专题07 平面向量中的最值与范围问题-2022年高考数学重难点专题讲与练（新高考地区专用）

专题07 平面向量中的最值与范围问题 平面向量中的最值与范围问题是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，解决思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合． 类型一 与向量的模有关的最值或范围问题 典例1．（2021•浙江模拟）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（　　） A． B．2 C． D．3 【分析】由可知|（）||•|，所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|（）||•|，再将其化成，的模和夹角可解得． 【解答】解：设与的夹角θ， 由可知|（）||•|， 所以的终点的轨迹是以的终点为圆心，|•|为半径的圆， ||的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径， 即为|（）||•． ∵|||•||•| |•||cosθ| 2． 故选：B． 典例2．（2021春•潍坊月考）已知，则的最小值为（　　） A．﹣1 B．1 C．4 D．7 【分析】根据条件进行数量积的运算即可得出，从而可得出的最小值，进而得出的最小值． 【解答】解：∵， ∴， ∴时，取最小值1， ∴的最小值为1． 故选：B． 类型二 与向量夹角有关的最值或范围问题 典例1．（2021•西湖区校级模拟）设为非零向量2||，则与的夹角的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设,,,问题转化为∠C最大值，可解决此题． 【解答】解：在△ABC中，设,,,问题转化为∠C最大值， 由正弦定理得：,又∵2||，∴sinCsinB, ∵C为锐角，∴C的最大值为． 故选：A． 典例2．（2021•浙江模拟）已知，是平面向量，满足||＝4，||≤1且2，则cos，的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】推导出4，从而2，进而cos，当||＝1时，cos，的最小值为． 【解答】解：∵，是平面向量，满足||＝4，||≤1，且2， ∴4， ∴2， ∴cos， ∵||≤1，∴当||＝1时，cos，的最小值为． 故选：B． 类型三 与平面向量数量积有关的最值或范围问题 典例1．（2021秋•12月份月考）已知正△ABC的边长为2，A，B分别在x轴，y轴的正半轴（含原点）上滑动，则的最大值是（　　） A． B．3 C．2 D． 【分析】设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ，OA＝cosθ，求得点A，点C的坐标，进而求解，然后求解最大值． 【解答】解：设∠BAO＝θ，则∠CAx＝120°﹣θ， ∴OA＝cosθ，OB＝sinθ， ∴点A（2cosθ，0），由此可得点C（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． 可得：（2cosθ+2cos（120°﹣θ），2sin（120°﹣θ））． ∴（2cosθ）[2cosθ+2cos（120°﹣θ）]+0×2cos（120°﹣θ） ＝2sinθcosθ+2cos2θ＝1+cos2θsin2θ ＝2sin（2θ）+1， 因为0≤θ，所以2θ， 所以sin（2θ）≤1， 则的最大值：3． 故选：B． 典例2．（2021秋•湖南月考）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的直径均为2，△ABE，△BEC，△ECD均是边长为2的等边三角形．设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（　　） A．12 B． C． D． 【分析】以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，），圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα），从而（cosα+4，sinα），（3，），由此能求出的最大值． 【解答】解：以D为坐标原点，AD为x轴，过D作AD的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A（﹣4，0），B（﹣3，），C（﹣1，）， 圆D的方程为x2+y2＝1，可设P（cosα，sinα）， ∴（cosα+4，sinα），（3，）， ∴3×（cosα+4）sinα＝3cosαsinα+12＝2cos（）+12， ∴的最大值为12+2． 故选：D． 类型四 与系数有关的有关的最值或范围问题 典例1．（2021春•宁江区校级期中）已知△ABO中，OA＝OB＝1，∠AOB，若OC与线段AB交于点P，且满足λ，||，则λ+μ的最大值为（　　） A． B．1 C． D．2 【分析】线段OC与线段AB交于点P，设x （x≥1），进而得，P、A、B三点共线，得λ+μ＝x，最小，此时x最大，进而得结论． 【解答】解：∵线段OC与线段