云南省玉溪第一中学2026-2027学年高三上学期8月摸底考数学试题

"**基本信息** \n高三摸底数学卷，覆盖集合、导数等主干知识，以二进制传输校验、奶茶店消费统计为情境，梯度设计检测数学眼光与思维。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|单选|8/40|集合、复数、向量|基础概念辨析，如第1题集合运算|\n|多选|3/18|函数性质、圆方程|多选项分层，如第9题偶函数性质推理|\n|填空|3/15|函数单调性、椭圆离心率|综合应用，如第13题椭圆与圆结合|\n|解答|5/77|解三角形、导数、双曲线|梯度递进，第17题统计含线性回归与概率（数据意识），第19题双曲线证明（逻辑推理）|"

绝密★启用前 玉溪一中2026—2027学年上学期高三摸底考 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．复数（为虚数单位）的共轭复数等于 A． B． C． D． 3．已知向量，，若，则 A．1 B． C． D． 4．若的展开式中的系数为84，则 A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知，若，则点C的轨迹方程为 A． B． C． D． 6．已知，，则 A．5 B．3 C． D． 7．已知等差数列和的前n项和分别为和，且，则 A． B． C． D． 8．如图，已知四面体中，平面，，，，点为线段中点，则四面体外接球球心到平面距离为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则下列结论正确的是 A．当时， B．， C．不等式的解集为 D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 10．已知点，圆，则下列结论正确的有 A．点与圆上的点之间距离的最大值为 B．点在圆内部 C．若过点的直线截圆的弦长为，则的方程为 D．以为中点的弦所在的直线方程为 11．在信道内发送5位二进制码数据流，前4位为信息码，最后一位为偶校验码，使得5位二进制码数据流中1的个数为偶数．例如：若信息码为1100，则校验码为0，所发送数据流为11000；若信息码为1000，则校验码为1，所发送数据流为10001．每位二进制码信号的传输相互独立，当发送时，收到的概率为，收到的概率为．接收方收到数据后，若数据流中1的个数是奇数个，则数据传输错误，要求重新发送该数据，则下列说法正确的是 A．5位二进制码数据流传输全部正确的概率为 B．若发送的数据流为10010，则接收到的数据流为11101的概率为； C．接收方要求重新发送该数据的概率为 D．若所接收数据流中1的个数是偶数个，则信息码传输正确的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数的递增区间是 ． 13．已知点M，N是椭圆（）上的两点，且线段MN恰为圆（r＞0）的一条直径，A为椭圆C上与M，N不重合的一点，且直线AM，AN的斜率之积为，则椭圆C的离心率为 ． 14．已知函数有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为 ；若2＞x1≥x2＞0，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在中，角所对的边分别是，已知，． （1）求角的大小； （2）若，是上的点，平分，求的长． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，，是线段的中点，连结． （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 某网红奶茶店统计了2025年10月9日至13日这5天到店消费的人数（单位：人）与时间第天的数据，列表如下： 1 2 3 4 5 50 65 80 95 100 （1）由表中给出的数据判断是否可用线性回归模型拟合人数与时间之间的关系？若可用，估计10月14日到该奶茶店消费的人数（人数用四舍五入法取整数；若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）． （2）运用分层抽样的方法从第1天（50人）和第5天（100人）到该奶茶店消费的人中按比例随机抽取6人，再从这6人中任取2人赠送礼品，求这2人恰好来自不同天的概率． （3）该奶茶店推出两种会员优惠方案：方案一，单次消费每满50元减5元；方案二，单次消费满200元可抽奖两次，每次中奖概率均为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，未中奖不打折。某顾客计划消费200元，请从实际付款金额数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 附：相关系数，，． 18．（17分） 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调递增区间； （3）当函数有两个极值点时，若恒成立，求 的最大整数值.（参考数据：） 19．（17分） 已知双曲线C： （a＞0，b＞0）的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线． （1）求双曲线C的标准方程； （2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与双曲线交于M，N两 点，直线MA交y轴于点P，直线NB交y轴于点Q，记的面积为，的面积为，求证：为定值． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $玉溪一中2026一2027学年上学期高三摸底考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 > 8 答案 D D B D B C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 AC BD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 (-0,1] √6 (1,+o);3ln2 3 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) (1)已知45c0sC=2b-c,由余弦定理可得4V5.2+2=2h-c 2ab 因为a=25.代入得2a2+2=2b-c所以2+-2=2b-c 2ab b 所以+c2-R=hc,所以coA=+2=支 2bc 因为AE(0,元)，所以A=号. (2)因为A=号，a=2V5,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0s号， 即12=2+2-bc=(b+c)2-3hc,又因为b+c=4,所以bc=号 由面积公式SABc=SBD+SMACDE可得，besinA=cAD:sin号+b-AD-sin号 而sn号-0-(b+c)s号.可得D=5 数学试题评分参考第1页（共4页) 16.(15分) (1)因为四边形ABCD为菱形，所以AB=AD D B 又因为∠BAD=号，E为AD的中点，所以BE⊥AD 又因为平面PAD⊥平面ABCD 平面PAD∩平面ABCD=AD, 所以BE⊥平面PAD,因为PAC平面PAD, 所以BE⊥PA. (2)连结PE.因为PA=PD,E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 由(1)可知BE⊥平面PAD, 所以BE⊥AD,PE⊥BE. 设AD=2a(a>0),则PE=a. 如图，建立空间直角坐标系E一xyz. 所以4a,0,0),B0,V5a,0),C(-2a,V5a,0),D(-a,0,0),P0,0,a 所以Dc=(-a,V5a,0),DP=(a,0,ad: 因为BE⊥平面PAD, 所以EB=(0,V3a,0)是平面PAD的-个法向量. 设平面PCD的法向量为方=(x,y,z), 则iDC=0,即 -a+Bay=0,所以x=V5y, (DP=0 ax+az=0 （x=-z. 令x=V5,则y=L,z=-V5.于是方=(W5,1,-V5) 所以cos(i,EB)川= n.EB E V7×V3a 7 平面APD与平面PDC夹角余弦值为V7 7 数学试题评分参考第2页（共4页） 17.(15分) (1)x=3,=78, s-02心P30 3 r= 130 >0.75 V10×1730V173 可用线性回归模型拟合 6=0=13.a=78-13×3=39,=13+39 令x=6:)=13×6+39=117 所以10月14日到该奶茶店消费的人数约为117人。 (2)第1天50人，第5天100人，比例50：100=1：2，共抽6人，第1天抽2人，第5天抽4人，从6人中任取2人，总方案数C2=15种， 2认来自不同天的方案数：C×C=8,P=各 故这2人恰好来自不同天的概率为 8 (3)方案一：满50减5，消费200元，共减4×5=20元，实付180元 方案二：设实付金额为X元， P(X=160)=(传)}'=：PX=180)=C-3号-手PX=200)=(3-专 E(X)=160×号+180×号+200×号≈186.7元， 因为186.7>180，方案一期望付款更少， 故选方案一更优惠 18.(17分) (1)当a=1时，f(x)=-x2+x-nx(x>0) 所以f(1)=-号+1=分，故切点坐标为(1，号)， 又f(x)=-x+1-,所以f(1)=-l, 故切线的斜率为-1，由点斜式可得y-号=-(x-1),即2x+2y-3=0, 故曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+2y-3=0: (2)f(x)的定义域为(0，+o0), 叉f(x)=-x+a-是=-2-+1， ①当a2-4≤0，即0<a≤2时，f(x)≤0在(0，+0)上恒成立， 故f(x)在(0，+0)上单调递减： ②当a2-4>0,即a>2. 令f(x)=0,解得-a-@2-4 a+ya2-4 X三 若a>2时，则当0<r<a-@-4或a+y2-4时.f(x)<0, 2 2 当a-a2-4xa+a2-4时，f(x）>0 2 <x< 所以f(x)在0， a-Va2-4 a+Va2-4 上单调递减， 2 2 在a-Va2-4a+a2-4 上单调递增； 2 数学试题评分参考第3页（共4页） (3)由(2)可知，当a>2时，f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2), 由韦达定理得{ ”.R入)+-支0 即需满足a2+1之kha,对于a>2恒成立，令 a2+1 g(a)=na(a>2)' 求导得g(a)= aha-(a2+1)d dha-ja2-1 (na)2 a(Ina)2 令m(a)=a2hna-a2-l,求导得m(a)=2aha, 当a>2时，m(a)>0,故m(a)在(2，+o)单调递增 m(2)=4n2-3≈4×0.7-3=-0.2<0， m(2.5)=6.252.5-4.125≈6.25×0.916-4.125=1.6>0， 故存在a∈(2,2.5)，使得m(a)=0,即02ha-2+1, 此时g(a)在(2，a0)单调递减，在(ao,+0)单调递增， 8anm8a1=21 na,=哈由a∈(2,2.5，得，2e(4,6.25), g(2)=最4286g(3)=品=说6501 5.5 8(4)=品4≈4≈6.429，故g(a)min∈(4.286,5.01)，故的最大整数值为4 9 19.(17分) 2-号=1 (2)由题意可得A(-1,0),B(1,0). 设直线的方程为x=y+2,M(x1,y),N(x2,y2), x=y+2 联立 -号-1 整理可得(4n2-1)y2+16y+12=0, 161 12 则y,+2-4n'24n2气 即y-(y+y) 易知直线MA的方程为y= +(x+1). ro点 直线NB的方程为y= 7(r-1). g0,点5)又=3,18T= 3 y(y2+1) nyy+y =3 -y+)+y 1y2(ny,+3) =3 ny y2+3v2 1-X2 -(以+2)+3y, 数学试题评分参考第4页（共4页）