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2023~2024学年度春季学期平果市第二中学高一期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 2. 用一个平面截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 3. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知斜三棱柱的体积为2，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，，则BC边上高为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 10. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（i是虚数单位），则z虚部为______． 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 14. 有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数z满足：是实数，z的模为，z的共扼复数在复平面内对应的点在第一象限． （1）求； （2）若，求a，b值． 16. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与夹角的大小. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 18. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 19. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度春季学期平果市第二中学高一期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章一第八章8.4. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，，且，则实数（ ） A. 1或4 B. 1或 C. 或1 D. 或1 【答案】B 【解析】 【分析】列出关于实数的方程，即可求得实数的值 【详解】由，，，有，解得． 故选：B 2. 用一个平面截一个几何体，得到截面是三角形，这个几何体不可能是（ ） A. 长方体 B. 圆锥 C. 棱锥 D. 圆台 【答案】D 【解析】 【分析】作图，结合空间想象，即可得出答案. 【详解】 对于A项，如图1，用平面截长方体，得到的截面是三角形，故A项正确； 对于B项，如图2，用平面截圆锥，得到的截面是三角形，故B项正确； 对于C项，三棱锥各个面即为三角形；除三棱锥外，过棱锥底面不相邻两顶点和棱锥顶点的截面为三角形，故C项正确； 对于D项，圆台的截面不可能为三角形，故D项错误. 故选：D. 3. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】根据复数的除法运算求解， 所以，复平面内表示该复数的点为， 所以，复平面内表示复数的点位于第三象限. 故选：C. 4. 在中，角的对边分别为，若，且，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知式，运用正弦定理化角为边，得勾股定理，利用直角三角形中三角函数定义，计算即得. 【详解】由和正弦定理可得，，，是直角三角形. 则，，. 故选：A. 5. 已知斜三棱柱的体积为2，则四棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出三棱锥的体积，再根据即可得解. 【详解】解：因为， 所以. 故选：A 6. 在中，，，，则BC边上的高为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出BC，再利用等面积法列出关于BC边上的高h的方程，即可求得h的值. 【详解】在中，，，， 根据余弦定理：． 设BC边上的高为h，则，即， 解之得． 故选：A 7. 若水平放置的四边形AOBC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形AOBC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图像，由“斜二测画法”可得，四边形水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而，则， 由斜二测画法得原四边形AOBC是直角梯形，，，如图. 所以四边形AOBC的面积为. 故选：D. 8. 如图，AB是底部不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，某同学选择地面CD作为水平基线，使得C，D，B在同一直线上，在C，D两点用测角仪器测得A点的仰角分别是45°和75°，，则建筑物AB的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出，再在直角三角形中求解即可. 【详解】在中，根据正弦定理可得， 在中， ， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 以下关于平面向量的说法中，正确的是（ ） A. 既有大小，又有方向的量叫做向量 B. 所有单位向量都相等 C. 零向量没有方向 D. 平行向量也叫做共线向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件结合平面向量的基本概念，逐项分析判断作答. 【详解】由向量的定义知，既有大小，又有方向的量叫做向量，A正确； 单位向量是长度为1的向量，其方向是任意的，B不正确； 零向量有方向，其方向是任意的，C不正确； 由平行向量的定义知，平行向量也叫做共线向量，D正确. 故选：AD 10. 分别在两个相交平面内的两条直线间的位置关系是（ ） A 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上皆不可能 【答案】ABC 【解析】 【分析】 利用空间中两直线的位置关系求解. 【详解】解：当两直线分别平行于交线时，这两条直线平行，A正确； 两条直线可以交于交线上一点，故可以相交，B正确； 一条直线和交线平行，另一条直线在另一个平面内过交线上一点和交线外一点时，两直线异面，C正确； 故选：ABC. 11. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则只有一解 C. 若，则为直角三角形 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，利用正弦定理判断；对于B选项，利用正弦定理判断；对于C选项，利用正弦定理，由，得到判断；对于D选项，分ABC为锐角三角形，直角三角形，ABC为钝角三角形判断. 【详解】对于A选项，由，有，由正弦定理可得，故A选项正确； 对于B选项，由，可知ABC有两解，可知B选项错误； 对于C选项，由，得，有，可得或，可知C选项错误； 对于D选项，若ABC为锐角三角形或直角三角形，有；若ABC为钝角三角形，不妨设C为钝角，有，，，有，可知D选项正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知（i是虚数单位），则z的虚部为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出共轭复数，再得到复数虚部． 【详解】，∴，∴虚部为3． 故答案为：3 13. 如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶2h后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为_________km. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求解. 【详解】由图知知，， 由正弦定理有. 故答案为： 14. 有一个正六棱柱的机械零件，底面边长为，高为，则这个正六棱柱的机械零件的表面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】正六棱柱，分别计算即可； 【详解】 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知复数z满足：是实数，z的模为，z的共扼复数在复平面内对应的点在第一象限． （1）求； （2）若，求a，b的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设复数，根据题意列方程组求出m、n，得到，直接计算； （2）直接求出，利用复数相等的条件求出a、b. 【小问1详解】 设复数， 是实数，，， ，， 又∵在第一象限，∴，，∴， 又∵，∴； 小问2详解】 由（1）得：，，， ∴， ∴，∴，． 16. 已知平面向量满足，其中. （1）若，求实数m的值； （2）若，求向量与的夹角的大小. 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标运算列出方程，解之即可求解； （2）根据向量垂直的坐标运算先求出，再利用向量坐标的线性运算求出，分别求出两向量的模，代入向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，又， 所以， 解得； 【小问2详解】 因为， 所以，解得， 所以， 所以， 所以， ， 所以向量与夹角的余弦值为， 又由，可得. 17. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）求角C； （2）若的面积为，求a、b的值． 【答案】（1）；（2），或，． 【解析】 【分析】 （1）利用余弦定理结合，即可求角C； （2）利用面积公式可以求出，再利用余弦定理可以求得，进而可得a、b的值． 【详解】（1）由余弦定理有， 因为，可得； （2）由题意有，可得， 由余弦定理得：， 将， 代入可得：， 可得，所以， 所以， 由，解得或 故，或，． 18. 如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是，圆柱筒长. （1）这种“浮球”的体积是多少? （2）要在这样个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶克，共需胶多少克？ 【答案】（1） （2）克 【解析】 【分析】（1）利用球和圆柱体积公式即可求解得到结果； （2）结合球的表面积和圆柱侧面积公式可求得几何体的表面积，进而确定所需胶的质量. 【小问1详解】 该半球的直径，“浮球”的圆柱筒直径也是，， 两个半球的体积之和为， 又， 该“浮球”的体积是. 【小问2详解】 上下两个半球的表面积， “浮球”的圆柱筒侧面积为， 个“浮球”的表面积为， 个“浮球”的表面积的和为， 每平方厘米需要涂胶克，共需要胶的质量为（克）. 19. 如图，在正方体中，E，F分别是上的点，且. （1）证明：四点共面； （2）设，证明：A，O，D三点共线. 【答案】（1）证明见祥解 （2）证明见祥解 【解析】 【分析】（1）连接，利用中位线定理得到，再根据正方体的性质得到，进而证明四边形是平行四边形，从而得到，由此可证四点共面； （2）先证平面，且平面ABCD，又平面平面， 所以，进而得到A，O，D三点共线. 【小问1详解】 证明：如图，连接. 在正方体中，，所以， 又，且， 所以四边形是平行四边形，所以， ，所以四点共面； 【小问2详解】 证明：由，，又平面，平面， 同理平面ABCD，又平面平面， ，即A，O，D三点共线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$