精品解析：山西省力行中学2024-2025学年九年级上学期期中学业质量检测数学试题

""

2024-2025学年第一学期期中学业质量检测九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，提交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 关于的一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，灵活运用一元二次方程的解法是解题关键．先移项，然后系数化为1，得到，利用直接开方法求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2. 如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定定理，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据正方形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：根据正方形的判定“两条对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，即可知这个四边形为正方形， 故选：C． 3. 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压（毫米汞柱）与年龄（岁）大致满足关系：．如果一个女性的收缩压为110毫米汞柱，那么她的年龄是（ ）岁 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的基本应用，直接把代入函数，解出即可得解． 【详解】解：当时，． 解得，（舍）， 故这个女性的年龄为15岁， 故选：A． 4. 地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（ ） A. 33 B. 330 C. 550 D. 600 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【详解】解：设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， ∴， 解得， ∴设某地到太原理工大学（明向校区）的实际距离为， 故选：B． 5. 某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过元，就可以参加转转盘抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者能领取到红枣1小袋的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： 先列表得到所有等可能性的结果数，再找到符合情况的结果数，再利用概率公式解题即可． 【详解】解：令为麻花1小袋，为饼子1小袋，为鸡蛋5个，为红枣1小袋， 列表如下： 由表格可知，一共有16种等可能性的结果，其中两次指针都指到红枣1小袋的情况只有1种， ∴购物者能领取到红枣1小袋的概率是为． 故选：D． 6. 今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱、洗衣机、电视、空调等8类家电商品．某地出台最高补贴标准为每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过1000元）．马老师购买某品牌的全自动洗衣机一件，享受最高补贴后实际支付了2916元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设这个百分率为，根据4800元的商品，每件销售价格的给予补贴，经过连续两次降价后的价格为2916，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这个百分率为，根据题意得： ， 故选：C． 7. 如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（ ） A. 由小到大 B. C. 由大到小 D. 会发生变化，但无规律 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，设，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据正方形的性质证明，进而求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图所示，，，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是证明三角形相似． 证明，求出，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 9. 如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ） A. B. 点是线段的黄金分割点 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度的直角三角形性质以及黄金分割的定义，熟练掌握基本知识点是解题关键． 设，则，通过勾股定理求出，进而得到，再逐一判断即可． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故C错误， ∴，故D正确， ∴，故点不是线段的黄金分割点，故B错误， 若，在直角三角形中会有，但是与前面得到矛盾，故，故A错误． 故选：D ． 10. 如图，矩形的边，的长是关于m的一元二次方程的两个根，且．将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点，与交于点E，连接，则下列结论正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的基本性质，全等三角形证明及性质，相似三角形的证明，能够找到三角形全等以及相似的两个三角形是本题解题关键．先解方程得到，，通过折叠性质先证得，即可判断②，再通过勾股定理算出，即可判断①，全等中得到角相等，即可判断④，连接与交于点，利用等面积法可求出，进而勾股定理求得，判断③． 【详解】解：∵矩形的边，的长是关于的一元二次方程的两个根， 解方程，得到，， ∴，， ∵矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点， ∴，，，，， 在与中，，，， ∴，故②正确； ∴，， 设，则， 在直角三角形中，， ∴，解得， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ， ∴，故④正确； ∴ ∴ 如图，连接与交于点，连接， ∴ ∵与关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵, ∴ 在中，，故③正确 正确的结论有②③④． 故选：C． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是_____法． 【答案】配方 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握配方的方法是关键． 根据配方法的解题步骤即可求解． 【详解】解：解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为， 这是采用了配方法解一元二次方程， 故答案为：配方． 12. 某市体育中考内容有三项，对于男生的要求是：必考项目是1000米跑；选考项目：从立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项．则男生小李选择立定跳远和一分钟跳绳的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：标记为立定跳远，为一分钟跳绳，为引体向上，为实心球， 先画出树状图如下： 共有12种等可能情况，其中立定跳远和一分钟跳绳有2种情况， ∴男生小李选择立定跳远和一分钟跳绳的概率为． 故答案为： ． 13. 菱形和菱形的位置如图所示，点在边上，点在边的延长线上，连接，，构成，若的面积为15，则菱形的面积为_____． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了菱形基本性质和相似三角形的证明及性质，难度较大，能够找到相似三角形利用比例式计算是解题关键． 如图，设与交点为H点，先证出，然后设，利用比例式计算得到，再利用三角形面积关系最后可证得即可求解． 【详解】解：如图，设与交点为H点， ∵菱形和菱形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 设，即， ∴，， ∴，， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵为菱形的对角线， ∴菱形的面积为． 故答案为：30． 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，点为斜边的中点，点从点出发，沿着进行循环运动，当线段把分割成两部分，若分割得到的三角形与相似，则点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质等知识，解题关键是分情况讨论，避免遗漏．分当轴时、轴时、点与点重合时三种情况，结合相似三角形的判定定理，即可获得答案． 【详解】解：分三种情况讨论， 当轴时，如图所示， ∵，， ∴，此时； 当轴时，如图所示， ∵，， ∴，此时； ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵点为斜边的中点， ∴为的中位线， ∴，同理， ∴， 当点与点重合时，此时， ∴， 又∵， ∴，同理可得， ∴此时． 综上所述，点的坐标为为或或． 故答案为：或或． 15. 如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 【详解】解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法， 熟练掌握基本解法是解题关键． （1）可采用配方法或者公式法解方程； （2）先移项，然后因式分解，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：方法一：， ， ， ，． 方法二：，，， ， ， ，． 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ，或， ，． 17. 如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，关键在于理解相似矩形对应边成比例这一性质，并能准确找出小路内外边缘围成的矩形的长和宽的表达式． 通过分析两个矩形相似的性质，找出对应边的比例关系，并用含有的代数式表示内边缘所围成的矩形的长，进而列方程求解的值即可． 【详解】解：人行小路内边缘所围成的矩形的长为， 宽为． 根据相似多边形定义，当各边成比例时，这两个矩形相似，即： ， 解得， 经检验，是原方程的解． 答：当时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 18. 如图1，由两个全等的矩形纸条叠合在一起，四边形是重叠的部分． （1）猜想四边形是什么特殊四边形，并证明； （2）重叠部分的对角线与相交于点，如图2，且，，求矩形纸条的宽． 【答案】（1）菱形，见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定定理和菱形的面积公式是解题关键． （1）作于，于，首先证明四边形是平行四边形，利用面积法推导，即可证明平行四边形是菱形； （2）设矩形纸条的宽为，首先根据菱形的性质，利用勾股定理解得的值，然后利用面积法求解即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，证明如下： 如下图，作于，于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 如下图，设矩形纸条的宽为， ∵四边形是菱形，与相交于点，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 即矩形纸条的宽为． 19. 运城关公文创系列产品很受游客喜爱，某校综合实践小组调查了某文创店，获得如下信息：信息一，每个塑料关公大刀玩具的进价为5元；信息二，当每个塑料关公大刀玩具销售价为15元时，每天可售出120个，若每个塑料关公大刀玩具售价每降低1元，则平均每天可多售出40个．若该文创店每天想要获得1600元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠．一个这种塑料关公大刀玩具的销售价格应为多少元？ 【答案】10元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，能够读懂题意列出方程是解题关键． 设一个这种塑料关公大刀玩具应降价元，可得到每一个玩具的利润为，销量为：，然后根据总利润销量每一个的利润，列出方程解方程即可． 【详解】解：设一个这种塑料关公大刀玩具应降价元． 根据题意得． 解得，． 尽可能让顾客得到实惠， 舍去． （元）． 答：一个这种塑料关公大刀玩具的销售价格为10元． 20. 游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． （1）每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； （2）如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； （3）你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 【答案】（1） （2） （3） 由表格可知某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为， ∵ ∴两人获胜的概率相等，这个游戏对小刚父亲和小刚二叔是公平的． 【解析】 【分析】本题考查列表法或画树状图法的概率计算，得到所有的等可能的结果是解答的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）先画树状图法得到所有的等可能的结果，再找出小刚胜小明的可能结果数，然后利用概率公式求解即可； （3）首先求出某一次说出时小刚二叔胜小刚父亲的概率为，然后判断即可． 【小问1详解】 解：∵共有“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”4种情况， ∴每一次小刚父亲说出“老虎”的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小刚二叔 小刚父亲 A B C D 由表格可知，共出现了16种等可能的结果，其中小刚父亲胜小刚二叔的结果有4种， ∴某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率为； 【小问3详解】 略 21. 阅读与思考 请仔细阅读并完成相应的任务． 对一元二次方程根的判别式的再认识 通过学习我们知道一元二次方程（，，，c为常数），当时，其求根公式为． 我们先对关于的一元二次方程（，，，为常数）进行如下的配方： 方程两边都乘以，得① 把常数项移到方程的右边，得 配方，得 即② 因为 所以，当时，，方程有两个实数根； 当时，，_____． 一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式．这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想．由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单． 任务： （1）文中横线上的内容应为_____． （2）不解方程，请直接判断下列方程的根的情况； ①，②，③； （3）某次课堂检测，小马同学在解关于的一元二次方程过程中，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值大1，求原方程的根． 【答案】（1）方程没有实数根 （2）①有两个不相等的实数根；②没有实数根；③有两个相等的实数根 （3）， 【解析】 【分析】本题考查判别式以及用公式法解一元二次方程，熟练掌握基本方法是解题关键． （1）根据当时，方程没有实数根填空即可； （2）利用判别式依次判断即可； （3）将将代入方程得到的值，再解方程即可． 【小问1详解】 解：当时，，此时方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根 【小问2详解】 ①，所以有两个不相等的实数根； ②将方程变形得到：，得到，所以方程没有实数根； ③将方程变形得到：，得到，所以方程有两个相等的实数根． 【小问3详解】 ∵所抄的比原方程的值大1， ∴将代入方程得：， ∴， 原方程为， ，，， 即，． 22. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，点在边上，现从下列关系式：①，②，③中选取部分关系式来当作已知条件． 问题解决： （1）选择其中①，②两个式子作为已知，请直接写出图中所有的相似三角形； （2）选择其中①，②两个式子作为已知，当，时，求的长； （3）当把②，③作为已知，①作为结论，这个命题是真命题吗？如果是，请证明；如果不是，说明理由． 【答案】（1），， （2）6 （3）是，见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的证明及性质，熟练掌握基本性质是解题关键． （1）根据垂直的定义及性质可知，及，，进而可证得，，； （2）由（1）可知，得到，代入数据即可求解； （3）先证得，再通过角度计算即可得证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，，∴； ∵，，∴， ∵，，∴， ∴相似的三角形有：，，． 【小问2详解】 ∵由（1）可知． ． ， ． 【小问3详解】 当把②，③作为已知，①作为结论，这个命题是真命题，理由如下： ． ． ． ． ． ． ． ． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，点为直线上一点，在直线上方作，点为中边上的一个动点，过点作直线，交的外角平分线于点，交内角平分线于点． 数学发现： （1）经过测量发现，请证明此结论； 初步探究： （2）①用一个在九年级数学上册第一章学过的有关直角三角形方面的定理来叙述这一结论； ②若，，则_____； 深入探究： （3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并进行证明； 类比提升： （4）当，时，直接写出此时四边形是什么特殊四边形． 【答案】（1）见解析；（2）①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②15；（3）见解析；（4）正方形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义得等腰三角形，即，，即可求证； （2）①证明出，由上知，即可发现知识点为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②根据勾股定理即可求解； （3）当，由（1）可知，则四边形为平行四边形，由（2）①得，故平行四边形是矩形； （4）根据勾股定理逆定理，结合有一组邻边相等的矩形为正方形即可求证． 【详解】（1）证明：如图1， ∵平分， ∴, ∵， ∴, ∴， ∴， 同理， ∴， ∴ （2）解：①∵平分， ∴， ∵，而， ∴， ∴， 由上知， 则，为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一知识点； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：当点O运动到中点处时，四边形是矩形 证明，∵，由（1）可知 ∴四边形为平行四边形 由（2）①得 ∴平行四边形是矩形； （4）解：四边形是正方形， 证明：同上可得四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行线的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期期中学业质量检测九年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，提交答题卡． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑．） 1. 关于的一元二次方程的解是（ ） A. B. ， C. D. 2. 如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么这个四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 梯形 3. 一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压（毫米汞柱）与年龄（岁）大致满足关系：．如果一个女性的收缩压为110毫米汞柱，那么她的年龄是（ ）岁 A. 15 B. 20 C. 30 D. 35 4. 地图上，图上距离与它所表示的实际距离的比通常称为比例尺，已知一张地图的比例尺为，在此地图上测得某地到太原理工大学（明向校区）的直线距离为，则实际距离为（ ） A. 33 B. 330 C. 550 D. 600 5. 某商场促销的方案是：在本商场一次性购物超过元，就可以参加转转盘抽取稷山四宝的活动，转盘如图所示（一个可以自由转动的转盘被分成面积相等的4个扇形，在4个扇形上分别写有：麻花1小袋、饼子1小袋、鸡蛋5个、红枣1小袋的文字）．每个参与者转动转盘两次，当两次指针都指向同一物品时，就领取指针指向的物品，当两次指针指向的物品不一样时，则不领取任何物品（若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部为止）．问一个有幸参加转转盘的购物者能领取到红枣1小袋的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 今年政府继续支持家电以旧换新，涵盖了冰箱、洗衣机、电视、空调等8类家电商品．某地出台最高补贴标准为每件销售价格的给予补贴（每位消费者仅补贴一件，且补贴不得超过1000元）．马老师购买某品牌的全自动洗衣机一件，享受最高补贴后实际支付了2916元．已知此品牌的全自动洗衣机当时的售价是从4800元经过连续两次降价后的价格，且每次降低的百分率相同，设这个百分率为，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（ ） A. 由小到大 B. C. 由大到小 D. 会发生变化，但无规律 8. 如图所示，，，，，，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 9. 如图，过点作，使，连接，在上截取，在上截取，则有（ ） A. B. 点是线段的黄金分割点 C. D. 10. 如图，矩形的边，的长是关于m的一元二次方程的两个根，且．将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点，与交于点E，连接，则下列结论正确的个数有（ ） ① ② ③ ④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 小兵同学解关于的一元二次方程时，先在方程的两边加上16，把方程变形为，他这种解一元二次方程的方法是_____法． 12. 某市体育中考内容有三项，对于男生的要求是：必考项目是1000米跑；选考项目：从立定跳远、一分钟跳绳、引体向上、实心球这四项中选择两项．则男生小李选择立定跳远和一分钟跳绳的概率为_____． 13. 菱形和菱形的位置如图所示，点在边上，点在边的延长线上，连接，，构成，若的面积为15，则菱形的面积为_____． 14. 如图，已知在平面直角坐标系中，点为斜边的中点，点从点出发，沿着进行循环运动，当线段把分割成两部分，若分割得到的三角形与相似，则点的坐标为_____． 15. 如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程． （1） （2） 17. 如图，一个矩形休闲广场的长为，宽为，广场内左右两侧的两条纵向人行小路的宽均为3.5m，如果设上下两侧的两条横向人行小路的宽都为m，那么当为多少时，人行小路内外边缘所围成的两个矩形相似？ 18. 如图1，由两个全等的矩形纸条叠合在一起，四边形是重叠的部分． （1）猜想四边形是什么特殊四边形，并证明； （2）重叠部分的对角线与相交于点，如图2，且，，求矩形纸条的宽． 19. 运城关公文创系列产品很受游客喜爱，某校综合实践小组调查了某文创店，获得如下信息：信息一，每个塑料关公大刀玩具的进价为5元；信息二，当每个塑料关公大刀玩具销售价为15元时，每天可售出120个，若每个塑料关公大刀玩具售价每降低1元，则平均每天可多售出40个．若该文创店每天想要获得1600元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠．一个这种塑料关公大刀玩具的销售价格应为多少元？ 20. 游戏是生活中有趣味的社交活动，是人类终身不可缺少的伴侣，更是家庭欢乐的源泉．小刚父亲和小刚二叔玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”、“老虎”胜“公鸡”、“公鸡”胜“小虫”、“小虫”胜“木棒”．其它情况，则为平局．例如，小刚父亲说“老虎”，小刚二叔说“公鸡”，则小刚父亲胜；又如，两人同时说“虫子”，则为平局；再如，一人说“公鸡”，一人说“木棒”，则为平局． （1）每一次小刚父亲说出“老虎”的概率是_____； （2）如果用，，，分别表示小刚父亲说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”；用，，，分别表示小刚二叔说的“木棒”、“老虎”、“公鸡”、“小虫”，那么某一次说出时小刚父亲胜小刚二叔的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明； （3）你认为这个游戏对小刚父亲和小刚二叔公平吗？为什么？ 21. 阅读与思考 请仔细阅读并完成相应的任务． 对一元二次方程根的判别式的再认识 通过学习我们知道一元二次方程（，，，c为常数），当时，其求根公式为． 我们先对关于的一元二次方程（，，，为常数）进行如下的配方： 方程两边都乘以，得① 把常数项移到方程的右边，得 配方，得 即② 因为 所以，当时，，方程有两个实数根； 当时，，_____． 一元二次方程根的判别式的存在形式②是方程①的等价形式．这就把一元二次方程根的判别式置于方程的观点之中，因而判别式的应用既可以由①往②想，也可以由②往①想．由于一元二次方程根的判别式是配方的结果，应用判别式就省去了配方的过程而显得特别简单． 任务： （1）文中横线上的内容应为_____． （2）不解方程，请直接判断下列方程的根的情况； ①，②，③； （3）某次课堂检测，小马同学在解关于的一元二次方程过程中，解出其中一个根是，他核对时发现所抄的比原方程的值大1，求原方程的根． 22. 综合与实践 问题情境： 如图，在中，点在边上，现从下列关系式：①，②，③中选取部分关系式来当作已知条件． 问题解决： （1）选择其中①，②两个式子作为已知，请直接写出图中所有的相似三角形； （2）选择其中①，②两个式子作为已知，当，时，求的长； （3）当把②，③作为已知，①作为结论，这个命题是真命题吗？如果是，请证明；如果不是，说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 如图，点为直线上一点，在直线上方作，点为中边上的一个动点，过点作直线，交的外角平分线于点，交内角平分线于点． 数学发现： （1）经过测量发现，请证明此结论； 初步探究： （2）①用一个在九年级数学上册第一章学过的有关直角三角形方面的定理来叙述这一结论； ②若，，则_____； 深入探究： （3）当点运动到何处时，四边形是矩形，并进行证明； 类比提升： （4）当，时，直接写出此时四边形是什么特殊四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $