"本讲义系统梳理平行四边形的定义、性质（边、角、对角线、对称性）、判定方法（边、对角线）、周长面积公式及坐标系中的应用，构建从基础概念到综合应用的学习支架，帮助学生逐步深化理解。\n资料通过分层题型（基础、培优、压轴）设计，结合例题与变式题，如平面直角坐标系顶点求解需分类讨论培养数学思维，角平分线模型探究发展创新意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。"

专题8.1 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与表示 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形的定义既是性质也是判定依据。 2.表示：平行四边形用符号“”表示，如平行四边形记作，读作“平行四边形”，表示时顶点需按顺时针或逆时针依次书写。 3.基本元素： 对边：与、与；邻边：如与、与等； 对角：与、与；邻角：如与、与等； 对角线：连接不相邻顶点的线段、。 知识点2：平行四边形的性质 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性四个维度总结，具体如下表： 性质维度 具体结论 符号语言（以为例） 边 对边平行且相等 ，；， 角 对角相等，邻角互补 ，；， 对角线 互相平分 对角线、交于点，则， 对称性 中心对称图形，无轴对称性 对称中心为对角线的交点，绕旋转与自身重合 补充性质：过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成面积相等的两部分，且被对角线交点平分。 知识点3：平行四边形的判定方法 平行四边形的判定从边和对角线两个角度出发，共4种核心方法，定义为最基础判定依据，具体如下表： 判定角度 具体判定定理 符号语言（以四边形为例） 边（定义法） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ， 边（判定定理1） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ， 边（判定定理2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且 对角线（判定定理3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线、交于点，且 补充判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（可由平行线的判定推导得出）。 知识点4：平行四边形的周长与面积公式 计算类型 公式/结论 补充说明 周长公式 平行四边形周长为两邻边长度和的2倍，适用于所有平行四边形 面积公式 底对应底边上的高，即 为边上的垂线段长度，为边上的垂线段长度，高与底必须一一对应 特殊面积公式 若平行四边形的对角线互相垂直， 此公式为对角线垂直时的特殊推导，可类比菱形面积公式 对角线分面积性质 平行四边形的对角线将其分成4个面积相等的三角形，即 对角线的交点为平行四边形的中心，平分平行四边形的面积 过中心的直线分面积性质 过平行四边形对角线交点的任意直线，将平行四边形分成两个面积相等的图形 分成的图形可为平行四边形、三角形与梯形的组合等，面积均为原平行四边形的 知识点5：平面直角坐标系中的平行四边形 1.已知平行四边形的三个顶点坐标，求第四个顶点坐标时，利用对边平行且相等或对角线互相平分的性质，将坐标问题转化为线段平移问题： 若中，，，，则； 2.三个定点可确定3个不同的平行四边形（以任意两点为对角线端点，第三种情况为另一组对边）。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形性质的直接计算 1.核心知识点 平行四边形对边平行且相等、对角相等邻角互补的性质；平行四边形的周长公式。 2.解题方法技巧 角度计算：“知一求三”，已知一个内角，利用对角相等、邻角互补求其余三个角；若有角平分线，结合平行线性质可推出等腰三角形（如，平分，则）； 边长与周长计算：利用对边相等将未知边转化为已知边，周长直接代入邻边和计算，若有线段和差，结合图形列等式求解。 【例题1】.（2025·甘肃兰州·一模）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据题意利用平行四边形性质及关于原点对称的点坐标特点即可求解． 【详解】解：∵点A的坐标为，， ∴C点与A点关于原点对称， ∴． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【答案】6 【分析】根据平行四边形的性质得到，根据垂直平分线的性质可知的周长． 【详解】解：∵的周长为， ∴， 由题意可得：点在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·湖南·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点的周长为的长为，那么对角线的和为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的周长为的长为，得到，根据平行四边形的性质得到即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏徐州·月考）已知平行四边形相邻两边的长分别是，则它的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形对边相等的性质，计算周长即可． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，相邻两边长分别是和， ∴平行四边形的周长为． 【题型2】平行四边形对角线性质的简单应用 1.核心知识点 平行四边形对角线互相平分的性质；三角形周长的计算。 2.解题方法技巧 对角线平分的核心：，，将对角线的长度转化为三角形的边； 三角形周长计算：如的周长，直接代入数值即可。 【例题2】.（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质：对边相等，对角线互相平分，分别求出 、、 的长，即可求出 的周长． 【详解】解：∵ 四边形 是平行四边形， ∴，，． ∵，， ∴，． ∴的周长． 【变式题2-1】.（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】先利用平行四边形的性质对边相等的性质求出的长度，再利用对角线互相平分的性质求出的和，最后将三边相加得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴的周长． 【变式题2-2】.（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质、中心对称的性质，根据平行四边形是中心对称图形，可得点D与点B关于原点成中心对称，根据中心对称的性质（两个点的横坐标与纵坐标互为相反数）可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，且对角线交于原点O， ∴点与点关于原点成中心对称， ， ． 故答案为：4． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，对角线互相平分． 由平行四边形的周长为，可得，再由的周长为，可得，则，根据平行四边形对角线互相平分可得，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的周长为， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 【题型3】平行四边形的基础判定 1.核心知识点 平行四边形的4种基本判定方法；平行线的判定、线段相等的证明。 2.解题方法技巧 判定方法选择：已知“一组对边平行”，优先证这组对边相等或另一组对边平行；已知“对角线相交”，优先证对角线互相平分； 开放性题型：已知部分条件，添加合适条件使四边形为平行四边形（如已知，可添加、、等），答案不唯一，选择最简单的条件即可。 【例题3】.（2026八年级下·重庆·专题练习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．一组对边平行且另一组对边相等 D．对角线互相平分 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理和等腰梯形的定义分别分析各选项，即可求得答案． 【详解】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形满足此条件，但等腰梯形不是平行四边形，故此选项符合题意； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故此选项不符合题意． 【变式题3-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键； 根据垂直得到角相等，在直角三角形中根据HL判定全等，进而得到对边相等，从而证明四边形ABCD是平行四边形． 【详解】解；证明：，， ． 在和中， ， ． 又， 四边形是平行四边形． 【培优高频题型】 【题型4】平行四边形性质与三角形的综合计算 1.核心知识点 平行四边形的面积公式、对角线分面积的性质；勾股定理；直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 面积计算：若已知对角线互相垂直，平行四边形面积；过对角线交点的直线分平行四边形为面积相等的两部分，可利用此性质转化阴影部分面积； 勾股定理应用：若平行四边形中有直角（如），结合对边相等，在直角三角形中用勾股定理求对角线或边长。 【例题4】.（2026·陕西西安·二模）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明及，即可证明结论； （2）求出，，根据勾股定理求出结论即可． 【详解】（1）证明：在中，， ， 是边的中点， ， ， ； （2）解：在中，，， ， ， ， ， ． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图所示，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，BC于点M，N．若的面积为2，的面积为4，求△COB的面积． 【答案】6 【分析】由平行四边形的性质得出，，即可证明，得到，因此根据求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式题4-2】.（2026·贵州黔东南·一模）如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 【答案】(1)或（写其中一个即可） (2) 【分析】（1）利用平行线的性质及角平分线性质即可； （2）根据题意可证，进而得到，再根据求解． 【详解】（1）解： ， ∴， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：在中，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 【变式题4-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图在中，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积是面积2倍的三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、三角形中线的性质： （1）首先由E是的中点，，证明，即可得，即可； （2）易证四边形是平行四边形，得到，再根据三角形中线的性质可得，，，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点D是中点，点E为的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴； ∴． ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴，， ∴． 【题型5】平面直角坐标系中的平行四边形顶点求解 1.核心知识点 平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质；平面直角坐标系中点的平移规律。 2.解题方法技巧 平移法：平行四边形对边平行且相等，即一个顶点到另一个顶点的平移规律，与对边的平移规律相同（如为向右2个单位，向上1个单位，则也为该规律）； 中点公式法：对角线互相平分，即对角线的中点重合，若为对角线，则，，代入已知坐标求未知坐标； 分类讨论：三个定点确定平行四边形，需分三种情况（以任意两点为对角线），避免漏解。 【例题5】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)、 (2)8 【分析】本题考查了平移、平行四边形的判定、平行四边形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质解题即可； （2）根据平行四边形的面积计算即可． 【详解】（1）解：由题意知，，； （2）解：由（1）知，，， 且， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【答案】D 【分析】连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分，然后计算出过点且平行于直线的直线解析式即可； 本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将平行四边形的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵直线平行于， ∴， ∴， 将点代入， 解得， ∴直线的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∴时间为秒， 故选：D． 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或或 ； (3)12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点睛】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 【变式题5-3】.（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 【题型6】平行四边形的判定与性质综合证明 1.核心知识点 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定。 2.解题方法技巧 证明线段相等/平行：先判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形对边平行且相等的性质推导；或先利用平行四边形性质得到边/角条件，证明三角形全等，再推出线段相等； 辅助线技巧：证明对角线互相平分时，可连接对角线，利用中点条件证明三角形全等。 【例题6】.（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）证明 ，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论； （2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 的长为． 【变式题6-1】.（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一，过对角线交点O即可） (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质． （1）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据平行四边形作图即可； （2）如图，点向右4个格点，向下3个格点为，连接，则是等腰直角三角形，则，与的交点即为所求； 【详解】（1）解：由题意知，，，， ∴四边形是平行四边形； 则连接，交于O，做一条过O的线段即可； （2）解：如图，取格点M，连接交于E，点即为所求； 证明：由勾股定理可知：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即． 【变式题6-3】.（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】当运动的时间为时，，，因为四边形是平行四边形，所以，当时，四边形是平行四边形，可得关于的方程，解方程求出的值； 过点作于点，过点作于点，利用三角形的面积公式求出的长度，从而可求的面积，根据三角形中位线的性质可求出的长度，从而可求的面积，用的面积减去的面积即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 在和中，， ， ． ， ． ， ，即时， 四边形是平行四边形， 解得：； （2）解：如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，， 在中，由勾股定理，得， 由三角形的面积公式，得， ， ， ， ， ， ， ， 当时，， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质、动点问题、勾股定理、全等三角形的判定与性质．本题的综合性较强，解决本题的关键是根据平行四边形的判定定理确定边之间需要满足的条件，根据条件列方程． 【压轴素养题型】 【题型7】平行四边形的角平分线模型探究 1.核心知识点 平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定；平行线的性质。 2.解题方法技巧 核心模型结论：平行四边形中，一个内角的角平分线与对边相交，可推出等腰三角形（如平分，，则，故）； 双角平分线模型：邻角的角平分线互相垂直（如和的平分线交于，则）；对角的角平分线互相平行； 计算技巧：结合或，根据等腰三角形的边长列等式求解未知边。 【例题7】.（24-25八年级上·江苏南通·期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 (2)如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）根据平行四边形的判定和性质定理得到，，由（1）可知，，，则可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ． ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形，， ，， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·周测）（1）如图①，，平分．求证：． （2）如图②，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【答案】（1）见解析（2） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质和平行四边形的性质，熟练掌握相关内容是解题的关键； （1）根据角平分线和平行线分别得到角相等，再根据等角对等边即可得证； （2）根据平行线证明平行四边形，得出对边相等、对角相等，再根据垂直和（1）中的结论得到角相等、具体边长，计算即可得出CF的长． 【详解】解：（1）证明：平分， ． ， ， ， ． （2），， 四边形是平行四边形，， ，． 由（1）可知，，． ， ， ， ， ． 【变式题7-2】.（23-24八年级下·重庆巫山·期末）学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O，平分交于点E，平分交于点F 求证： 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，① ∴ 又∵平分，平分 ∴，② ∴ 又∵③ ，， ∴， ∴． 【答案】图形见解析；①；②；③ 【分析】本题考查命题与定理，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据要求画出图形，证明，可得结论． 【详解】解：如图，即为所求； ∵四边形是平行四边形 ∴，， ∴， 又∵平分，平分 ∴， ∴ 又∵，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在平行四边形中，，平分交线段于点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，． (1)①求的大小； ②判断的形状并说明理由； (2)将条件中的“平分交线段于点”，改为“平分交射线于点”，当，时，直接写出的长． 【答案】(1)①；②等边三角形，理由见解析 (2)的长是或 【分析】（1）①先根据平行四边形性质得到，所以，再根据旋转的性质证得是等边三角形，得到，再根据角的和差即可解答；②先证明，所以，再证明，即可解答； （2）需要分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段的延长线上时，过点作于点，根据平行四边形对边相等可得，邻角互补得，所以，，再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：①四边形是平行四边形， ，，， ， ， 由旋转知：，， 是等边三角形， ， ； ②是等边三角形，理由如下： 由①得：是等边三角形， ，， ， 平分，， ，， ， ， 又， ， ， ，， ， ，即， 是等边三角形； （2）解：①当点在线段上时，过点作于点， 由（1）得：，， ， ，， ，， ， ； ②当点在线段的延长线上时，过点作于点， 方法同（1）得：，， ，， ，， ， ． 综上所述：的长是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等，添加辅助线构造直角三角形和全等三角形是解题关键． 【题型8】平行四边形中的动点问题 1.核心知识点 平行四边形的判定方法；一元一次方程的应用；动点的路程表示。 2.解题方法技巧 变“动”为“静”：设动点运动时间为，用含的代数式表示动点运动的路程（如点以从向运动，则，）； 列方程求解：根据平行四边形的判定条件（如，则当时，四边形为平行四边形），列关于的一元一次方程，求解后验证是否符合运动范围； 分类讨论：若动点有不同的运动方向或截出的平行四边形有不同情况，需分情况讨论。 【例题8】.（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一元一次方程的应用，分两种情况：①当四边形为平行四边形时，②当四边形为平行四边形时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵，动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向终点运动， ∴运动时间为（秒）， ，的速度为每秒，到达的时间为（秒）， 当在点以及点的左边时，即时，， 当在的右边时，即时，， 以点、、、为顶点的四边形是平行四边形， ①当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：； ②当四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得， 综合上述，当或时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形． 故选：C． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 【变式题8-2】.（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）． (1)=_______ ，=_______度． (2)当时，_______， _______．（用含t的式子表示） (3)是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，120 (2)， (3)t的值为或 【分析】本题考查了平行四边形的性质含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想和动态的思想解决问题是解题的关键． （1）可求出，根据含的直角三角形的性质可得，根据平行四边形的性质可得，则，即可求解； （2）根据已知和平行四边形的性质可得，，结合已知时间即可知即可； （3）分两种情况讨论，当为边时，结合平行四边形的性质得；当为对角线时，由平行四边形得，列出方程可求解； 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，，， ，，， ，， ， ∴，， 则， 故答案为：16，120； （2）解：∵点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动， ∴，， ∵，， ∴， 故答案为：，； （3）解：存在， 当为边时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴； 当为对角线时， 四边形是平行四边形， ， ， ∴， ∵当点P到达点A时，点Q也随之停止运动， ∴， ∴， 综上所述：的值为或． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·山东·期末）已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 (3) (4)或或 【分析】（1）由题意得，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论； （2）由点关于直线的对称点在直线上，得到为的角平分线，即，根据平行线的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （3）过点作，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据平行四边形 到现在得到，得到，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵点关于直线的对称点在直线上， ∴为的角平分线， 即， 又 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴不存在合题意的的值； （3）解：过点作， ， ， ， ； （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵以三点为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，即， ∴， ②当时， 过作于， 则， ， ∴； ③当时， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为 2 或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 易错点 1.平行四边形的判定条件混淆：误认为“一组对边平行，另一组对边相等”“两组邻边分别相等”能判定平行四边形，实际这两种情况可能是等腰梯形或一般四边形； 2.忽略分类讨论导致漏解：已知三个顶点求平行四边形第四个顶点、动点问题、角平分线模型中线段和差问题，未分情况讨论，导致答案不完整； 3.平行四边形表示不规范：顶点字母未按顺/逆时针书写，或单独使用“”符号，如写成“▱ACBD”“▱”均错误； 4.面积计算时高的对应性错误：平行四边形的高与底不对应，如将边上的高代入的底计算面积，导致结果错误； 5.误认为平行四边形是轴对称图形：平行四边形只有中心对称性，无轴对称性（特殊的平行四边形如矩形、菱形除外）。 重点 1.掌握平行四边形的核心性质：对边平行且相等、对角相等邻角互补、对角线互相平分，能熟练进行边、角、周长、面积的直接计算； 2.灵活运用平行四边形的4种判定方法，根据题目已知条件选择最优判定方式，能解决开放性添加条件的判定问题； 3.掌握平行四边形与三角形的综合计算：利用对角线互相平分将平行四边形问题转化为三角形问题，结合勾股定理、等腰三角形性质求解； 4.掌握平面直角坐标系中平行四边形的顶点求解方法：平移法和中点公式法，能分三种情况讨论并求解第四个顶点坐标； 5.理解平行四边形的中心对称性：过对角线交点的直线平分平行四边形的面积和线段，能利用此性质解决面积转化问题。 难点 1.平行四边形的判定与性质的综合证明：需结合全等三角形、平行线的判定、角平分线的性质，梳理逻辑关系，合理添加辅助线（如连接对角线）； 2.平行四边形中的动点问题：能将动点的运动路程用代数式表示，根据平行四边形的判定条件列方程，同时注意动点的运动范围，验证解的合理性； 3.平行四边形的角平分线模型与双角平分线模型：能推导模型的核心结论（等腰三角形、垂直、平行），并结合线段和差进行复杂计算； 4.实际问题的数学建模：能将测量、光电转换等实际情境转化为平行四边形问题，利用平行四边形的性质解决不可直接测量的线段/高度问题； 5.平行四边形与图形旋转、拼接的综合探究：能结合旋转的性质证明三角形全等，进而判定新的平行四边形，探究线段的数量关系和位置关系（相等、垂直）。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】利用平行四边形的判定逐项分析判断即可． 【详解】解：A． ，，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     B． ，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意；     C． ，，不能判断四边形是平行四边形，符合题意；     D． ，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形，不符合题意． 2．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质得出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴． 3．若平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则该平行四边形的短边长为（   ） A．7 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】借助平行四边形对边相等的性质，先求出相邻两边的和，再结合相邻两边的差，通过列一元一次方程求解短边长． 【详解】解：∵平行四边形对边相等，周长为24， ∴相邻两边的和为． 设短边长为x，则长边长为， ∵相邻两边的和为12，且两边差为2， ∴， 解得． 即短边长为5． 4．如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质，熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．依据平行四边形的性质以及角平分线的定义，等腰三角形的判定，即可得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ，， ， 根据作图可得平分， ， ， ， ． 5．如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质结合，列式计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，， ， ， ， ， ∴， 整理得，即， ∴． 可用含的代数式表示的是． 二、填空题 6．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 【答案】3 【详解】解：∵和都可以由平移得到， ∴，，， ∴图中的平行四边形有，共三个， 故答案为：． 7．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 【答案】6 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法，得到当时，四边形是平行四边形，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得； 故答案为：6． 8．在中，若，则_______． 【答案】45 【分析】利用平行四边形对角相等、邻角互补及内角和为的性质，通过等量代换建立关系求解的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，且， （平行四边形邻角互补）， ， 又，， ，即， 将代入， 得：， ， ． 9．如图，将两条宽度均为的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______． 【答案】 【分析】先构造全等的两个直角三角形，得出，进而在含的直角三角形中得到，即，再由题意判定四边形是平行四边形，最后根据平行四边形的面积公式代值计算即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，如图所示： 由两条纸条的宽度均为知，，， ， ， ， 在中，，，则， ， 由题意可知，，，则重合部分构成的四边形是平行四边形， 重合部分构成的四边形的面积为． 10．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 12．如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 【答案】见解析 【分析】利用平行四边形的性质证明，进而证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 在和中，， ， ． 13．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 ．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或时，为直角三角形 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质及含角的直角三角形的性质，熟练掌握角所对的直角边是斜边的一半是解题关键． （1）由题意可知，，，根据含角的直角三角形的性质得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形； （2）分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， 由（1）可得：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：或，为直角三角形． 14．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据题意作图即可． （2）根据题中思路求解即可． 【详解】（1）解：即为所求． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①， ∵，， ∴②， 在和中，， ∴， ∴③，， ∴④， ∴四边形是平行四边形． 15．如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）根据平行线的性质，得到，进而得到，等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 平行四边形 知识点1：平行四边形的定义与表示 1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形的定义既是性质也是判定依据。 2.表示：平行四边形用符号“”表示，如平行四边形记作，读作“平行四边形”，表示时顶点需按顺时针或逆时针依次书写。 3.基本元素： 对边：与、与；邻边：如与、与等； 对角：与、与；邻角：如与、与等； 对角线：连接不相邻顶点的线段、。 知识点2：平行四边形的性质 平行四边形的性质可从边、角、对角线、对称性四个维度总结，具体如下表： 性质维度 具体结论 符号语言（以为例） 边 对边平行且相等 ，；， 角 对角相等，邻角互补 ，；， 对角线 互相平分 对角线、交于点，则， 对称性 中心对称图形，无轴对称性 对称中心为对角线的交点，绕旋转与自身重合 补充性质：过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成面积相等的两部分，且被对角线交点平分。 知识点3：平行四边形的判定方法 平行四边形的判定从边和对角线两个角度出发，共4种核心方法，定义为最基础判定依据，具体如下表： 判定角度 具体判定定理 符号语言（以四边形为例） 边（定义法） 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ， 边（判定定理1） 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ， 边（判定定理2） 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 且 对角线（判定定理3） 对角线互相平分的四边形是平行四边形 对角线、交于点，且 补充判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（可由平行线的判定推导得出）。 知识点4：平行四边形的周长与面积公式 计算类型 公式/结论 补充说明 周长公式 平行四边形周长为两邻边长度和的2倍，适用于所有平行四边形 面积公式 底对应底边上的高，即 为边上的垂线段长度，为边上的垂线段长度，高与底必须一一对应 特殊面积公式 若平行四边形的对角线互相垂直， 此公式为对角线垂直时的特殊推导，可类比菱形面积公式 对角线分面积性质 平行四边形的对角线将其分成4个面积相等的三角形，即 对角线的交点为平行四边形的中心，平分平行四边形的面积 过中心的直线分面积性质 过平行四边形对角线交点的任意直线，将平行四边形分成两个面积相等的图形 分成的图形可为平行四边形、三角形与梯形的组合等，面积均为原平行四边形的 知识点5：平面直角坐标系中的平行四边形 1.已知平行四边形的三个顶点坐标，求第四个顶点坐标时，利用对边平行且相等或对角线互相平分的性质，将坐标问题转化为线段平移问题： 若中，，，，则； 2.三个定点可确定3个不同的平行四边形（以任意两点为对角线端点，第三种情况为另一组对边）。 【基础必考题型】 【题型1】平行四边形性质的直接计算 1.核心知识点 平行四边形对边平行且相等、对角相等邻角互补的性质；平行四边形的周长公式。 2.解题方法技巧 角度计算：“知一求三”，已知一个内角，利用对角相等、邻角互补求其余三个角；若有角平分线，结合平行线性质可推出等腰三角形（如，平分，则）； 边长与周长计算：利用对边相等将未知边转化为已知边，周长直接代入邻边和计算，若有线段和差，结合图形列等式求解。 【例题1】.（2025·甘肃兰州·一模）如图，的对角线相交于坐标原点，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【变式题1-1】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________． 【变式题1-2】.（25-26八年级下·湖南·月考）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点的周长为的长为，那么对角线的和为（） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·江苏徐州·月考）已知平行四边形相邻两边的长分别是，则它的周长是（　　） A． B． C． D． 【题型2】平行四边形对角线性质的简单应用 1.核心知识点 平行四边形对角线互相平分的性质；三角形周长的计算。 2.解题方法技巧 对角线平分的核心：，，将对角线的长度转化为三角形的边； 三角形周长计算：如的周长，直接代入数值即可。 【例题2】.（24-25八年级下·新疆喀什·月考）如图，在平行四边形中，，，．的周长是（   ） A．16 B．32 C． D．24 【变式题2-1】.（24-25八年级下·江苏盐城·月考）如图，在中，，对角线与相交于点O，，则的周长为（    ） A．8 B．11 C．12 D．15 【变式题2-2】.（25-26九年级上·重庆江津·期末）如图，的对角线交于原点O，若点B的坐标为，点D的坐标为，则的值为______． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，平行四边形的周长为，的周长为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型3】平行四边形的基础判定 1.核心知识点 平行四边形的4种基本判定方法；平行线的判定、线段相等的证明。 2.解题方法技巧 判定方法选择：已知“一组对边平行”，优先证这组对边相等或另一组对边平行；已知“对角线相交”，优先证对角线互相平分； 开放性题型：已知部分条件，添加合适条件使四边形为平行四边形（如已知，可添加、、等），答案不唯一，选择最简单的条件即可。 【例题3】.（2026八年级下·重庆·专题练习）在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．两组对边分别相等 B．两组对边分别平行 C．一组对边平行且另一组对边相等 D．对角线互相平分 【变式题3-1】.（2026八年级下·江苏·专题练习）在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（    ）    A．， B．， C．， D．， 【变式题3-2】.（25-26八年级上·重庆·期末）如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，已知四边形中，，，垂足分别为，，．求证：四边形是平行四边形． 【培优高频题型】 【题型4】平行四边形性质与三角形的综合计算 1.核心知识点 平行四边形的面积公式、对角线分面积的性质；勾股定理；直角三角形的性质。 2.解题方法技巧 面积计算：若已知对角线互相垂直，平行四边形面积；过对角线交点的直线分平行四边形为面积相等的两部分，可利用此性质转化阴影部分面积； 勾股定理应用：若平行四边形中有直角（如），结合对边相等，在直角三角形中用勾股定理求对角线或边长。 【例题4】.（2026·陕西西安·二模）如图，在中，是边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)当，，时，求的长． 【变式题4-1】.（25-26八年级下·江苏徐州·月考）如图所示，在中，对角线，相交于点O，过点O的直线分别交，BC于点M，N．若的面积为2，的面积为4，求△COB的面积． 【变式题4-2】.（2026·贵州黔东南·一模）如图，在中，平分于点，交于点，交的延长线于点． (1)写出与相等的一个角，即_________； (2)若，求的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图在中，点D是中点，连接，点E为的中点，过点A作交线段的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有面积是面积2倍的三角形． 【题型5】平面直角坐标系中的平行四边形顶点求解 1.核心知识点 平行四边形对边平行且相等、对角线互相平分的性质；平面直角坐标系中点的平移规律。 2.解题方法技巧 平移法：平行四边形对边平行且相等，即一个顶点到另一个顶点的平移规律，与对边的平移规律相同（如为向右2个单位，向上1个单位，则也为该规律）； 中点公式法：对角线互相平分，即对角线的中点重合，若为对角线，则，，代入已知坐标求未知坐标； 分类讨论：三个定点确定平行四边形，需分三种情况（以任意两点为对角线），避免漏解。 【例题5】.（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，分别得到点，的对应点，，连接，． (1)求点，的坐标； (2)求四边形的面积． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过（    ）秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． A．3秒 B．秒 C．5秒 D．6秒 【变式题5-2】.（25-26八年级下·江苏苏州·月考）如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【变式题5-3】.（2026·广西南宁·一模）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型6】平行四边形的判定与性质综合证明 1.核心知识点 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行线的判定。 2.解题方法技巧 证明线段相等/平行：先判定四边形为平行四边形，再利用平行四边形对边平行且相等的性质推导；或先利用平行四边形性质得到边/角条件，证明三角形全等，再推出线段相等； 辅助线技巧：证明对角线互相平分时，可连接对角线，利用中点条件证明三角形全等。 【例题6】.（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式题6-1】.（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【变式题6-2】.（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的四个顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（保留作图痕迹，画图过程用虚线，画图结果用实线）． (1)在图1中画一条线段，使它平分四边形的面积； (2)在图2的边上画点E，使． 【变式题6-3】.（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，对角线相交于点，，，．点从点出发沿方向以的速度匀速运动，到点时停止运动，连接并延长交于点．设运动时间为． (1)当为何值时，四边形是平行四边形？并说明理由； (2)当时，求四边形的面积． 【压轴素养题型】 【题型7】平行四边形的角平分线模型探究 1.核心知识点 平行四边形的性质；角平分线的定义；等腰三角形的判定；平行线的性质。 2.解题方法技巧 核心模型结论：平行四边形中，一个内角的角平分线与对边相交，可推出等腰三角形（如平分，，则，故）； 双角平分线模型：邻角的角平分线互相垂直（如和的平分线交于，则）；对角的角平分线互相平行； 计算技巧：结合或，根据等腰三角形的边长列等式求解未知边。 【例题7】.（24-25八年级上·江苏南通·期末）【追本溯源】题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，，平分．求证：． 【方法应用】 (2)如图2，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·全国·周测）（1）如图①，，平分．求证：． （2）如图②，，，平分，交边于点，过点作交的延长线于点．若，，求的长． 【变式题7-2】.（23-24八年级下·重庆巫山·期末）学习了平行四边形后，小庆进行了拓展性探究．她发现，如果作平行四边形一组对边与同一条对角线所组成的角的平分线，那么这两条角平分线截另一对角线所得的线段被对角线的交点平分．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） 已知：如图，在中，交于点O，平分交于点E，平分交于点F 求证： 证明：∵四边形是平行四边形 ∴，① ∴ 又∵平分，平分 ∴，② ∴ 又∵③ ，， ∴， ∴． 【变式题7-3】.（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，在平行四边形中，，平分交线段于点，线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，． (1)①求的大小； ②判断的形状并说明理由； (2)将条件中的“平分交线段于点”，改为“平分交射线于点”，当，时，直接写出的长． 【题型8】平行四边形中的动点问题 1.核心知识点 平行四边形的判定方法；一元一次方程的应用；动点的路程表示。 2.解题方法技巧 变“动”为“静”：设动点运动时间为，用含的代数式表示动点运动的路程（如点以从向运动，则，）； 列方程求解：根据平行四边形的判定条件（如，则当时，四边形为平行四边形），列关于的一元一次方程，求解后验证是否符合运动范围； 分类讨论：若动点有不同的运动方向或截出的平行四边形有不同情况，需分情况讨论。 【例题8】.（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线以每秒的速度运动．动点同时从点出发，在线段上以每秒的速度向点运动；当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为秒，当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时，的值为（   ） A．2或秒 B．秒 C．或秒 D．秒 【变式题8-1】.（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【变式题8-2】.（24-25八年级下·湖南张家界·期末）如图，在中，，，．动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线方向运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒（）． (1)=_______ ，=_______度． (2)当时，_______， _______．（用含t的式子表示） (3)是否存在t值，使以点P，Q，C，D为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题8-3】.（24-25八年级下·山东·期末）已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 易错点 1.平行四边形的判定条件混淆：误认为“一组对边平行，另一组对边相等”“两组邻边分别相等”能判定平行四边形，实际这两种情况可能是等腰梯形或一般四边形； 2.忽略分类讨论导致漏解：已知三个顶点求平行四边形第四个顶点、动点问题、角平分线模型中线段和差问题，未分情况讨论，导致答案不完整； 3.平行四边形表示不规范：顶点字母未按顺/逆时针书写，或单独使用“”符号，如写成“▱ACBD”“▱”均错误； 4.面积计算时高的对应性错误：平行四边形的高与底不对应，如将边上的高代入的底计算面积，导致结果错误； 5.误认为平行四边形是轴对称图形：平行四边形只有中心对称性，无轴对称性（特殊的平行四边形如矩形、菱形除外）。 重点 1.掌握平行四边形的核心性质：对边平行且相等、对角相等邻角互补、对角线互相平分，能熟练进行边、角、周长、面积的直接计算； 2.灵活运用平行四边形的4种判定方法，根据题目已知条件选择最优判定方式，能解决开放性添加条件的判定问题； 3.掌握平行四边形与三角形的综合计算：利用对角线互相平分将平行四边形问题转化为三角形问题，结合勾股定理、等腰三角形性质求解； 4.掌握平面直角坐标系中平行四边形的顶点求解方法：平移法和中点公式法，能分三种情况讨论并求解第四个顶点坐标； 5.理解平行四边形的中心对称性：过对角线交点的直线平分平行四边形的面积和线段，能利用此性质解决面积转化问题。 难点 1.平行四边形的判定与性质的综合证明：需结合全等三角形、平行线的判定、角平分线的性质，梳理逻辑关系，合理添加辅助线（如连接对角线）； 2.平行四边形中的动点问题：能将动点的运动路程用代数式表示，根据平行四边形的判定条件列方程，同时注意动点的运动范围，验证解的合理性； 3.平行四边形的角平分线模型与双角平分线模型：能推导模型的核心结论（等腰三角形、垂直、平行），并结合线段和差进行复杂计算； 4.实际问题的数学建模：能将测量、光电转换等实际情境转化为平行四边形问题，利用平行四边形的性质解决不可直接测量的线段/高度问题； 5.平行四边形与图形旋转、拼接的综合探究：能结合旋转的性质证明三角形全等，进而判定新的平行四边形，探究线段的数量关系和位置关系（相等、垂直）。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．若平行四边形的周长为24，相邻两边的差为2，则该平行四边形的短边长为（   ） A．7 B．5 C．6 D．9 4．如图，在中，，．以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线，交于点G，则的长为（     ） A．1 B． C．2 D． 5．如图，在▱中，点，，，分别在边，，，上，，，交点在的内部，记，，，的面积分别为，．若的面积为，则下列选项中，可用含的代数式表示的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，和都可以由平移得到，则图中共有____________个平行四边形． 7．如图，在四边形中，，动点P从点A开始沿边向点D以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点B运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为，连接，当______时，四边形是平行四边形． 8．在中，若，则_______． 9．如图，将两条宽度均为的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为______． 10．如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 三、解答题 11．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 12．如图，已知四边形是平行四边形，在对角线上取两点E，F，连接，若．求证：． 13．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是 ．过点作于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当为何值时，为直角三角形？请说明理由． 14．如图，在平行四边形中，E为线段延长线上的一点，连接．请完成以下作图和填空： (1)在平行四边形的外部，用尺规作，且交直线于点F，连接，． (2)在（1）问的条件下，求证：四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴___①___， ∵，，∴___②___， 在和中，，∴， ∴___③___，，∴___④___，∴四边形是平行四边形． 15．如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 1 页 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