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2025年第一次中考模拟检测 数学试题卷 说明： 1．本试卷共有六个大题，23个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 2. 将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 4. 下列式子运算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ） 学生（序号） 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 仰卧起坐个数 52 56 50 50 48 58 52 50 54 A. 众数是58，中位数是48 B. 众数是58，中位数是52 C. 众数是50，中位数是48 D. 众数是50，中位数是52 6. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______． 8. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 9. 《蝶几图》的作者是明朝的戈汕，其中记载了如图1所示的一种分割正方形的方式：将大正方形分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜、大三斜和闺（等腰直角三角形）． 现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张，拼成如图2所示的图形，若图1中的大正方形的边长为4，则图2中阴影部分的周长是__________． 10. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有33个菱形，则 ______ 11. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则__________． 12. 在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）解不等式：． 14. 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 15. 如图，在两个等腰直角和中，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）如图①，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形； （2）如图②，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形． 16. 在一次摸球实验中，把只有颜色不同的红色和白色小球，随机放在甲、乙两个不透明的袋子里，已知甲袋4个小球中只有一个白色球，乙袋3个小球中只有一个红色球． （1）“从甲袋中摸出一个球是白色球”是__________事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）请用列表法或画树状图法，求出从两个袋子中各抽出一个球都是红色球的概率． 17. 如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，轴，垂足为． （1）求m，n的值； （2）求的长． 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 20. 如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 22. 【基础巩固】 （1）如图1，四边形中，平分，．求证：； 【迁移运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，取的中点E，连接交于点F，若，，求的长； 解决问题】 （3）如图3，四边形中，，，在上取点E，使得，恰有．若，，求四边形的面积． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年第一次中考模拟检测 数学试题卷 说明： 1．本试卷共有六个大题，23个小题．全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. -的倒数是（ ） A. - B. -5 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】倒数：乘积是1的两数互为倒数．据此可得答案． 【详解】解：-的倒数是-5． 故选：B． 【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键． 2. 将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平面图形和立体图形之间的关系，立体图形的三视图，根据面动成体，即可解答，熟知从正面的图形叫主视图是解题的关键． 【详解】解：将如图所示的图形绕直线旋转一周，得到立体图形的主视图为， 故选：C． 3. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星，它的高度大约是．小明将数据用科学记数法表示为，则n的值是（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为． ∴n的值是6． 故选：C． 4. 下列式子运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算和完全平方公式，解题关键是熟练掌握幂的运算法则和完全平方公式，逐项判断即可． 【详解】解：A. 不是同类项，不能合并，不符合题意； B. ，符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：B． 5. 金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（ ） 学生（序号） 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 仰卧起坐个数 52 56 50 50 48 58 52 50 54 A. 众数是58，中位数是48 B. 众数是58，中位数是52 C. 众数是50，中位数是48 D. 众数是50，中位数是52 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 【详解】解：这组数据中50出现的次数最多，故众数为50， 先把这些数从小到大排列，第5个女生的成绩为中位数， 则中位数是52； 故选：D． 6. 用米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　） A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 都一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用二次函数求图形面积的最大值，求弧的半径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 先分别算出各种方案中图形的面积，再比较大小求解． 【详解】解：设围成的图形的面积为， 方案一：设与墙相邻的边长为米，则另一边为米， 由题意得：， 当时，有最大值为； 方案二：如图： 设等腰三角形底边长为，高为， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴，即，整理得：， ∵， ∴， 令，则， ∴当时，有最大值，最大值， ∴当时，有最大值，最大值为； 方案三：设圆的半径为米，则：， 解得：， ∴， ∵， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为______． 【答案】22 【解析】 【分析】直接用冷藏室的温度减去冷冻室的温度即可得到答案． 【详解】解：（℃）， ∴变温室与冷冻室的温差为， 故答案为：22． 【点睛】本题主要考查了有理数减法的实际应用，正确计算是解题的关键． 8. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的某省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，解题关键是根据多次实验得出小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，据此求出不规则图案的面积即可． 【详解】解：根据若干次有效试验的结果绘制成的统计图，可知小球落在不规则图案上的概率大约是0.65，不规则图案的面积占整体面积的0.65， 所以不规则图案的面积为， 故答案为：． 9. 《蝶几图》的作者是明朝的戈汕，其中记载了如图1所示的一种分割正方形的方式：将大正方形分割为长斜（等腰梯形），右半斜和左半斜（直角梯形），小三斜、大三斜和闺（等腰直角三角形）． 现取右半斜两张，左半斜两张和小三斜两张，拼成如图2所示的图形，若图1中的大正方形的边长为4，则图2中阴影部分的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示， ∵图1大正方形的边长为4， ∴， 由题意可得，，是等腰直角三角形， ∴， 由题意可得，J是的中点， ∴， ∴，即， 由题意可得，，即：， ∴图2中，， ∴由题意可得，图2阴影部分的周长是． 故答案为：． 10. 如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有33个菱形，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，图形的规律探究．由题意知，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有个菱形，第3幅图中有个菱形，……可推导一般性规律为第幅图中有个菱形，由题意得，然后求解作答即可． 【详解】解：由题意知，第1幅图中有1个菱形， 第2幅图中有个菱形， 第3幅图中有个菱形， …… ∴可推导一般性规律为第幅图中有个菱形， ∴， 解得，， 故答案为：． 11. 如图所示的网格是正方形网格，A，B，C是网格线的交点，C在以为直径的半圆上．若点D在上，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补．熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键． 记的中点为，连接，可知，然后根据圆内接四边形对角互补求解作答即可． 【详解】解：如图，记的中点为，连接， 由图可知，，，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 故答案为：． 12. 在△ABC 中，∠A=30°，∠B=90°，AC=8，点 D 在边 AB， 且 BD=，点 P 是△ABC 边上的一个动点，若 AP=2PD 时，则 PD的长是____________． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出BC，勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质列式计算即可． 【详解】解：如图 ∵∠B=90°，∠A=30°， ∴BC=AC=×8=4， 由勾股定理得，AB= 当点P在AC上时，∠A=30°，AP=2PD， ∴∠ADP=90°， 则AD2+PD2=AP2，即（3）2=（2PD）2-PD2， 解得，PD=3， 当点P在AB上时，AP=2PD，AD=3， ∴PD=， 当点P在BC上时，AP=2PD， 设PD=x，则AP=2x， 由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3， 解得，x= 故答案为：3或或. 【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）化简：． （2）解不等式：． 【答案】 （1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式运算和解不等式，解题关键是熟练掌握分式运算法则和解不等式步骤； （1）先通分，再合并即可求解； （2）按照解不等式的步骤逐步计算即可． 【详解】解：（1）． （2）去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14. 如图，初三年级准备制作一个长的横幅，横幅内容定为16个字，对横幅的有关数据作如下规定：每个字的字宽是相同的，每两个字之间的字距均相等，边空宽：字宽：字距，试求横幅字距是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，根据空宽：字宽：字距设边空宽为，字宽为，字距为.再根据长的横幅列方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：因为边空宽：字宽：字距， 所以设边空宽为，字宽为，字距为. 由题意可得：， 解得. 答：横幅字距为． 15. 如图，在两个等腰直角和中，，点是的中点．请仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）． （1）如图①，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形； （2）如图②，在线段上找出一点，使四边形为平行四边形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交于，连接，可得为等腰直角三角形，进而可得，由题易得，故四边形为平行四边形； （2）可利平行四边形的对角线互相平分，得到的中点，而是的中点故得中位线，平行于，交于即可解答． 【小问1详解】 解：延长交于，连接，四边形为平行四边形，即所求作四边形； 【小问2详解】 解：如图2所示，四边形即为所求． 解法一：在（1）的基础上连接、交于一点得平行四边形中心，连接和平行四边形中心并延长交于H点，四边形即为所求． 解法二：在（1）的基础上连接、交于一点得三角形的重心，连接和三角形的重心并延长交于H点，四边形即为所求． 【点睛】本题考查了用无刻度的直尺作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结台几何图形的基本性质把构造中点或平行线段，逐步操作．同时也考查了平行四边形的判定和性质． 16. 在一次摸球实验中，把只有颜色不同的红色和白色小球，随机放在甲、乙两个不透明的袋子里，已知甲袋4个小球中只有一个白色球，乙袋3个小球中只有一个红色球． （1）“从甲袋中摸出一个球是白色球”是__________事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； （2）请用列表法或画树状图法，求出从两个袋子中各抽出一个球都是红色球概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用树状图法或者列表法列举求解概率的知识， （1）根据随机事件的特点作答即可； （2）利用画树状图法即可作答． 【小问1详解】 ∵甲袋4个小球中只有一个白色球， ∴“从甲袋中摸出一个球是白色球”是随机事件， 故答案为：随机； 【小问2详解】 可画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到两个小球都是红球的有3种， ． 17. 如图，在矩形中，点为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是找出全等三角形并证明； （1）证明，再根据矩形的性质证明即可； （2）根据，得出，再根据（1）中全等证明即可． 【小问1详解】 证明：点是的中点，且四边形是矩形， ，，，， ， ． 【小问2详解】 证明： ∴， 由（1）得， ， 又由（1）知， ∴， ， ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，轴，垂足为． （1）求m，n的值； （2）求的长． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题： （1）先把代入求出，得，再代入即可； （2）分别求出点A，C的坐标即可求出结论． 【小问1详解】 解：∵点在函数的图象上， ∴，点的坐标为． ∵点在的图象上， ∴． 【小问2详解】 解：∵轴，垂足为， ∴，点的坐标为． 当时，． ∴点的坐标为． ∴． 19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长． （结果精确到．参考数据：，，） 【答案】（1）坐垫到地面的距离约为 （2）的长约为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义． （1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可； （2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可． 小问1详解】 解：如图，过点作，垂足为， 根据题意可知，，， ， ， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为， 答：坐垫到地面的距离约为； 【小问2详解】 如图，由题意得，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以， 答：的长约为． 20. 如图，已知是的直径，为的内接三角形，为延长线上一点，连接于点，交于点． （1）求证：是的切线． （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了切线的证明和解直角三角形，解题关键是熟练运用切线的判定定理进行证明，利用圆的性质得出等边三角形，运用三角函数求解； （1）连接，根据和证明即可； （2）根据得出，得出是等边三角形，再根据三角函数求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ， ∴ 是的半径， 是的切线；． 【小问2详解】 解：在中，， ， 是等边三角形， ， 是直径， ， 在中，． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②图见解析③54 （2）参加组（阅读）的学生人数为980人 （3）恰好抽中甲、乙两人的概率为 【解析】 【分析】（1）①利用参加体育活动小组人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可； （2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：①（人）； 故答案为：； ②参加组的学生人数为：（人）； 参加组的学生人数为：（人）； 补全条形图如下： ③； 故答案为：54； 【小问2详解】 解：（人）； 答：参加组（阅读）的学生人数为980人． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种， ∴； 答：恰好抽中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 22. 【基础巩固】 （1）如图1，四边形中，平分，．求证：； 【迁移运用】 （2）如图2，在（1）的条件下，取的中点E，连接交于点F，若，，求的长； 【解决问题】 （3）如图3，四边形中，，，在上取点E，使得，恰有．若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据平行线的判定得出，证明，得出，求出，根据等腰三角形的判定得出； （3）连接，，证明，得出，证明，设，根据勾股定理得出，列出方程，求出x的值，再根据四边形面积等于两个三角形面积和求出结果即可． 【小问1详解】 证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：如图，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 根据勾股定理得：， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，四边形内角和，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ 【分析问题】 （1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________； （2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________； 【解决问题】 （3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据二次函数的性质求解即可； （2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，求解即可； （3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可得解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过和， ∴此抛物线的对称轴为直线； （2）∵二次函数经过和， ∴， 将代入可得：， ∴， ∴， ∵的图象均经过和， ∴， ∵由图象可得：的顶点在的下方， ∴， 解得：； （3）如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 将代入得，，解得 ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴ 将代入得，，解得， ∴ 将代入得，，解得 ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$