"**基本信息** \n以文化传承与生活实践为情境载体，如李白诗句科学记数法、二维码面积估计等问题，融合抽象能力与几何直观，实现基础知识与创新应用的有机统一。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|选择题|10/40|轴对称图形、科学记数法、整式运算|结合文化素材与现实情境，考查抽象能力与几何直观|\n|填空题|5/20|概率计算、角平分线性质、逻辑推理|以空竹运动、八球称重为背景，渗透推理意识|\n|解答题|9/90|全等证明、动态几何、代数几何综合|22题面积关系探究体现数学思维，24题对称变换考查创新意识|"

山东省济南市历城区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）下列图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，则0.00003用科学记数法表示为（　　） A．3×10﹣4 B．3×10﹣5 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3 4．（4分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 5．（4分）如图是某二维码示意图．在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（　　） A．2cm2 B．3cm2 C．12cm2 D．15cm2 6．（4分）如图，将一张长方形纸条折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，若AB∥CD，则∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30° 7．（4分）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（　　） A．②或③ B．④或⑤ C．②，③或④ D．③，④或⑤ 8．（4分）正方形M的边长为（a﹣4），其面积记为SM，长方形N的长为（a﹣2），宽为（a﹣6），其面积记为SN，已知a＞6，则SM与SN的大小关系为（　　） A．SM﹣SN＝4 B．SM＝SN C．SM＝2SN D．SN﹣SM＝4 9．（4分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.3m C．1.6m D．1.9m 10．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为P1，P2，连接P1，P2．在点P的运动过程中，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ABC≌△PP2P1； ②AP1＝AP2； ③△P1PP2一定是直角三角形； ④线段P1P2长度的最小值是． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分。） 11．（4分）小丽书包里装有形状、大小完全相同的6本作业本，其中语文2本，数学2本，英语1本，物理1本．小丽从中任意抽取1本，它是数学作业本的概率是　 　 ． 12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　 　 ． 13．（4分）有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是 　 　 ． 14．（4分）空竹在我国有悠久的历史，抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠E＝24°，∠ECD＝104°，则∠A＝　 　 度． 15．（4分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　 　 ． 三、解答题（本大题共9个题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（16分）计算： （1）； （2）（a+2）2﹣a（a﹣1）； （3）6x3y2÷（﹣3xy）+（12x4y3﹣4x2y2）÷4x2y2； （4）． 17．（6分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）（3x+2y）﹣x（9x﹣2y）]÷y，其中x＝3，y＝﹣2． 18．（8分）如图，已知AB∥CD，连接BD，AD，BC，在BD上取一点E，使DE＝AB，连接EC，若∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝3，BE＝5，求线段CD的长度． 19．（10分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 20．（7分）如图，在14×6的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接AB． （1）画出线段AB关于直线l的轴对称线段A′B′； （2）在直线l上是否存在一点P，使PA+PB的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点C共有　 　 个． 21．（8分）现有正面分别写有“最”“美”“济”“南”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“济”字卡片有4张，“南”字卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘南’字的卡片”为　 　 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“济”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“济”字卡片的概率为，求m的值． 22．（11分）如图1，将边长为a，b的两个正方形和两个宽和长分别为a，b（a＜b）的长方形拼凑成如图2所示的大正方形ABCD．记四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S1，S2，S3，S4． （1）若S1＝12，S2＝36，则a+b＝　 　 ； （2）若a+b＝10，S1＝15，则S2+S4＝　 　 ； （3）如图3，连接EC，HC，HC交EG于点M．若四边形HMGD的面积与三角形EMC面积之差是S4的2倍，求S2：S4的值． 23．（12分）如图1，∠AOB＝60°，作∠AOB的平分线OC，过射线OA上一点D作DE∥OB交射线OC于点E，点F是直线OD上一点，连接EF，作∠EFO的角平分线FG交OC于点G． （1）如图2，当点F与点D重合时，则∠FGO＝　 　 度； （2）如图3，当点F在线段OD上时，若∠DEF＝10°，求∠FGO的度数； （3）当点F在直线OD（F不与O，D重合）上时，∠DEF＝α，直接写出∠FGO的度数（用含α的代数式表示）． 24．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE． （1）求证：∠B＝∠ACE； （2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM， ①请在图1中补全图形并证明∠EMC＝∠BAD； ②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M三点恰好共线时点D的位置，请直接写出此时∠BAD的度数． 山东省济南市历城区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（4分）下列图案中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意； B、不是轴对称图形，故B不符合题意； C、不是轴对称图形，故C不符合题意； D、是轴对称图形，故D符合题意； 故选：D． 2．（4分）“燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台．”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有0.00003kg左右，则0.00003用科学记数法表示为（　　） A．3×10﹣4 B．3×10﹣5 C．0.3×10﹣4 D．0.3×10﹣5 【解答】解：0.00003＝3×10﹣5． 故选：B． 3．（4分）下列运算正确的是（　　） A．a2+2a2＝3a4 B．a6÷a2＝a3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（ab）3＝a3b3 【解答】解：A、a2+2a2＝3a2，故A不符合题意； B、a6÷a2＝a4，故B不符合题意； C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C不符合题意； D、（ab）3＝a3b3，故D符合题意； 故选：D． 4．（4分）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是△ABC的（　　） A．中线、角平分线、高线 B．高线、中线、角平分线 C．角平分线、高线、中线 D．角平分线、中线、高线 【解答】解：由题知， 由图①的折叠方式可知， ∠BAD＝∠CAD， 所以AD是△ABC的角平分线． 由图②的折叠方式可知， ∠ADB＝∠ADB′， 又因为∠ADB+∠ADB′＝180°， 所以∠ADB＝∠ADB′＝90°， 即AD⊥BC， 所以AD是△ABC的高线． 由图③的折叠方式可知， CD＝BD， 所以AD是△ABC的中线． 故选：C． 5．（4分）如图是某二维码示意图．在边长为5cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点．经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积为（　　） A．2cm2 B．3cm2 C．12cm2 D．15cm2 【解答】解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右， ∴估计点落入黑色部分的概率为0.6， ∴估计黑色部分的总面积为5×5×0.6＝15（cm2）． 故选：D． 6．（4分）如图，将一张长方形纸条折叠，使得折叠后的部分与原长方形在同一平面内，若AB∥CD，则∠1与∠2一定满足的关系是（　　） A．∠1＝2∠2 B．∠1+∠2＝90° C．∠1﹣∠2＝30° D．2∠1﹣3∠2＝30° 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°． 又由折叠及平角的定义可知， ∠BAC+2∠1＝180°，∠ACD+2∠2＝180°， ∴∠BAC+∠ACD+2（∠1+∠2）＝360°， ∴∠1+∠2＝90°． 故选：B． 7．（4分）将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次截断处的位置应该是（　　） A．②或③ B．④或⑤ C．②，③或④ D．③，④或⑤ 【解答】解：分两种情况： 当4cm为等腰三角形的腰时， ∵等腰三角形的周长是14cm， ∴等腰三角形的底边长＝14﹣4﹣4＝6（cm）， ∴第二次截断处的位置应该是②或④； 当4cm为等腰三角形的底时， ∵等腰三角形的周长是14cm， ∴等腰三角形的腰长5（cm）， ∴第二次截断处的位置应该是③； 综上所述：第二次截断处的位置应该是②或④或③， 故选：C． 8．（4分）正方形M的边长为（a﹣4），其面积记为SM，长方形N的长为（a﹣2），宽为（a﹣6），其面积记为SN，已知a＞6，则SM与SN的大小关系为（　　） A．SM﹣SN＝4 B．SM＝SN C．SM＝2SN D．SN﹣SM＝4 【解答】解：∵，a2﹣8a+12， ∴a2﹣8a+16﹣a2+8a﹣12＝4， 故选：A． 9．（4分）小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD，CE分别为1.3m和1.9m，∠BOC＝90°，爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（　　） A．1m B．1.3m C．1.6m D．1.9m 【解答】解：由题意可知，AD＝1m，BD＝1.3m，CE＝1.9m，OB＝CO， ∵∠BOC＝90°， ∴∠BOD+∠COE＝90°， ∵∠BDO＝90°，∠CEO＝90°， ∴∠BOD+∠OBD＝90°，∠COE+∠OCE＝90°， ∴∠COE＝∠OBD，∠BOD＝∠OCE， 在△OBD和△COE， ， ∴△OBD≌△COE（AAS）， ∴OE＝BD＝1.3m，OD＝CE＝1.9m， ∴AE＝OA﹣OE＝OD+DA﹣OE＝1.9m+1m﹣1.3m＝1.6（m）． 故选：C． 10．（4分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，点P为BC边上一动点（不与端点重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为P1，P2，连接P1，P2．在点P的运动过程中，下列结论中正确的个数是（　　） ①△ABC≌△PP2P1； ②AP1＝AP2； ③△P1PP2一定是直角三角形； ④线段P1P2长度的最小值是． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：连接AP， 由轴对称可知， AP＝AP1，AP＝AP2，∠BAP1＝∠BAP，∠CAP2＝∠CAP， 所以∠P1AP2＝2（∠BAP+∠CAP）＝2∠BAC＝180°，AP1＝AP2， 即点P1，P2，P在一条直线上， 所以P1P2＝2AP． 因为BC不一定等于2AP， 所以ABC和△PP2P1不一定全等． 故①错误； 由上述过程可知，AP1＝AP2， 故②正确； 由轴对称可知，AB⊥PP1，AC⊥PP2， 因为∠BAC＝90°， 所以∠P1PP2＝90°， 即△P1PP2一定是直角三角形． 故③正确； 当AP⊥BC时，AP取得最小值， 此时AP， 所以线段P1P2长度的最小值是2×4.8＝9.6． 故④正确． 故选：B． 二、填空题（本大题共5个题，每题4分，共20分。） 11．（4分）小丽书包里装有形状、大小完全相同的6本作业本，其中语文2本，数学2本，英语1本，物理1本．小丽从中任意抽取1本，它是数学作业本的概率是　　 ． 【解答】解：∵书包里装有语文作业本2本，数学作业本2本，英语作业本1本，物理作业本1本，共6本， ∴小丽从中任意抽取1本，它是数学作业本的概率为． 故答案为：． 12．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若CD＝2，AB＝6，则△ABD的面积为　6　 ． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵∠C＝90°， ∴DC⊥AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DH＝CD＝2， ∵AB＝6， ∴△ABD的面积AB•DH6×2＝6． 故答案为：6． 13．（4分）有八个球编号是①至⑧，其中有六个球一样重，另外两个球都轻1克，为了找出这两个轻球，用天平称了三次，结果如下：第一次①+②比③+④重，第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻，第三次①+③+⑤和②+④+⑧一样重．那么，两个轻球的编号是 　④⑤　 ． 【解答】解：∵①+②比③+④重， ∴③与④中至少有一个轻球， ∵⑤+⑥比⑦+⑧轻， ∴⑤与⑥至少有一个轻球， ∵①+③+⑤和②+④+⑧一样重可知两个轻球的编号是④⑤． 故答案为：④⑤． 14．（4分）空竹在我国有悠久的历史，抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，AB∥CD，∠E＝24°，∠ECD＝104°，则∠A＝　80　 度． 【解答】解：延长DC交AE于点M， ∵∠E＝24°，∠ECD＝104°， ∴∠EMC＝∠ECD﹣∠E＝104°﹣24°＝80°． ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠EMC＝80°． 故答案为：80． 15．（4分）如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝6，则△BCD的面积为 　9　 ． 【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴∠DBF+∠BDF＝90°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠ABE+∠DBF＝90°， ∴∠ABE＝∠BDF， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BEBC＝3， ∵AB＝BD， ∴△AEB≌△BFD（AAS）， ∴BE＝DF＝3， ∴△BCD的面积BC•DF6×3＝9， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共9个题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 16．（16分）计算： （1）； （2）（a+2）2﹣a（a﹣1）； （3）6x3y2÷（﹣3xy）+（12x4y3﹣4x2y2）÷4x2y2； （4）． 【解答】解：（1） ＝﹣4﹣1+1+2 ＝﹣2； （2）（a+2）2﹣a（a﹣1） ＝a2+4a+4﹣a2+a ＝5a+4； （3）6x3y2÷（﹣3xy）+（12x4y3﹣4x2y2）÷4x2y2 ＝﹣2x2y+3x2y﹣1 ＝x2y﹣1； （4） ＝[（）×（﹣7）×（﹣1）]2025×（） ＝（﹣1）2025×（） ＝（﹣1）×（） ． 17．（6分）先化简，再求值：[（3x﹣2y）（3x+2y）﹣x（9x﹣2y）]÷y，其中x＝3，y＝﹣2． 【解答】解：原式＝（9x2﹣4y2﹣9x2+2xy）÷y ＝（﹣4y2+2xy）÷y ＝﹣4y+2x， 当x＝3，y＝﹣2时，原式＝﹣4×（﹣2）+2×3 ＝8+6 ＝14． 18．（8分）如图，已知AB∥CD，连接BD，AD，BC，在BD上取一点E，使DE＝AB，连接EC，若∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△EDC； （2）若AB＝3，BE＝5，求线段CD的长度． 【解答】（1）证明：∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠EDC， 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）． （2）解：由（1）得△ABD≌△EDC， ∴DB＝CD， ∵DE＝AB＝3，BE＝5， ∴DB＝DE+BE＝8， ∴CD＝8， ∴线段CD的长度是8． 19．（10分）如图，在△ABC中，EF是AB的垂直平分线，AD⊥BC，D为CE的中点． （1）求证：BE＝AC； （2）若∠B＝40°，求∠BAC的度数． 【解答】（1）证明：连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴BE＝AE（线段垂直平分线的性质）， ∵AD⊥BC，D为CE的中点， ∴AD是EC的垂直平分线， ∴AE＝AC， ∴BE＝AC（等量代换）； （2）解：∵BE＝AE，∠B＝40°， ∴∠B＝∠EAB＝40°（等边对等角）， ∵∠AEC是△ABE外角， ∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝40°+40°＝80°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°（等边对等角）， ∴∠EAC＝180°﹣80°﹣80°＝20°， ∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝60°． 20．（7分）如图，在14×6的网格中，每个小正方形的边长都为1．网格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．已知直线l及格点A，B，连接AB． （1）画出线段AB关于直线l的轴对称线段A′B′； （2）在直线l上是否存在一点P，使PA+PB的值最小．若存在，请画出点P；若不存在，请说明理由； （3）在直线l的左侧存在格点C，使△ABC为等腰三角形，这样的格点C共有　5　 个． 【解答】解：（1）如图，线段A′B′即为所求作； （2）如图，点P即为所求作； （3）如图，点C共有5个． 故答案为：5． 21．（8分）现有正面分别写有“最”“美”“济”“南”的卡片共20张，这些卡片的大小、形状、背面完全相同．已知写有“最”字的卡片有8张，“济”字卡片有4张，“南”字卡片有3张，其余卡片写有“美”字，混匀后，将卡片背面朝上放置在桌面上． （1）事件“随机抽取4张，全是写有‘南’字的卡片”为　不可能　 事件；（选填“随机”“必然”或“不可能”） （2）随机抽取一张，求抽到写有“美”字卡片的概率； （3）从这些卡片中取出m张写有“最”字的卡片，再放入m张写有“济”字的卡片，混匀后，随机抽取一张卡片，抽到写有“济”字卡片的概率为，求m的值． 【解答】解：（1）∵“南”字卡片有3张， ∴事件“随机抽取4张，全是写有‘南’字的卡片”为不可能事件， 故答案为：不可能； （2）∵现有正面分别写有“最”“美”“济”“南”的卡片共20张，写有“最”字的卡片有8张，“济”字卡片有4张，“南”字卡片有3张，其余卡片写有“美”字， ∴随机抽取一张，抽到写有“美”字卡片的概率为； （3）由概率公式得：， 解得：m＝4， 答：m的值为4． 22．（11分）如图1，将边长为a，b的两个正方形和两个宽和长分别为a，b（a＜b）的长方形拼凑成如图2所示的大正方形ABCD．记四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S1，S2，S3，S4． （1）若S1＝12，S2＝36，则a+b＝　8　 ； （2）若a+b＝10，S1＝15，则S2+S4＝　70　 ； （3）如图3，连接EC，HC，HC交EG于点M．若四边形HMGD的面积与三角形EMC面积之差是S4的2倍，求S2：S4的值． 【解答】解：（1）∵S1＝12，S2＝36， ∴ab＝12，b2＝36， ∴a＝2，b＝6（负值舍去）， ∴a+b＝8， 故答案为：8； （2）若a+b＝10，S1＝15， ∴ab＝15， ∴100﹣30＝70， 故答案为：70． （3）∵四边形HMGD的面积＝S△HDC﹣S△MGC，三角形EMC的面积＝S△EGC﹣S△MGC， 依题意，S△HDC﹣S△MGC﹣S△EGC+S△MGC＝2S4， ∴S△HDC﹣S△EGC＝2S4， 即， ∴， ∴S2﹣S4＝4S4， ∴S2＝5S4， ∴S2：S4＝5． 23．（12分）如图1，∠AOB＝60°，作∠AOB的平分线OC，过射线OA上一点D作DE∥OB交射线OC于点E，点F是直线OD上一点，连接EF，作∠EFO的角平分线FG交OC于点G． （1）如图2，当点F与点D重合时，则∠FGO＝　90　 度； （2）如图3，当点F在线段OD上时，若∠DEF＝10°，求∠FGO的度数； （3）当点F在直线OD（F不与O，D重合）上时，∠DEF＝α，直接写出∠FGO的度数（用含α的代数式表示）． 【解答】解：（1）∵∠AOB＝60°且OC平分∠AOB， ∴∠FOE∠AOB＝30°． ∵FE∥OB， ∴∠EFO+∠AOB＝180°， ∴∠EFO＝120°． ∵FG平分∠EFO， ∴∠OFG∠EFO＝60°， ∴∠FGO＝180°﹣30°﹣60°＝90°． 故答案为：90； （2）∵∠DEF＝10°，∠ODE＝120°， ∴∠EFO＝∠DEF+∠ODE＝130°． ∵FG平分∠EFO， ∴∠OFG∠EFO＝65°． 又∵∠FOE＝30°， ∴∠FGO＝180°﹣65°﹣30°＝85°； （3）当点F在OD延长线上时，如图所示， ∵∠ODE＝120°，∠DEF＝α， ∴∠EFO＝120°﹣α． ∵FG平分∠EFO， ∴∠EFG∠EFO＝60°． ∵∠FEG＝α+30°， ∴∠FGO＝∠GFE+∠FEG＝60°α+30°＝90°． 当点F在OD上时，如图所示， 同理可得，∠EFO＝120°+α，∠FEG＝30°﹣α， ∴∠EFG＝60°， ∴∠FGO＝60°α+30°﹣α＝90°． 当点F在DO延长线上时，如图所示， 同理可得，∠EFO＝60°﹣α，∠GEF＝α﹣30°， ∴∠GFE∠EFO＝30°， ∴∠FGO＝30°α﹣30°， 综上所述，∠FGO＝90°或90°或． 24．（12分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在BC边上，连接AD，AE⊥AD，AE＝AD，连接CE，DE． （1）求证：∠B＝∠ACE； （2）点A关于直线CE的对称点为M，连接CM，EM， ①请在图1中补全图形并证明∠EMC＝∠BAD； ②利用备用图进行画图、试验、探究，找出当D，E，M三点恰好共线时点D的位置，请直接写出此时∠BAD的度数． 【解答】（1）证明：∵AE⊥AD， ∴∠DAE＝90°＝∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵AB＝AC，AE＝AD， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠ACE； （2）解：①补全图形如图1所示， 连接AM， ∵点A关于直线CE的对称点为M， ∴AE＝ME，AC＝MC， ∵CE＝CE， ∴△ACE≌△MCE（SSS）， ∴∠EMC＝∠EAC， 由（1）知，△ABD≌△ACE， ∴∠BAD＝∠EAC， ∴∠BAD＝∠EMC； ②如备用图，连接AM， 由（1）知，∠ACE＝∠B， 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠BCE＝90°， ∵点M，A关于CE对称， ∴AE＝ME，AM⊥CE， ∴AM∥BC， ∴∠AMD＝∠CDE， ∵AE＝ME， ∴∠AMD＝∠EAM， ∴∠CDE＝∠EAM， ∵∠B＝∠ADE＝45°， ∴∠BAD+∠ADB＝∠CDE+∠ADB＝135°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴∠EAM＝∠BAD， 由（1）知，△BAD≌△CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE＝∠EAM， ∵AM∥BC， ∴∠BAM＝180°﹣∠B＝135°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠CAM＝∠BAM﹣∠BAD＝45°， ∴∠CAE∠CAM＝22.5°， ∴∠BAD＝22.5°． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $