精品解析：江苏省泰州市泰兴市黄桥初级中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

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泰兴市黄桥初中教育集团2023年秋学期 初二数学期末模拟试卷 总分：150分 完成时间：120分钟 （注意：请在答题纸上答题，答在试卷上无效！） 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A B. C. D. 3. 下列四个实数、、、， （相邻两个1之间3个数逐次加1）这些数中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 4. 长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（ ） A. 精确到十分位 B. 精确到个位 C. 精确到十万位 D. 以上说法都不对 5. 若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A. 5的平方根是b B. 5的平方根是a C. 5的算术平方根是b D. 5的算术平方根是a 6. 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ） A. 不断变大 B. 不断变小 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 比较大小：_____2（填“＜”、“＞”、或“=”）． 8. 一次函数y＝﹣2x﹣4的图像不经过第__象限． 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____． 10. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当为8cm时，对应的时间为______． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.2 4 … 11. 直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ______． 12. 如图，是的角平分线，，则点D到的距离是____． 13. 如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为________． 14. 如图，在锐角△ABC中，∠A=80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为_______°． 15. 如图，点Q在线段上由A向C匀速运动，速度为，设运动时间为，y与t的函数图象经过点和，则a的值为_______． 16. 如图，正方形的边长为1，点E为边的垂直平分线上一点，连接．把绕点B顺时针旋转得，连接，则 的面积为______． 三、解答题（共102分） 17. （1）计算： （2）求中x的值． 18. 按要求分别完成下列各题： （1）如图1，，，请在图1中画一条直线，把分成两个三角形，且分得的两部分都是轴对称图形（在图上适当标注记号或在图旁说明）； （2）如图2，，请你将补成四边形，使四边形菱形，（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）如图3，中，，请你画一条直线，把分成一个三角形和一个四边形两部分，且两部分都是轴对称图形（尺规作图，保留作图痕迹）； 19. 点为一次函数图像上两点． （1）若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． （2）比较p、q的大小，并说明理由． 20. 已知，如图，在中，点在上，，，垂足分别是点、．结合以上信息，从“①；②；③是的中点”中选择两个作为条件，一个作为结论，得到一个真命题，并加以证明．你选择的条件是　　，结论是　　（请写出序号）． 21. 在平行四边形中，过点D作于点E． （1）请你只用无刻度的直尺在边上画出点F，使得连接后四边形是矩形．（要求：保留画图痕迹，并证明你画图的正确性） （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 23. 如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． （1）求点A的坐标和的面积． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． （3）在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 24. 如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． （1）填写下表，画出y关于x的函数图像； x … 0 1 2 … y … … （2）x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； （3）观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． （4）关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 25. 如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． （1）当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； （2）当为边上一点，，求度数； （3）过点作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 26. 如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段的长度是点到线段的距离；线段的长度是点到线段的距离．如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为，直线与x轴相交于点C．点）为x轴上一动点，设点P到线段的距离为d． （1）① °； ②若，求d的值； （2）若，求a的值； （3）若点P在线段上运动，且d为整数，求a的值． （4）在平面内有一个矩形，对称中心为M，在矩形外有一点N，，当矩形绕着点M旋转时，则点N到矩形距离d的取值范围为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泰兴市黄桥初中教育集团2023年秋学期 初二数学期末模拟试卷 总分：150分 完成时间：120分钟 （注意：请在答题纸上答题，答在试卷上无效！） 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1. 习近平总书记强调，“垃圾分类工作就是新时尚”．下列垃圾分类标识的图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A选项合题意； B、既不是轴对称图形, 也不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义． 2. 点关于y轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数；根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：点关于y轴对称的点为：， 故选：D． 3. 下列四个实数、、、， （相邻两个1之间3的个数逐次加1）这些数中，无理数的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 根据无理数的概念解答即可． 【详解】解：，由无理数的定义可知无理数有：，，（相邻两个1之间3的个数逐次加1），共有3个． 故选：B． 4. 长城总长约为6.7×106米，下列关于6.7×106的精确程度说法正确的是（ ） A. 精确到十分位 B. 精确到个位 C. 精确到十万位 D. 以上说法都不对 【答案】C 【解析】 【分析】根据106为百万，即可确定精确度． 【详解】解：6.7×106＝6700000， 由于7位于十万位上，所以6.7×106精确到十万位． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了有效数字和精确度，一个近似数，最后一位是哪一位，就叫精确到哪一位． 5. 若实数a、b满足方程x2＝5，且a＞b，下列说法正确的是（　 　） A. 5的平方根是b B. 5的平方根是a C. 5的算术平方根是b D. 5的算术平方根是a 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出a=，b=，再依次进行判断即可． 【详解】解：∵a、b满足方程x2＝5，且a＞b， ∴a=，b=， ∴5的平方根是，故A，B错误， 5的算术平方根是，故C错误，D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练地掌握以上知识是解决问题的关键． 6. 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（ ） A. 不断变大 B. 不断变小 C. 先变小再变大 D. 先变大再变小 【答案】C 【解析】 【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论． 【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O， ∵两点之间线段最短，且PQ为定值， ∴当点O运动到此点时三角形的周长最短， ∴这些三角形的周长变化为先变小再变大． 故选：C． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 7. 比较大小：_____2（填“＜”、“＞”、或“=”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】∵4<5<9， ∴2<<3， ∴1<−1<2， 故答案为<. 8. 一次函数y＝﹣2x﹣4的图像不经过第__象限． 【答案】一 【解析】 【分析】首先确定一次函数y=kx+b的系数的符号，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣4中-2<0,-4<0， ∴一次函数y＝﹣2x﹣4图象经过二、三、四象限， 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 9. 已知中，，求证：，用反证法证明：第一步是：假设_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，的反面是． 【详解】解：已知中，， 求证：， 运用反证法证明这个结论，第一步应先假设， 故答案为：． 10. 漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当为8cm时，对应的时间为______． … 1 2 3 5 … … 2.4 2.8 3.2 4 … 【答案】15 【解析】 【分析】先根据一次函数的性质判断出错误的h值，再利用待定系数法求出h与t的关系式，最后将h=8代入即可． 【详解】解：设一次函数的表达式为h=kt+b，t每增加一个单位h增加或减少k个单位， ∴由表可知，当t=3时，h的值记录错误． 将（1，2.4）（2，2.8）代入得， ， 解得k=0.4，b=2， ∴h=0.4t+2， 将h=8代入得，t=15． 故答案为：15． 【点睛】本题考查一次函数的应用，能熟练的求出一次函数表达式是解题关键． 11. 直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程组的解就是两函数图象的交点，于是得到结论． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴关于x、y的方程组的解为：； 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的关系，以及一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是掌握方程组的解就是两函数图象的交点坐标． 12. 如图，是的角平分线，，则点D到的距离是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等． 过作于，则是点到的距离，根据角平分线性质得出，代入求出即可． 【详解】解：过作于，则是点到的距离， ∵是的角平分线，， ， ， ， 故答案为：． 13. 如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为________． 【答案】 【解析】 【分析】先运用勾股定理求出BC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3， ∴BC=， ∵∠BAC=90°，D为BC的中点， ∴AD=BC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键． 14. 如图，在锐角△ABC中，∠A=80°，DE和DF分别垂直平分边AB、AC，则∠DBC的度数为_______°． 【答案】10 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到BD=AD=CD，∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，根据三角形内角和定理结合已知即可求得∠DBC的度数． 【详解】∵DE和DF分别垂直平分边AB、AC， ∴BD=AD=CD， ∴∠ABD=∠BAD，∠ACD=∠CAD，∠DBC=∠BCD， ∵∠ABD+∠BAD+∠ACD+∠CAD+∠DBC+∠BCD=180， ∴2(∠BAD+∠CAD+∠DBC) =180， ∵∠BAD+∠CAD=∠A=80°， ∴∠DBC=10°， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 15. 如图，点Q在线段上由A向C匀速运动，速度为，设运动时间为，y与t的函数图象经过点和，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】设y与t的函数关系式解为，利用待定系数法求出y与t的函数关系式，其中k的绝对值即为速度为a． 【详解】解：设y与t的函数关系式解为，根据题意，得： ，解得， ∴y与t的函数关系式解为， 故速度为． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，掌握待定系数法求出函数关系式是解答本题的关键． 16. 如图，正方形的边长为1，点E为边的垂直平分线上一点，连接．把绕点B顺时针旋转得，连接，则 的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】该题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等． 证明，即可求解． 【详解】解：如图，设与边的垂直平分线交点为点F，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共102分） 17. （1）计算： （2）求中x的值． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、零指数幂，负整数指数幂、二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． （1）首先根据零指数幂，负整数指数幂、二次根式的性质，绝对值的性质分别计算，再合并即可． （2） 根据直接开平方法求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）， 化简得， 开平方得， 解得：或． 18. 按要求分别完成下列各题： （1）如图1，，，请在图1中画一条直线，把分成两个三角形，且分得的两部分都是轴对称图形（在图上适当标注记号或在图旁说明）； （2）如图2，，请你将补成四边形，使四边形是菱形，（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）如图3，中，，请你画一条直线，把分成一个三角形和一个四边形两部分，且两部分都是轴对称图形（尺规作图，保留作图痕迹）； 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】（1）将直角三角形分成两个等腰三角形就能满足题意，可以连接于斜边的中点； （2）作交于点，作出四边形即可． （3）作的角平分线交于，在上截取，得四边形为轴对称四边形，也可证明是轴对称图形． 【小问1详解】 解：作中垂线交于，连接，则都是等腰三角形，也都是轴对称图形； 证明：根据线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴都是等腰三角形，也都是轴对称图形； 【小问2详解】 解：作交于点，作出四边形，则四边形是菱形； 证明：， ， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：作的角平分线交于，在上截取，得四边形为轴对称四边形； 证明：根据题意可得， ， ∴为轴对称四边形； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，即可得是轴对称图形． 【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，关键是掌握基本作图的步骤，掌握菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质判定，尺规作-角平分线、线段垂直平分线、平行线等知识点． 19. 点为一次函数图像上两点． （1）若． ①当时，x的范围为 ． ②若将此函数图像沿y轴向上平移3个单位，平移后的函数图像的表达式为 ． （2）比较p、q大小，并说明理由． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数性质，正确记忆平移规律是解题关键． （1）①根据题意得到，解不等式即可求得；②根据平移的规律即可求得； （2）根据一次函数的性质即可判断． 【小问1详解】 解：， ∴一次函数为， ①， ， ； ②将此函数图象沿轴向上平移3个单位，平移后的函数图象的表达式为； 故答案为：①；②； 【小问2详解】 解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵点为一次函数图象上两点，且， ∴． 20. 已知，如图，在中，点在上，，，垂足分别是点、．结合以上信息，从“①；②；③是的中点”中选择两个作为条件，一个作为结论，得到一个真命题，并加以证明．你选择的条件是　　，结论是　　（请写出序号）． 【答案】①②，③，证明见解析 【解析】 【分析】由得到，由，得到，又，即可证明，得到． 【详解】证明：选择的条件是①③，结论是③． ， ， ，， ， ， ， ， 是的中点． 故答案为：①②，③． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 21. 在平行四边形中，过点D作于点E． （1）请你只用无刻度的直尺在边上画出点F，使得连接后四边形是矩形．（要求：保留画图痕迹，并证明你画图的正确性） （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）先连接，它们相交于点，再连接并延长交于点，连接即可； （2）根据矩形的性质求出，根据勾股定理求出，求出，推出，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：先连接，它们相交于点，再连接并延长交于点，连接，则四边形即为所求； 证明：∵四边形为平行四边形， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 22. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接． （1）求证：； （2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由） 【答案】（1）见详解 （2）四边形是菱形 （3）当时，四边形是正方形 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定、平行四边形的判定及性质、菱形的判定及性质、直角三角形的性质，熟练则知识点是解题的关键． （1）先利用平行四边形的判定证得四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求证结论． （2）求出四边形为平行四边形，再根据对角线即可求解． （3）由（2）中的性质，求出，根据正方形的判定即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ， ， ，即， 四边形是平行四边形， ； 【小问2详解】 解：四边形是菱形， 理由是：∵为中点， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， 为中点， ， ∴四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形， 理由：∵，， ， 由（2）可知，四边形是菱形， ， ， ∴四边形是正方形． 23. 如图，在直角坐标系中，直线：分别交x轴、y轴于点D、E，直线：分别交x轴、y轴于点C、． （1）求点A的坐标和的面积． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． （3）在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，分别与直线交于点M、N．若，求m的值． 【答案】（1），的面积是 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的几何应用，一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点在直线上，求出直线的解析式，联立和即可求出点；求出，，，再根据即可求解； （2）根据点在线段上，点在直线上，即可得出，根据的取值范围即可求出最大值； （3）根据点，得出，，根据，列出方程求解即可； 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴直线的解析式， 联立和可得，解得：， 故点； 在：中，令，则，故， 令，则，故， 在直线：中，令，则，故， ∴； 【小问2详解】 解：∵点在线段上，点在直线上， ， ， ， ∴当时，有最大值， 【小问3详解】 解：∵点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或． 24. 如图，数轴上点A表示的数是．点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，与点A之间的距离为y． （1）填写下表，画出y关于x的函数图像； x … 0 1 2 … y … … （2）x是y的函数吗？______（填“是”或者“不是”）； （3）观察图像， ①写出该函数的两条不同类型的性质； ②若，则对应的x的值是______． 若，则对应的x的取值范围是______． （4）关于x的方程(k为常数，)，请利用函数图像，根据方程解的个数写出对应k的值或取值范围． 当_____________时，方程有两个解； 当________________时，方程有一个解； 当____________________时，方程没有解 【答案】（1）见详解 （2）不是 （3）①见详解；②或1；或 （4）当时，方程有两个解；当或或时，方程有一个解；当时，方程没有解 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据两点间距离公式可得，代入相应的的值，求得的值填表即可；找出具体的点画出函数图象即可； （2）根据函数的定义进行判断其不是函数关系； （3）①观察函数图象可得结论；②观察函数图象可得结论； （4）由题可知，作出的图象，观察得知两函数图象交点的横坐标即可； 【小问1详解】 解：表示与点之间的距离，所以，， 填表可得： x … 0 1 2 … y … 2 1 0 1 2 3 4 … 函数图象如下： 【小问2详解】 解：不是； 例如：当时，可以取或，不满足函数的定义，给定一个的值，都应该有唯一的的值与之对应； 【小问3详解】 解：①写出该函数的两条不同类型的性质；根据图象可得： 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 关于经过且垂直于轴的直线对称； ②根据图象可得：若，则对应的x的值是或1． 若，则对应的x的取值范围是或． 【小问4详解】 解：如图， ∵关于的方程(为常数，， 令，则图象过点， 当过点时，， ∴，此时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； 当直线平行于时，， ∴时，关于的方程（为常数，有一个解； ∴当时，方程有两个解； 当或或时，方程有一个解； 当时，方程没有解． 25. 如图，正方形中，，点在边上，点关于直线的对称点为点，连接，，． （1）当为边中点时，根据题意补全图形，并求的长； （2）当为边上一点，，求的度数； （3）过点作交的延长线于，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）图形见解析；； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得出，利用勾股定理求出，利用轴对称的性质得出，，再利用面积法求出，可得结论； （2）根据轴对称得性质得出，再利用正方形的性质得出，求出两个等腰三角形的底角的度数，可得结论； （3）过点D作交于点H．设交于点O，利用证明，得出，，结合（2）可得，进而可得的结论． 【小问1详解】 解：补全图形如图1所示： ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图2： ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：． 理由：过点D作交于点H．设交于点O． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根据题意作图，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，勾股定理以及轴对称的性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 26. 如图①，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段最短，则线段的长度称为点P到图形l的距离．例如：图②中，线段的长度是点到线段的距离；线段的长度是点到线段的距离．如图③，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为，直线与x轴相交于点C．点）为x轴上一动点，设点P到线段的距离为d． （1）① °； ②若，求d的值； （2）若，求a的值； （3）若点P在线段上运动，且d为整数，求a的值． （4）在平面内有一个矩形，对称中心为M，在矩形外有一点N，，当矩形绕着点M旋转时，则点N到矩形的距离d的取值范围为 ． 【答案】（1）①；② （2）若的值为1或3 （3）若点在线段上运动，且为整数，则值为或1或 （4） 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法求得直线的解析式，进而得到点的坐标，过点作于点，利用等腰三角形的判定与性质即可得出结论； ②利用新定义解答即可； （2）利用分类讨论的思想方法分①当点在点的左侧时，②当点在点的右侧时，利用新定义的意义解答即可； （3）利用分类讨论的思想方法分当(1)点在点的左侧时，(2)当点与点重合时，(3)当点在点的右侧时，利用为整数，令，利用勾股定理求出线段的长度，进而求得线段的长，则结论可得． （4）由题意以及矩形性质得过矩形各边的中点时，最大，过矩形的顶点时，最小，分别求出的值即可得出答案． 【小问1详解】 解：①设直线的解析式为， ， 解得：． ∴直线的解析式为． 令，则， ， ， ， 过点A作于点E，如图． 则． ， ， ， ， 故答案为：45； ②若，点与点重合， ∴线段的长度为点到线段的距离， ； 【小问2详解】 解：①当点在点的左侧时．的长为到线段的距离， ， ∴点与点重合． ②当点在点的右侧时，点到线段的垂线段的长度为到线段的距离，过点作交轴于点，如图， ， ， ∴点与点重合． ， ， ， 综上，若的值为1或3； 【小问3详解】 解：①当点在点的左侧时，的长为到线段的距离， ∵为整数， ∴当，即，如图， ， ， ， ； ②当点与点重合时，，符合题意， ， ； ③当点在点的右侧时，点到线段的垂线段的长度为到线段的距离，过点作于点，如图， 当时，， ， ， ， ， 当时，即． ， ， ∴，不合题意． 综上，若点在线段上运动，且为整数，则的值为或1或． 【小问4详解】 解：如图：设的中点是过点时，点与边上所有点的连线中，最小，此时此时最大，过顶点时，点与边上所有点的连线中，最大，此时最小， 如图①：∵，中心为， ， ； 如图②：∵，中心为， ， ， ， ∴的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，旋转的性质，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$