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝2， 当x＝4时，f(x)取得最大值，最大值为f(4)＝. 综上所述，f(x)在[1,4]上的最大值是，最小值是2. 跟踪训练： 1.已知函数f(x)＝,求函数f(x)的最大值、最小值． 解：作出f(x)的图象如图． 由图象可知，当x＝2时，f(x)取最大值为2；当x＝时，f(x)取最小值为－. 所以f(x)的最大值为2，最小值为－. 2.设，求在上的最大值. 解：时，递增，最大值. 时，递增，最大值. 两段最大值中最大的为1 3.已知函数在区间上的最小值为，求实数的值. 解：，对称轴，分三类讨论： 若：在上递增，最小值，矛盾，舍去. 若：最小值在顶点，均不在内，舍去. 若：在上递减，最小值. 综上，. 1.函数y＝f(x)，x∈[－4,4]的图象如图所示，则f(x)的单调递增区间是(　　) A． [－3,1] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,4] D．[－4,4] 解：由图象知单调递增区间为[－3,1]．故选：A. 2.设函数f(x)＝2x－1(x<0)，则f(x)(　　) A．有最大值 B．有最小值 C．既有最大值又有最小值 D．既无最大值又无最小值 解：∵f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)<f(0)＝－1，故函数既无最大值又无最小值. 故选：D. 3.函数f(x)在R上是减函数，则有(　　) A． f(3)>f(5) B．f(3)≥f(5) C．f(3)≤f(5) D．f(3)<f(5) 解：因为函数f(x)在R上是减函数，3<5，所以f(3)>f(5)．故选：A. 4.已知函数f(x)＝ 则f(x)的最大值、最小值分别为(　　) A．10,8 B．8,6 C．10,6 D．以上都不对 解：当－1≤x<1时，6≤f(x)<8；当1≤x≤2时，8≤f(x)≤10，所以f(x)的最大值、最小值分别为10,6.故选：C. 5.已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)<f(－x)，则x的取值范围是 ． 解：x2－2<－x，即x2＋x－2<0，解得－2<x<1.故答案为：(－2,1). 6.已知函数f(x)＝，则f(x)的最大值为 ． 解：f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)＝2.故答案为：2. 7.若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是 ． 解：函数f(x)＝的单调递减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.故答案为：[－1，＋∞). 8.函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝ ，b＝ ． 解：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3，∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9，得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2.故答案为：－2，0. 1.(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数f(x)＝，在定义域上是减函数 D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 解：当x1<x2时，x1－x2<0，>0知f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，A正确； 作出函数f(x)＝，的图象可知其在定义域上是减函数，所以C正确；B和D错误．故选：AC. 2.函数f(x)＝x＋，x∈[0,4]的值域为(　　) A．[0,3] B．[1,4] C．[0,6] D．[0,4] 解：∵函数y＝x＋在区间[0,4]上单调递增，所以f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0,6]．故选：C. 3.函数f(x)＝，的最大值为(　　) A． B． C.2 D.1 解：当x≥1时，函数f(x)＝单调递减，此时f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝1； 当x<1时，函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，最大值为f(0)＝2. 综上可得，f(x)的最大值为2.故选：C. 4.若f(x)在R上是减函数，则f(－1)与f(a2＋1)之间有(　　) A．f(－1)≥f(a2＋1) B．f(－1)>f(a2＋1) C．f(－1)≤f(a2＋1) D．f(－1)<f(a2＋1) 解：∵f(x)在R上是减函数，∴对任意x1，x2，若x1<x2，均有f(x1)>f(x2)． 又∵－1<a2＋1，∴f(－1)>f(a2＋1)．故选：B. 5.设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则等于(　　) A. B. C. D. 解：易知f(x)＝＝2＋，所以f(x)在区间[3,4]上单调递减， 所以M＝f(3)＝2＋＝6，m＝f(4)＝2＋＝4，所以.故选：C. 6.已知定义在上的函数满足，对任意的实数且，，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 解：因为对任意的实数且，， 所以.设，则为上的增函数. 因为 ，所以，即.所以不等式的解集为. 故选：B. 7.若函数y＝x2＋(2a－1)x＋1在区间(－∞，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A. B.(3，＋∞) C. D.(－∞，－3] 解：∵函数y＝x2＋(2a－1)x＋1的图象开口向上，直线x＝为函数的对称轴，又∵函数在区间(－∞，2]上单调递减，故2≤，解得a≤.故选：C. 8.已知f(x)是定义在区间[－1,1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是 ． 解：由题意，得：，解得1≤x<.故答案为：[1,). 9.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间为 ． 解：y＝|x|(1－x)＝，作出其图象如图， 观察图象知单调递增区间为.故答案为：. 10.函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最大值为 ；最小值为 ． 解：设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋ ＝(x1－x2) ＝. ∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0， ∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上单调递减．同理：f(x)在[2,4]上单调递增． ∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5. 故答案为：5,4. 11.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 解：①a＝0时，f(x)＝－3x＋1在R上单调递减，∴a＝0满足条件； ②a≠0时，f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1， 对称轴为x＝，∴，解得－3≤a<0.故答案为：[－3,0]. 12.已知函数，满足对任意的，都有，则的取值范围是 . 解：根据题意知，在上单调递减， 所以函数在上单调递减，函数在上单调递减，且有，所以，解得.所以的取值范围为. 故答案为：. 13.已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝. (1)求m，n的值； (2)当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并用定义证明． 解：(1)因为f(1)＝m＋＋＝2，f(2)＝2m＋＋＝.所以. (2)由(1)知f(x)＝x＋＋，f(x)在x∈[1，＋∞)上单调递增，证明如下： 设1≤x1<x2， f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－(x2＋＋) ＝(x1－x2)（1－）＝.. 因为1≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>1， 所以2x1x2>2>1，所以<0， 即f(x1)<f(x2)，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增． 14.已知函数f(x)＝(x>0)． (1)求证：f(x)在(0,1]上单调递增； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． (1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0,1]上单调递增． (2)解：当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值． 15.已知函数f(x)对任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－. (1)求证：f(x)是R上的减函数； (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值． (1)证明：设x1，x2是任意的两个实数，且x1<x2，则x2－x1>0， 因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0， 又因为x2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)， 所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)<f(x1)． 所以f(x)是R上的减函数． (2)解：由(1)可知f(x)在R上是减函数， 所以f(x)在[－3,3]上也是减函数， 所以f(x)在[－3,3]上的最小值为f(3)． 而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2. 所以函数f(x)在[－3,3]上的最小值是－2. 16.求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)． 解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a. (1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增， 所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a. (3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内， 所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1. (4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减， 所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1. 综上所述，M(a)＝，m(a)＝. 3.2.2 奇偶性 知识点一、函数的奇偶性 奇、偶函数的定义 名称 定义 等价形式 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)－f(x)=0； . 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 ∀x∈I，都有－x∈I，有： f(－x)+f(x)=0； . 知识点二、奇、偶函数的图像 1.奇、偶函数的图像特征 （1）奇函数：若f(x)为奇函数f(x)的图像关于原点对称； （2）偶函数：若f(x)为偶函数f(x)的图像关于y轴对称； 2.函数奇偶性与单调性的关系 （1）奇函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相同的单调性； （2）偶函数f(x)在区间（a,b）和（-b,-a）上具有相反的单调性. 题型一：判断函数的奇偶性 例1.判断下列函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）的定义域为，不关于原点对称， 所以是非奇非偶函数. （2）的定义域为. （方法1定义法）因为，都有且，所以是偶函数. （方法2性质法）因为和都是偶函数， 所以是偶函数. （3）函数的定义域为， ，都有. 又当时，，则. （方法1定义法）因为， 所以是奇函数. （方法2验证法）因为， 所以是奇函数. （4）的定义域为. 都有. ，. 因为，所以不是偶函数. 又因为，所以不是奇函数. 所以是非奇非偶函数. 跟踪训练： 1.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝2－|x|； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝； (4)f(x)＝. 解：(1)函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)， 所以f(x)为偶函数． (2)函数f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称， 则f(x)＝0，又f(－x)＝f(x)，且f(－x)＝－f(x)，所以f(x)既是偶函数又是奇函数． (3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x>0时，－x<0，f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)； 当x<0时，－x>0，f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x)． 综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 题型二：函数奇偶性的应用 1.利用奇偶性求函数值 例1.已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________. 解：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2， 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.故答案为：7. 跟踪训练： 1.已知，且，则（ ） A. B. C. D. 解：令，易知是上的奇函数，所以.又，所以，所以， 所以，所以.故选：A. 2.已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则( ) A. B. C. D. 解：用替换.由于，得. 因为分别是定义在R上的偶函数和奇函数， 所以， 所以.故选：D. 3.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝，则 f(f(－2))＝________. 解：因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝0，所以f(f(－2))＝f(0)＝1.故答案为：1. 2.利用奇偶性求函数解析式 例1.函数是定义域为的奇函数，当时，，求的解析式. 解：设，则，所以. 又因为函数是定义域为的奇函数， 所以，所以当时，. 又当时，，所以. 例2.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式． 解：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数， ∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)， 由f(x)＋g(x)＝.①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝， ∴f(x)－g(x)＝，② (①＋②)÷2，得f(x)＝；(①－②)÷2，得g(x)＝. 跟踪训练： 1.已知是定义在上的偶函数，当时，，求函数的解析式. 解：设，则.因为当时，， 所以. 因为是定义在上的偶函数，所以. 故. 2.若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式． 解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3， 由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－x2－2x－3. 即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3. 又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.故f(x)＝. 3.（1）设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式． （2）已知f(x)是R上的偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x2＋x－1，当x∈(－∞，0)时，求f(x)的解析式． 解：（1）设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x. 又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，综上可知f(x)＝. （2）设x<0，则－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋(－x)－1＝x2－x－1， 又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. 3.已知奇偶性求参数的值 例1.设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________. 解：因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即. 显然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.故答案为：-1. 跟踪训练： 1.已知函数是定义在上的偶函数，则 , . 解：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以（区间端点互为相反数） 解得，所以.又，即，所以（等式两边对应系数相等），即. 故答案为：1，-3. 2.若函数为奇函数，则( ) A.B.C.D. 解：因为为奇函数，所以，即， 整理得因为此式恒成立，所以项的系数为. 所以，即.此时定义域关于原点对称，符合题意.故选：A. 3.已知函数为奇函数，则 . 解：(方法1定义法)当时，，. 又因为为奇函数，所以，即， 所以，所以. (方法2特殊值法)由题意知， 即，解得， 经检验知，为奇函数，故. 故答案为：0 题型三：函数奇偶性与其他性质的综合应用 1.利用函数的奇偶性与单调性比较大小 例1.设函数f(x)的定义域为R，对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，当x∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)<f(－3)<f(－2) D．f(π)<f(－2)<f(－3) 解：由偶函数与单调性的关系知，若x∈[0，＋∞)，f(x)单调递增，则x∈(－∞，0)时，f(x)单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|<|－3|<π，∴f(π)>f(－3)>f(－2)．故选：A. 跟踪训练： 1.已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在[2,6]上单调递减，则f(－5) f(3)．(填“>”或“<”) 解：∵f(x)为偶函数，∴f(－5)＝f(5)，而函数f(x)在[2,6]上单调递减，∴f(5)<f(3)，∴f(－5)<f(3)． 故答案为：<. 2.已知定义在上的奇函数满足，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 解：因为满足，所以. 又在上是奇函数，所以，故，所以. 由及，得. 又在区间上单调递增，所以，即， 所以，，于是.故选：D. 2.利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式 例1.已知函数在定义域上既是奇函数，又是减函数，若，则实数的取值范围为 . 解：由，得. 因为在上是奇函数， 所以， 所以. 又因为在上单调递减， 所以，解得. 故答案为：. 例2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若f(－3)＝0，则 的解集为 ． 解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．∴f(3)＝f(－3)＝0. 当x>0时，由f(x)<0，解得x>3；当x<0时，由f(x)>0，解得－3<x<0. 故所求解集为{x|－3<x<0或x>3}．故答案为：{x|－3<x<0或x>3}． 跟踪训练： 1.若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 解：因为函数为定义在上的奇函数，所以. 又在上单调递减，且，画出函数的大致图象如图(1)所示. 则函数的大致图象如图(2)所示. 由图象可知，当时，要满足，则，即. 当时，要满足，则，即. 故满足的的取值范围是.故选：D. 2.设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，求实数m的取值范围． 解：因为f(x)是奇函数且f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)在[－2,2]上单调递减． 所以不等式f(1－m)<f(m)等价于，解得－1≤m<. 所以实数m的取值范围为[-1，）. 1.函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于(　　) A．1 B．－1 C．0 D．无法确定 解：∵奇函数的定义域关于原点对称，∴a－1＝0，即a＝1.故选：A. 2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是(　　) A B C D 解：选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C，D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数．故选：B. 3.(多选)下列函数是奇函数的是(　　) A．y＝x(x∈[0,1]) B．y＝3x2 C．y＝ D．y＝x|x| 解：利用奇函数的定义，首先定义域关于原点对称，排除选项A；又奇函数需满足f(－x)＝－f(x)，排除选项B.故选：CD. 4.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f(2)<f(－1)<  B．<f(－1)<f(2) C．f(2)<<f(－1) D．f(－1)<<f(2) 解：∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)．又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<<－1，∴f(2)＝f(－2)< <f(－1)．故选：C. 5.已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则(　　) A． f(1)＝f(2) B．f(1)>f(2) C． f(1)<f(2) D．以上都有可能 解：∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)． 故选：B. 6.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝ . 解：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x＋1，又f(x)为奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x－1. 故答案为：x－1. 7.已知定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上单调递增，若f(a)>f(3)，则实数a的取值范围是 . 解：由题意可知|a|<3，解得－3<a<3.故答案为：(－3,3). 8.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是 . 解：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0)．故答案为：f(－2)<f(1)<f(0)． 1.(多选)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 解：选项ABC中的函数满足f(－x)＝－f(x)，由奇函数的定义可知选ABC.故选：ABC. 2.若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为(　　) A．[1，＋∞) B．(－∞，0] C．[0，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解：因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数f(x)在(－∞，0]上单调递增．故选：B. 3.一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图象如图，下列说法正确的是(　　) A．这个函数仅有一个单调递增区间 B．这个函数有两个单调递减区间 C．这个函数在其定义域内有最大值7 D．这个函数在其定义域内有最小值－7 解：根据偶函数在[0,7]上的图象及其对称性，作出函数在[－7,0]上的图象，如图所示， 可知这个函数有三个单调递增区间；有三个单调递减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选：C. 4.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－2 解：f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－＝－2.故选：D. 5.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1,3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递增且最大值为－5 C．单调递减且最小值为－5 D．单调递减且最大值为－5 解：∵f(x)为奇函数，∴f(x)在[1,3]上的单调性与[－3，－1]上一致且f(1)为最小值，又已知f(－1)＝5，∴f(－1)＝－f(1)＝5，∴f(1)＝－5.故选：A. 6.设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(1)＝0，则不等式的解集为(　　) A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－1,0)∪(0,1) C．(－∞，－1)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解：∵f(x)为奇函数即， ∵f(x)在(0，＋∞)上单调递减且f(1)＝0，∴当x>1时，f(x)<0， . ∵奇函数图象关于原点对称，∴在(－∞，0)上f(x)单调递减且f(－1)＝0， ∴当x<－1时，f(x)>0，综上，的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．故选：D. 7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中不正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解：∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|为偶函数，|g(x)|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)|g(x)|为奇函数．故选：ABD. 8.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)<< B．<f(1)< C．<f(1) D．<f(1)< 解：∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数f(x)的图象关于直线x＝2对称， ∴＝，＝，又f(x)在[0,2]上单调递增，∴<f(1)<， 即<f(1)<.故选：B. 9.已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝ ． 解：由奇函数定义有f(－x)＋f(x)＝0，得a(－x)2＋2(－x)＋ax2＋2x＝2ax2＝0，故a＝0. 故答案为：0. 10.若f(x)为R上的奇函数，给出下列四个说法： ①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)－f(－x)＝2f(x)；③f(x)·f(－x)<0；④ ＝－1. 其中一定正确的为 ．(填序号) 解：∵f(x)在R上为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0，故①正确． f(x)－f(－x)＝f(x)＋f(x)＝2f(x)，故②正确． 当x＝0时，f(x)·f(－x)＝0，故③不正确． 当x＝0时，母为0，无意义，故④不正确．故答案为：①②. 11.函数f(x)在R上为偶函数，且x>0时，f(x)＝＋1，则当x<0时，f(x)＝ ． 解：∵f(x)为偶函数，x>0时，f(x)＝＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝＋1， 即x<0时，f(x)＝＋1.故答案为：＋1. 12.已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是 ． 解：因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)＝f(|x－1|)．又因为f(2)＝0， 所以f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>f(2)．又因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以|x－1|<2，解得－2<x－1<2，所以－1<x<3.故答案为：(－1,3). 13.已知定义域为[a－4,2a－2]的奇函数f(x)＝2 020x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为 ． 解：奇函数的图象关于原点对称，所以a－4＋2a－2＝0，所以a＝2， 因为函数f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即b＋2＝0，故b＝－2，所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.故答案为：0. 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，且f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则当x＝ 时，f(x)取得最大值；若不等式f(0)<f(m)成立，则m的取值范围是 ． 解：由f(1－x)＝f(1＋x)知，f(x)的图象关于直线x＝1对称，又f(x)在[1，＋∞)上单调递减，则f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以当x＝1时f(x)取得最大值．由对称性可知f(0)＝f(2)，由f(0)<f(m)，得0<m<2，即m的取值范围为(0,2)．故答案为：1，(0,2). 15.已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1,1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0. 解：∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数， 由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得f(1－x)<－f(1－2x)，即f(1－x)<f(2x－1)． 又∵f(x)在(－1,1)上是减函数， ∴，解得0<x<，∴原不等式的解集为. 16.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， (1)求证：f(x)是奇函数； (2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12)． 解：(1)证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)， 令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0. 所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)， 故f(x)是奇函数． (2)解：由(1)知f(x)为奇函数． 所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a. 又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)， 所以f(12)＝－4a. 17.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有>0. (1)若a>b，试比较f(a)与f(b)的大小关系； (2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围． 解：(1)因为a>b，所以a－b>0，由题意得>0，所以f(a)＋f(－b)>0. 又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－b)＝－f(b)，所以f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b)． (2)由(1)知f(x)为R上的增函数，因为f(1＋m)＋f(3－2m)≥0， 所以f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，所以1＋m≥2m－3，所以m≤4. 所以实数m的取值范围为(－∞，4]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $