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2025届高三第一次质量监测数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 集合，，则 A. B. C. D. 2. 设函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. “”是 “”的 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件. 4. 当阳光射入海水后，海水中光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 5. 函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C D. 6. 今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门的有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 28 D. 36 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 8. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 10. 已知随机事件相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 若0为的极小值点，则的最小值为2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 13. 已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为__________. 14. 与曲线和曲线均相切的直线的方程为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 12 21 33 41 52 63 （1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？ （2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望． 16. 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 17. 已知函数. （1）证明：曲线中心对称图形； （2）若，求实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若在上有两个极值点. ①求实数的取值范围： ②求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三第一次质量监测数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式得到集合，结合交集定义进行求解即可． 【详解】， 则，故选B． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合B的等价条件，首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响，在求交集时注意区间端点的取舍. 2. 设函数，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，分段代入计算即得. 【详解】函数，， 所以. 故选：D 3. “”是 “”的 A. 充分不必要条件； B. 必要不充分条件； C. 充要条件； D. 既不充分也不必要条件. 【答案】A 【解析】 【详解】，而，如，则不成立，所以”是 “”的充分不必要条件．选. 考点：充分条件、必要条件. 4. 当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强.已知某海域5米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（ ） （参考数据：） A. 0.2 B. 0.18 C. 0.1 D. 0.14 【答案】B 【解析】 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，， 化成对数式，，解得，. 故选：B. 5. 函数的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的对称变换，伸缩变换，平移变换，即可求解． 【详解】函数的图象如图①关于轴对称可得， 再将的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得， 再将的图象向右平移2个单位得，即得 再将的图象沿轴翻折可得，即得图2． 故选：B． 6. 今年暑期档，全国各大院线推出多部精彩影片，其中比较热门有《异形：夺命舰》，《名侦探柯南》，《抓娃娃》，《逆行人生》，《姥姥的外孙》这5部，小明和小华两位同学准备从这5部影片中各选2部观看，若两人所选的影片至多有一部相同，且小明一定选看《名侦探柯南》，则两位同学不同的观影方案种数为（ ） A. 12 B. 24 C. 28 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况，两人所选影片均不同，两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，不是《名侦探柯南》相同，分别计算出相应的方案数，相加即可. 【详解】若两人所选影片均不同，此时小明先从除《名侦探柯南》中选择一部， 小华从剩余的3部中选择两部，此时共有种方案， 若两人所选影片中，《名侦探柯南》相同，则两人从剩余4部中各选1部，有种方案， 若两人所选影片中，不是《名侦探柯南》相同，相同的影片为4部中1部，有种选择， 再给小华从剩余3部中选择一部，有种选择，故共有种方案， 综上，共有种方案. 故选：D 7. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“1”技巧，利用均值不等式求解即可. 【详解】，， ， ，，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：A. 8. 若函数有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导，将有两个极值点转化为和的图像有两个交点，画出图像，通过切线解决即可. 【详解】，因有两个极值点，故有两个根， 即和的图像有两个交点，画出图像， 若，显然1个交点，不合题意；若，设直线和相切于点， 则，解得，故切点是，故，解得. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，，可判断C；根据可判断A；利用对数的运算可判断B；根据可判断D． 【详解】已知，，所以C正确； ，即， 因为，所以，A错误； ，B正确； 因为，所以，D正确． 故选：BCD． 10. 已知随机事件相互独立，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和独立事件乘法公式即可判断ABC，再根据即可判断D. 【详解】对于B，，所以，故B正确； 对于A，，解得，故A错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 11. 定义域为的连续函数，对任意，且不恒为0，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. C. 若，则 D. 若0为的极小值点，则的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，先求，再令，结合奇偶性定义判断A，令，结合换元法判断B，令，结合，先求出的周期为4，算出即可判断C，利用极小值定义求出的最小值判断D. 【详解】对于选项A，令，有，解得或， 若，只令，有，则恒为0， 所以，所以， 只令，有，因为， 所以，即， 所以， 所以为偶函数，故选项A正确； 对于选项B，令，有， 令，所以，故，故选项B错误； 对于选项C，若，令，有， 所以，所以， 所以，所以， 所以的周期为4， 因为，， 所以，，， 所以， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由选项A可知， 因为为偶函数，所以只需求解的的取值范围， 因为0为的极小值点，所以存在，使时，， 由选项B可知，， 所以， 若，则，则有， 与时，矛盾， 故，所以，解得或， 由上述过程同理可证不成立，所以， 所以当时，，又因为为偶函数， 所以当时，的最小值为，故选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项D，利用极值的定义知存在，使时，，再利用选项B中结论， 再分和两种情况，即可求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理得到的通项公式，结合，得到，得到的系数. 【详解】的通项公式为， 令得，，此时， 令得，，此时， 故的系数为 故答案为： 13. 已知正方体的棱长为，分别是棱的中点，则四面体的外接球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出各顶点的坐标，利用球心到各顶点距离相等，求出半径，即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，半径为， 则，解得， 得到，所以外接球的表面积为， 故答案为：. 14. 与曲线和曲线均相切的直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】设出切点和，求导得到，并写出切线方程，将代入，化简得，从而求出切线方程. 【详解】设在点和在点的切线重合， ，， 故，即，， 在点处的切线方程为， 将代入得， 即， 所以， 又，故，则， 故切线方程为，即. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在每年的1月份到7月份，某品牌空调销售商发现：“每月销售量（单位：台）”与“当年的月份”线性相关．根据统计得下表： 月份 1 2 3 4 5 6 销量 12 21 33 41 52 63 （1）根据往年的统计得，当年的月份与销量满足回归方程．请预测当年7月份该品牌的空调可以销售多少台？ （2）该销售商从当年的前6个月中随机选取3个月，记为销量不低于前6个月的月平均销量的月份数，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）72台 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）计算出与后，借助回归直线过样本中心点即可得回归直线方程，再借助回归直线方程代入计算即可得解； （2）得出的所有可能取值后，计算每种取值对应概率即可得其分布列，借助分布列计算即可得其期望. 【小问1详解】 ， ， 又回归直线过样本中心点， 所以，得， 所以， 当时，， 所以预测当年7月份该品牌的空调可以销售72台. 【小问2详解】 因为，所以销量不低于前6个月的月平均销量的月份数为4，5，6， 所以， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 . 16. 如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，是的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连结，交于，连结，证明，由线线平行即可推得线面平行； （2）方法一：先证平面，过点作于点，过点作于点，连结，证明是二面角的平面角，借助于直角三角形分别求出和，即可求得；方法二：以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系，依题求出相关点和向量的坐标，运用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 如图，连结，交于，连结. 在三棱柱中，侧面是平行四边形，故是的中点， 又因是的中点，则得. 因平面平面，故得平面. 【小问2详解】 因侧面均为正方形，则. 又因平面，故平面. （方法一）三棱柱是直三棱柱，侧面底面. 过点作于点，过点作于点，连结. 因为平面，平面平面， 所以平面，又因平面，则, 因.则平面， 因平面，故. 即是二面角的平面角. 因为侧面均为正方形，， 所以，所以,. 在直角中，， 故， 直角中，，故. 即二面角的余弦值为. （方法二）如图，以为坐标原点，以为一组正交基底建立空间直角坐标系. 因，侧面均为正方形，故. 由，可得. 设平面的法向量， 则有，故可取； 又,设平面的法向量， 则有，故可取. 设二面角的大小为，由图知，为锐角， 则. 所以二面角的余弦值为. 17. 已知函数. （1）证明：曲线是中心对称图形； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数的定义域，计算的值判断对称中心； （2）利用导数判断的单调性，结合函数对称性列不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 函数，定义域为， 所以曲线关于点对称. 小问2详解】 ， 因为，，所以， 所以在定义域上单调递增. （方法一）又关于点对称，， 所以 解得. （方法二）因为关于点对称， 所以是奇函数，且在区间上单调递增. 由，即， 即， 所以，所以 解得. 所以实数的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是棱的中点，点是棱上一点． （1）证明：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案； （2）以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设点，求出平面的一个法向量、，利用线面角的向量求法、点到平面的距离的向量求法可得答案. 【小问1详解】 在正方形中，有， 又底面，平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以有， 又，平面，所以平面， 又平面，所以； 【小问2详解】 如图，以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， ，，，设点，， 设平面的法向量，，， 令，可得，又， 所以直线与平面所成角正弦值， 化简可得，即， 所以或（舍）， 即点，由可得，，， 所以点到平面的距离． 19. 已知函数. （1）讨论在区间上的单调性； （2）若在上有两个极值点. ①求实数的取值范围： ②求证：. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意，求导，根据含参二次函数的性质，进行分类讨论，可得答案； （2）①根据极值点与导数零点的关系，结合二次函数的性质，求参数的取值范围； ②为方程的两个根，由韦达定理计算，可知需证，再构造函数证明即可． 【小问1详解】 . 若，二次函数在上单调递增，则， 所以，所以在区间上单调递增. 若，记，则， 所以在区间上有唯一零点， 且当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上所述：当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 ①.因为在有两个极值点， 所以在有两个不等零点， 所以，解得. 所以实数的取值范围为. ②. 由①知，. 方法一， 所以 同理. 所以 设， 所以， 所以函数在区间上单调递减， 所以，所以. （方法二） 下同解法一. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$