精品解析：2025年山东省临沂市沂南县九年级数学一模试题

""

2025年初中学业水平一轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解答本题的关键．正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴， ∴最小的数是． 故选A． 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 国产大模型凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级产品，截至2月6日，其全球用户量突破2200万，引发产业链的广泛关注，其中2200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键． 用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：2200万， 故选：C． 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的三视图，掌握三视图的画法是解题的关键．根据从上面看到的平面图形即可求解． 【详解】解：这个几何体从上面看，形状如图： 故选：D． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法和除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用合并同类项、同底数幂的乘法和除法的法则积的乘方的法则对各项进行运算判定即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D，画出树状图，即可求解． 【详解】解：设“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”四个岗位为A、B、C、D， 画树状图如下： ∵一共有16种等可能的结果，两名同学恰好在同一岗位体验有4种， ∴这两名同学恰好在同一岗位体验的概率=4÷16=， 故选A． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，画出树状图是解题的关键． 7. 一元一次不等式组：的解集为（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的一般步骤和确定不等式组解集的公共部分．先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 故选：D． 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：B． 9. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，能灵活运用不等式的性质进行变形是解本题的关键．不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质，依次分析各个选项，选出不等式的变形正确的选项即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故A选项正确，符合题意； 当时，，故B选项错误，不符合题意； 当，时，，故C选项错误，不符合题意； 当，时，，故D选项错误，不符合题意． 故选：A． 10. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论： ①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数的应用，分段函数，就是要根据自变量在不同的取值范围函数的关系不一样，需要分段进行讨论，分别进行计算，根据函数关系式可以已知自变量的值求函数值，也可以已知函数值求相应的自变量的值． 设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．在甲批发店花费元，在乙批发店花费元，根据题意，甲批发店花费(元)购买数量（千克）；而乙批发店花费(元)在一次购买数量不超过时，(元)购买数量（千克）；一次购买数量超过时，(元)；即：花费(元)是购买数量(千克)的分段函数． ①花费相同，即；可利用方程解得相应的的值； ②求出在时，所对应的、的值，比较得出结论．实际上是已知自变量的值求函数值． ③求出当时，两店所对应的值，比较得出结论．实际是已知函数值求相应的自变量的值． 【详解】解：设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为．在甲批发店花费元，在乙批发店花费元， 根据题意得， 当时，， 当时，， ①当时，有：，解得（不合题意，舍去）； 当时，也有：，解得：， 故他在同一个批发店一次购买苹果的数量为100千克，故①错误； ②当时，元，元， ∵， ∴乙批发店花费少，故②正确； ③当时，即：和；解得和， ∵， ∴甲批发店购买数量多，故③正确； 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请将正确的答案填在横线上． 11. 将因式分解为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和平方差公式因式分解是解决此题的关键．先提公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，解题的关键是理解根的判别式对应的根的三种情况．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．对于一元二次方程有实数根，可得，得，即可求解． 【详解】解：在方程中，，，， 则． 因为方程有实数根，所以， 即， 解不等式， 得． 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是熟记菱形的性质． 根据菱形的性质和全等三角形的判定方法“”即可证明，再得到，因为，故． 【详解】∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 14. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识利用三角形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段，，， ∴垂直平分线段， ∴，，， 则为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为__________． 【答案】10或64． 【解析】 【分析】利用第六步为1出发，按照规则，逆向逐项即可求出n的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m按照上述规则施行变换后的第六步为1， 则变换中的第五步一定是2， 变换中的第四步一定是4； 变换中的第三步一定是8； 变换中的第二步一定是16， 变换中的第一步可能是32或5 则的值为64或10， 故答案为：10或64． 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，利用变换规则，进行逆向验证是解决本题的关键，考查学生的推理能力． 三、解答题（本题共7小题，共72分） 16. （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）10；（2），2 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键，注意运算顺序． （1）直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案． （2）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 当时，原式． 17. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20，图见解析；（2）72；（3）430；450；（4）选择C型，见解析 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．掌握定义是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得A型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； （2）用乘续航里程为390km的占比即可； （3）分别根据中位数和众数的定义解答即可； （4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【详解】解：（1）（辆）， 的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 故答案为：20； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：， 故答案为：72； （3）由折线统计图知，B型纯电动汽车满电续航里程共调查了20辆，从低到高排列后中位数应第第10，11辆平均数， ，， ∴， C型纯电动汽车满电续航里程中，续航里程的出现次数最多共6辆， ∴． 故答案为：430，450； （4）∵三个型号中C型号纯电动汽车的平均数，中位数，都是最高的， ∴选择C型号的纯电动汽车较为合适． 18. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【解析】 【分析】如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 19. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 【答案】（1）应选用A种食品4包，B种食品2包 （2）应选用A种食品3包，B种食品4包 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用： （1）设选用A种食品x包，种食品y包，根据“恰好摄入热量和蛋白质”列方程组，即可求解； （2）设应选用A种食品a包，B种食品包，根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式，求出不等式的最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设选用A种食品x包，种食品y包， 由题意可知，， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 【小问2详解】 解：设应选用A种食品a包，B种食品包， 由题意可知，． 解得：． 当选用A种食品a包时，脂肪含量（单位：g）为， 脂肪含量随a的增大而减小． ∴时既符合蛋白质的需求，又能够保证脂肪含量最少． B种食品:（包）． 答：应选用A种食品3包，B种食品4包． 20. 如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． （1）求的值； （2）直接写出时的取值范围； （3）连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 【答案】（1）8 （2）或 （3）6 【解析】 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）根据要使得，只需的图象在的图象上方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； 【小问2详解】 令与的另一个交点为， 由反比例函数与正比例函数的性质可知， 要使得，只需的图象在的图象上方， 此时，或； 【小问3详解】 连接，令与交点为，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 21. 如图，是的外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，根据圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理得到，根据是直径，证明，根据平行线的性质得到，由，得到，根据切线的判定定理证明； （2）求出，根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 又， ， 即是等边三角形， ， ， 的长． 【点睛】本题考查了圆的综合，圆心角定理，圆周角定理，切线的判定定理，全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，弧长的计算，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键． 22. 综合与实践 问题情境 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 建模分析 第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行水平距离与小球飞行的高度的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 问题解决 （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）． （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米．若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标． （3）求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可； （3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为， 由表格得：， 解得：， ∴函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得，设， ∴小树顶端点的坐标为， 将其代入得，， 解得：， ∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，， ∴不符合题意，舍去， ∴； 【小问3详解】 解：设铅直高度为，由题意得， ∴； ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为． 23. 在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）， ；（4）1 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）．连接，证明即可求证； （）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解； 过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解； （）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质得，，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （4）如图，连接，则， 当、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年初中学业水平一轮模拟考试试题数学 注意事项： 1．本试卷共120分．考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在试卷和答题卡规定的位置．考试结束后，只将答题卡收回． 2．答题注意事项见答题卡，答在本试卷上不得分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 四个有理数，1，0，，其中最小的数是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 国产大模型凭借颠覆性技术与高性价比成为现象级产品，截至2月6日，其全球用户量突破2200万，引发产业链的广泛关注，其中2200万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校开展岗位体验劳动教育活动，设置了“安全小卫士”“环卫小卫士”“图书管理小卫士”“宿舍管理小卫士”共四个岗位，每个岗位体验人数不限且每位同学只能从中随机选择一个岗位进行体验、甲、乙两名同学都参加了此项活动，则这两名同学恰好在同一岗位体验的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 一元一次不等式组：的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两个批发店销售同一种苹果．在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元，在乙批发店，一次购买数量不超过时，价格为7元；一次购买数量超过时，其中有的价格仍为7元，超出部分的价格为5元．有下列结论： ①若小王在甲、乙两个批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为； ②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为，则他在甲、乙两个批发店中的乙批发店购买花费少； ③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的甲批发店购买数量多． 其中正确的结论是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）请将正确的答案填在横线上． 11. 将因式分解为______________． 12. 如果关于方程有实数根，那么的取值范围是___________． 13. 如图，在菱形中，，分别是，上的点，且，连接，．若，，则的大小为____． 14. 如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于E，F两点，和交于点；以点为圆心，长为半径画弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，和交于点，连接．若，，则的长为______． 15. 1930年，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经提出过这样一个数学猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能够得到1．这一猜想后来成为著名的“考拉兹猜想”，又称“奇偶归一猜想”．虽然这个结论在数学上还没有得到证明，但举例验证都是正确的，例如：取正整数5，最少经过下面5步运算可得1，即：如果正整数最少经过6步运算可得到1，则的值为__________． 三、解答题（本题共7小题，共72分） 16 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 17. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车．为了选择合适的型号，小明随机对三种型号汽车的满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 C型纯电动汽车满电续航里程统计情况 续航里程 430 440 450 460 470 车辆数/辆 2 3 6 5 4 型号 平均里程 中位数 众数 A 400 400 410 B 432 m 440 C 453 450 n 【分析数据】（1）小明共调查了______辆A型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； （2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为______； （3）由上表填空：______；______； 【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 18. 四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（垂直于，垂足为），在处与篮板连接（所在直线垂直于），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）．已知，测得时，点离地面的高度为．调节伸缩臂，将由调节为，判断点离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：） 19. 某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： （1）若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ （2）考虑到健康饮食的需求，若每份午餐需选用这两种食品共7包，并保证每份午餐中的蛋白质含量不低于，且脂肪含量要尽可能低．请通过计算，求出符合要求且脂肪含量最低的配餐方案． 20. 如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． （1）求的值； （2）直接写出时的取值范围； （3）连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 21. 如图，是外接圆，，点D是上一点，，连接，过点C作交的延长线于点E． （1）求证：为的切线； （2）若的半径为2，且，求的长． 22. 综合与实践 问题情境 如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处． 建模分析 第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系． 第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如下表： 0 1 2 3 4 5 … 0 2.5 4 4.5 4 2.5 … 第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为． 问题解决 （1）求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）． （2）如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米．若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标． （3）求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度． 23. 在直角三角形纸片中，，， 数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$