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1997年第38届IMo试题 在坐标平而上,具有整数坐标的点构成单位边长的正方格的 顶点,这些正方格被涂上黑白相间的两种颜色(像国际象棋棋 盘那样 对于任意一对正整数m和,考虑一个直角三角形,它的质点 具有整数坐标,两条直角边的长度分别为m和n,且两条直角 边都在这些正方格的边上 令S为这个三角形区域中所有黑色部分的总面积,S3则为所 有白色部分的总面积.令m,n)=|S1-S2 (1)当m和同为正偶数或同为正奇数时,计算fm,第)的值 (2)证明f(m,)≤mx{m,n}对所有的m和都成立; (3)证明:不存在常数c,使得对所有的m和",不等式f(m,n <c都成立 2.设∠A是ΔABC中最小的内角.点B和C将这个三角形的外 接圆分成两段弧设U是落在不含A的那段弧上且不等于B 与C的一个点 线段AB和AC的垂直平分线分别交线段AU于V和W,直线 BV和CW相交于T 证明:AU=TF+TC 3.设盆1,2,…,x是洒足下列条件的实数 Z:+盆+…+x|=1 且| 证明:存在x1,2,…,x的一个排列y,影3,…,篡,使得 18+2+…+m≤+1 4.一个x的矩阵(正方形)称为一个阶“银矩阵”,如果它 的元素取自集合S={1,2,…,21-1},且对于每个=1,2, ,它的第行与第列中的所有元素合起来恰好是S中的 所有元素.证明: 1)不存在n=1997阶的银矩阵; (2)有无限多个的值,存在阶银矩阵 5.求所有的整数对(a,b),其中a≥1,b≥1,且满足等式 6.对于每个正整数n,将n表示成2的非负整数次方的和.令 f(n)为正整数n的不同表示法的个数 如果两个表示法的差别仅在于它们中各个数相加的次序不 同,这两个表示法就被视为是相同的例如,f(4)=4,因为4 恰有下列四种表示法 4:2+2:2+1+1:1+1+1+1 证明:对于任意整数n≥3,21≤f(2)<21