2026年高二数学秋季开学学情自测卷01（江苏专用，测试范围：苏教版选修一第1章~第二章+必修二内容）

"**基本信息** \n2026年秋季高二开学数学学情自测卷，聚焦苏教版必修二与选必一第1、2章内容，通过文化情境（如少林寺仰角测量）、生活实践（投资利润模型）设计试题，分层考查数学抽象、逻辑推理及数学建模素养，适配开学学情诊断需求。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|选择题|11题/58分|直线方程、复数、正三棱台体积、向量旋转|单选第8题结合网格向量旋转考查空间观念，多选第11题翻折问题融合几何直观与运算能力|\n|填空题|3题/15分|解三角形、函数模型、圆的方程|第12题以少林寺为背景考查解三角形，体现文化传承；第13题投资利润模型渗透数学建模|\n|解答题|5题/77分|复数运算、三角函数、圆的方程、立体几何、函数不等式|第18题四棱锥问题综合考查空间想象与逻辑推理；第19题函数与不等式结合，强化创新应用能力|"

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 O 数学 .: .: (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：苏教版必修二+选必一第1,2章 O : 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 : 求的。 ·: 尽 1.sin-330)=() : A.-3 8. 2 . 2.若复数z满足正-2=i,则=() : A.√2 B.3 C.2 D.5 3.已知直线4：x+2y+1=0,4:(a-1)x-y-1=0,当4⊥1时，实数a的值为() .: · A.0 B.-1 C.3 0. 照 4.已知正三棱台ABC-AB,C1的高为4，口ABC的内切圆和△ABC1的外接圆的半径均为1，则该正三棱台 : 的体积为() A.75 B.145 c.213 D.28√5 O 5.某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每 次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为b,则() 别 A.b=9 1 8.b=3 C.bo 0.b=10 6.已知A(-1,4),B(2,3)两点，若过点P(0,-2)的直线1与线段AB有交点，则直线1的斜率的取值范围为 : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 A. [引 （-房+】 o.←m-d3+w） 7.已知函数f(x)=e-ax有两个不同的零点，则实数a的取值范围是() A.(0,1) B.(1,e) C.(e,+oo) D.(0,e) 8.已知向量市，元，a在正方形网格中的位置如图所示，将币绕着起点顺时针方向旋转90°后得到向量， 若i=1a-m,则m+n=（) D B 7 1 A.- 8.2 c D. 5-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知三条直线2x-3y+1=0,4x+3y+5=0,x-y-1=0不能构成三角形，则实数m的取值可以是() A青 c D.2 10.在DABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,则下列命题正确的是() A.若a=5,b=8,A=30°，则三角形有两解 已知向量m=(siA,cosA),n=3,V3),若m与n的夹角为锐角，则A的取值范围为0，？ C.若B>90°，C=60,则2的取值范围为(2，+∞) D.若DABC的外心为0，且c=6,b=4,则AO.BC=-10. 11.如图所示，正三角形ABC中，D,E分别为边AB,AC的中点，其中AB=8,把△ADE沿着DE翻折至 A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是() 试题第2页（共6页） 66学科网·上好课 A.点A'到平面BCED的距离为3 B.直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为 C.A'D⊥BD D.四棱锥A'BCED的外接球半径为237 3 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山 茂密丛林之中，故名“少林寺”.在少室山上倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌嶒参差，大有一览众山小”之气 势.山峰间云岚瞬息万变，美不胜收.如图，某人在山脚A处（海拔约为350米）测得观看日出的最佳观 测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1050米到达休息点D,此时测得B处的仰角 约为75°，则B处的海拔约为米. 13.现生产一款产品，其利润y(单位：万元)和投资x(单位：万元)的关系可以近似用函数y=ax+b(x>0) 表示若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则y≥x时投资x的范围是 随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为 ·(单位：万元) 14.圆C:(x-2)+y2=1上存在点P满足：P到原点的距离与P到直线1：y=x的距离之比为√互，则k的 取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(13分) 已知1=a+2i,2=3+4i（其中i为虚数单位). (1)若互为纯虚数，求实数a的值； (2)若名-<（其中五是复数a的共轭复数），求实数a的取值范围. 试题第3页（共6页） 民 张 16.(15分) 河 在单位圆中，已知锐角“的终边与单位圆交于点P 将角α的终边按照逆时针方向旋转B(0<B< 数 游 : 交单位圆于点Q (L求5sin(a++cos的值： 2cos a-v3 sin a (2)求cosB的值. 肉 性 试题第4页（共6页） 17.(15分) 己知圆C在x轴上交点的横坐标为-1和3，在y轴上一个交点的纵坐标为1. (1)求圆C的标准方程： (2)若过点(2，√3-1)的直线1被圆C截得的弦AB的长为4，求直线1的倾斜角： : 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD,四边形ABCD为矩形，PC⊥PD,PC=PD=AD=2, M为PA的中点. 蝶 B (1)求异面直线AB与PD所成的角： (2)求证：平面ACP⊥平面MCD: (3)求二面角C-MD-P的余弦值. 试题第5页（共6页） o6学科网·上好课 19.(17分) 已知函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<π). 设8)-了倒-+写引f)为偶图数，若存在x∈0引，使不等式()+m<2成立，求实数m的 L2 取值范围； (2)已知函数∫()的图象过点 石设M)=cosx+2asm,若对任意的[受习总存在无∈0 使h(:)<f(x)+3成立，求实数a的取值范围. 试题第6页（共6页） 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 2．若复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算. 【详解】解：由题意知，， ， ∴， 故选：D. 3．已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用两条直线相互垂直列式计算得解. 【详解】由直线：与：垂直，得， 所以. 故选：C 4．已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据三角形面积公式和正弦定理求出和的边长，进而求出两三角形面积，利用台体体积公式进行求解. 【详解】和均为等边三角形，设边长为， 故，又， 故，解得，故， 在中，由正弦定理得，解得， 故， 故正三棱台体积为. 故选：A. 5．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等即可求解. 【详解】因为总体中共有10个个体， 所以五班第一次没被抽到，第二次被抽到的可能性为 . 故选：. 6．已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出图像，根据倾斜角变化得到斜率变化. 【详解】如图所示， 直线逆时针旋转到的位置才能保证过点的直线与线段有交点， 从转到轴的过程中，倾斜角变大到，斜率增大到正无穷，此时斜率为，此时直线的斜率的取值范围为， 从轴旋转到过程中，倾斜角从开始变大，斜率从负无穷开始增大，此时斜率为， 此时直线的斜率的取值范围为，综上直线的斜率的取值范围为. 故选：D. 7．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】条件可转化为直线与曲线有两个交点，再利用导数研究的单调性及极值，画出函数的大致图象，观察函数图象即可得解. 【详解】因为有两个不同的零点，所以方程有两个不同的根， 因为不是方程的根， 所以方程有两个不同的根， 所以直线与曲线有两个交点． 令，则， 令可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，；当时，， 当时，，当且时，， 当且时，；时，；又， 画出函数的大致图象如下： 所以当时，直线与曲线有两个交点， 即实数的取值范围是． 故选：C 8．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示直角坐标系，利用向量的坐标表示求解即可； 【详解】    由图可得，以为原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 设每个小正方形的边长为1， ， 所以， 因为，即， 所以， 所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】ABC 【分析】由已知，设出直线，先求解出直线的交点坐标，然后再分；；经过点三种情况分别计算即可完成求解. 【详解】由已知，设，，， 由可知，直线相交于点， 直线恒过定点， 因为三条直线不能构成三角形，所以；；经过点； ①当时，，，所以，解得； ②当时，，，所以，解得； ③当经过点时，， 所以实数的取值集合为. 故选：ABC. 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则三角形有两解 B．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C．若，，则的取值范围为 D．若的外心为，且，，则. 【答案】ACD 【分析】根据题意求，可得，即可判断A；对于B，利用向量的数量积公式求解即可；利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式及正切函数性质求解判断C；对于D，根据，，化简即可求解. 【详解】对于选项A：由题意可得：，因，所以三角形有两解，故A正确； 对于B：因为向量，，若与的夹角为锐角，则，即，解得：或，故B不正确； 对于选项C：因为，则， 可得，即， 由正弦定理得， 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，取的中点，则， 所以， 同理可得， 所以，故D正确 11．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ） A．点A'到平面BCED的距离为3 B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为 C．A'D⊥BD D．四棱锥A'-BCED的外接球半径为 【答案】ABD 【分析】作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.利用线面垂直的判定定理判定CD⊥平面A'MN,利用面面垂直的判定定理与性质定理得到到平面面BCED的高A'H,并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角，利用余弦定理计算即可判定B;利用勾股定理检验可以否定C;先证明底面的外接圆的圆心为N,在利用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC,经过计算求解可得半径从而判定D. 【详解】如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N. 则A'M⊥DE,MN⊥DE, , ∵∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN, 又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC, 在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED, ∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°， ∵正三角形ABC中，AB=8,∴AN=,∴A'M=2,∴A'H=A'Msin60°=3，故A正确； 连接DN,易得DN‖EC,DN=EC=4, ∠A'DN就是直线A'D与CE所成的角， DN=DA'=4,A'N=A'M=2, cos∠A'DN=,故B正确； A'D=DB=4,A'B=, ∴,∴A'D与BD不垂直，故C错误’ 易得NB=NC=ND=NG=4，∴N为底面梯形BCED的外接圆的圆心， 设四棱锥A'-BCED的外接球的球心为O,则ON⊥平面BCED,且OA'=OC, 若O在平面BCED上方，入图①所示： 设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P, 则HP=x,易得,解得,舍去； 故O在平面BCED下方，如图②所示： 设ON=x,外接球的半径为R,过O作A'H的垂线，垂足为P, 则HP=x,易得, 解得, ∴,,故D正确. 故选:ABD. 【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验证. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．在少室山上倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌嶒参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处（海拔约为350米）测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为______米． 【答案】1400 【分析】分析三角形ABC内部的几何关系，利用特殊角以及和差公式即可. 【详解】 过D点做AC的垂线，垂足为F， 设BC=AC=x，则有 ， ， 在 中， ， 由正切三角函数两角和公式得 ， ，解得x=1050， 由于A点的海拔高度为350米，所以B点的海拔高度为350+1050=1400米； 故答案为：1400（米） 13．现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示.若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则时投资x的范围是__________.随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为__________.（单位：万元） 【答案】 8 【分析】由题先求出a、b，然后分类讨论解根式不等式；先求出利润的范围，在求出利润减平均数平方的范围，即可得出答案. 【详解】由题得，所以， 即， 当时，显然成立，当时，两边平方的， 所以，综上，所以时投资x的范围是； 由答空1得，要不亏本，，则， 所以 ，所以方差为 ， 所以利润的方差的最大值为8万元. 故答案为：；8. 14．圆：上存在点满足：到原点的距离与到直线：的距离之比为，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】数形结合，先确定使斜率最大,最小的P点位置,再借助,得到直线：的斜率取值范围. 【详解】设于点，原点为,如图， 则存在点满足,即, 先求直线的斜率范围， 因为当与圆相切时，即运动到位置时， 容易得， 所以, 即直线的倾斜角或时，与圆有公共点， 因为， 所以问题转化为的倾斜角 满足或时， 存在点满足条件， 此时， 而， ， 故直线：的斜率 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题根据条件推出，即直线与直线的夹角为， 所以只需先确定的斜率范围，确定出的倾斜角的范围，即可确定直线倾斜角的范围，得到直线的斜率范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，（其中为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）结合复数的除法运算求出，进而结合复数的类型即可求出参数的值； （2）结合复数的减法运算求出，然后利用复数的几何意义求出模长，解不等式即可. 【详解】解：（1）由，， 得. 又因为为纯虚数，所以， 所以. （2）， 又因为，所以， 即， 解得，故实数的取值范围为. 16．（15分） 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按照逆时针方向旋转交单位圆于点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点在单位圆上，先求出的值，再根据任意角三角函数的定义得的值，从而解决问题； （2）同（1）求出的值，再由求值. 【详解】（1）已知锐角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以， 则； （2）将角的终边按照逆时针方向旋转 交单位圆于点， 可知点位于第二象限，所以， 所以 则         ． 17．（15分） 已知圆在轴上交点的横坐标为和3，在轴上一个交点的纵坐标为1. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的倾斜角； 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)根据给定条件求出圆的圆心及半径即可得解. (2)根据给定条件求出直线l的方程，再借助方程即可求得的倾斜角. 【详解】（1）令，，，依题意，点A，B，D在圆上， 于是得线段的中垂线为，的中垂线为， 由圆的性质知，圆心满足，于是有，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由(1)及直线被圆截得的弦的长为4得，圆心C到直线l的距离， 设直线l的方程为：，， 于是得，整理得：，因此，或， 当时，直线：，直线的倾斜角为， 当时，直线：，直线的斜率，直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或. 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点． （1）求异面直线与所成的角； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【分析】（1）证明就是异面直线与所成的角或其补角，再解三角形得解； （2）先证明平面,平面平面即得证； （3）证明就是二面角的平面角，再解三角形得解. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角或其补角， 因为，， 所以，所以异面直线与所成的角为； （2）因为平面平面，平面平面，, 所以平面，因为平面， 所以,又,平面, 所以平面,又平面， 所以, 又,所以, 又平面, 所以平面, 又平面, 所以平面平面； （3）因为平面,平面, 所以,又, 所以就是二面角的平面角， 因为平面,平面, 所以, 又, 又, 所以. 所以二面角的余弦值为. 19．（17分） 已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由函数为偶函数得，结合已知即可得，再应用三角恒等变换化简并确定区间值域，由不等式能成立有，即可求范围； （2）根据已知得，将问题化为，结合三角函数、二次函数的性质求最值，进而列不等式求参数范围. 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D D C A D D C A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12．1400 13． 8 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】（1）；（2）. 【详解】解：（1）由，， 得. 又因为为纯虚数，所以， 所以. （2）， 又因为，所以， 即， 解得，故实数的取值范围为. 16．（15分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知锐角的终边与单位圆交于点， 所以， 所以， 则； （2）将角的终边按照逆时针方向旋转 交单位圆于点， 可知点位于第二象限，所以， 所以 则         ． 17．（15分） 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）令，，，依题意，点A，B，D在圆上， 于是得线段的中垂线为，的中垂线为， 由圆的性质知，圆心满足，于是有，半径， 所以圆的标准方程为. （2）由(1)及直线被圆截得的弦的长为4得，圆心C到直线l的距离， 设直线l的方程为：，， 于是得，整理得：，因此，或， 当时，直线：，直线的倾斜角为， 当时，直线：，直线的斜率，直线的倾斜角为， 所以直线的倾斜角为或. 18．（17分） 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）因为，所以就是异面直线与所成的角或其补角， 因为，， 所以，所以异面直线与所成的角为； （2）因为平面平面，平面平面，, 所以平面，因为平面， 所以,又,平面, 所以平面,又平面， 所以, 又,所以, 又平面, 所以平面, 又平面, 所以平面平面； （3）因为平面,平面, 所以,又, 所以就是二面角的平面角， 因为平面,平面, 所以, 又, 又, 所以. 所以二面角的余弦值为. 19．（17分） 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由为偶函数，则，，又，则， 所以，则 ， 存在，使不等式成立，则， 所以在上能成立，而， 所以； （2）由题设，且，则， 所以， 而，则，所以， 对任意的，总存在，使成立， 所以，即， 令，则，故， 当，则在上单调递增，此时，可得； 当，则在上单调递减，此时，可得； 当，则在上单调递增，在上单调递减，此时，可得； 综上，. 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(1)求的值； (2)求的值. 17．（15分） 已知圆在轴上交点的横坐标为和3，在轴上一个交点的纵坐标为1. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的倾斜角； 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点． （1）求异面直线与所成的角； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 19．（17分） 已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版必修二+选必一第1,2章 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（   ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知直线：，：，当时，实数的值为（    ） A．0 B． C．3 D． 4．已知正三棱台的高为4，的内切圆和的外接圆的半径均为1，则该正三棱台的体积为（   ） A． B． C． D． 5．某校高一共有10个班，编号1至10，某项调查要从中抽取三个班作为样本，现用抽签法抽取样本，每次抽取一个号码，共抽3次，设五班第二次被抽到的可能性为，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，两点，若过点的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，将绕着起点顺时针方向旋转后得到向量，若，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知三条直线不能构成三角形，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 10．在中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则三角形有两解 B．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为 C．若，，则的取值范围为 D．若的外心为，且，，则. 11．如图所示，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB＝8，把△ADE沿着DE翻折至A'DE位置，使得二面角A'-DE-B为60°，则下列选项中正确的是（ ） A．点A'到平面BCED的距离为3 B．直线A'D与直线CE所成的角的余弦值为 C．A'D⊥BD D．四棱锥A'-BCED的外接球半径为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．被誉为“天下第一名刹”的少林寺，位于河南省郑州市登封市嵩山五乳峰下，因坐落于嵩山腹地少室山茂密丛林之中，故名“少林寺”．在少室山上倚石俯瞰，脚下峰壑开绽，凌嶒参差，大有“一览众山小”之气势．山峰间云岚瞬息万变，美不胜收．如图，某人在山脚A处（海拔约为350米）测得观看日出的最佳观测点B处的仰角约为45°，此人沿着坡角为30°的山路AD走了1050米到达休息点D，此时测得B处的仰角约为75°，则B处的海拔约为______米． 13．现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示.若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则时投资x的范围是__________.随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为__________.（单位：万元） 14．圆：上存在点满足：到原点的距离与到直线：的距离之比为，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知，（其中为虚数单位）. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若（其中是复数的共轭复数），求实数的取值范围. 16．（15分） 在单位圆中，已知锐角的终边与单位圆交于点，将角的终边按照逆时针方向旋转交单位圆于点. (1)求的值； (2)求的值. 17．（15分） 已知圆在轴上交点的横坐标为和3，在轴上一个交点的纵坐标为1. (1)求圆的标准方程； (2)若过点的直线被圆截得的弦的长为4，求直线的倾斜角； 18．（17分） 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为矩形，，，为的中点． （1）求异面直线与所成的角； （2）求证：平面平面； （3）求二面角的余弦值． 19．（17分） 已知函数. (1)设，为偶函数，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围； (2)已知函数的图象过点，设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 目 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 儿-------------=----------- 题；字体工整、笔迹清晰。 典 3. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1 [A][B]IC]ID] 5 [A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][BI[C][D] 3[A][B][C[D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C[D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][CI[D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分) 日 12 13 14. 剂 请在各题目棘奢题！内体，贝超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S熊点谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海习璐品阴目酷号平巢 ☑-十--二二2木2 (女LI)·8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 ◆ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）