精品解析：湖南长沙市弘益高级中学2026届高三下学期适应性考试数学试题

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高三适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的实部为（ ） A. 1 B. C. D. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 在2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这两个数之和为素数且这两个数之差的绝对值大于2的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（ ） A. 满足的点恰有两个 B. 满足面积为的点恰有三个 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项等比数列中，若，，则______. 13. 已知函数，是函数的一个极值点，则实数_______． 14. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 16. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是和的中点． （1）求AC到平面BEF的距离； （2）求平面与平面BEF的夹角的余弦值． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若的面积为，证明为等边三角形. 18. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三适应性考试数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则的实部为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则以及两复数相等的条件可得答案. 【详解】设，则， 则，解得，故的实部为. 故选：C 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】依题意，或，而， 所以. 故选：B 3. 在中，，点H在线段上（不含端点），且，则的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由得，所以，三点共线得，利用二次函数即可得解. 【详解】由，得，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当时，取等号， 故的最小值为， 故选：B 4. 已知椭圆的左､右焦点分别为上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求出，再利用勾股定理得出的齐次式，进而可得出答案. 【详解】由题意， 在中，， 则， 即， 整理得， 所以的离心率. 故选：D. 5. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出圆台的高，再利用圆台的体积计算公式计算即可. 【详解】由题意，如图， 所以. 故选：A 6. 在2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这两个数之和为素数且这两个数之差的绝对值大于2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合求出从这7个整数中，任取2个不同的数所有的情况数，列举出两数之和为素数且两数之差的绝对值大于2的情况数，由古典概型公式求解即可. 【详解】从这7个整数中，任取2个不同的数，有种方法， 其中两数之和为素数且两数之差的绝对值大于2的有，，，，共4种方法， 故所求概率为． 故选：B 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 所以，即， 所以. 故选：B. 8. 已知函数，其中是自然对数的底数.若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导后结合基本不等式可得在上单调递增，令g，从而可得在上单调递增，且为奇函数，从而可化为，求解即可. 【详解】， 在上单调递增. 令，在上单调递增， 因为，所以为奇函数， 则化为 所以，解得， . 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 10. 已知数列的前项和为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】由题意知 ，则当时， ， 两式相减可得 ，整理得，故正确； 当时， ，因为 ，所以，故错误； ，故错误； ， ，，故正确. 11. 已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（ ） A. 满足的点恰有两个 B. 满足面积为的点恰有三个 C. 的最小值为3 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个. 对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点. 对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断. 对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断. 【详解】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误； 设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确； 如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确； 如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正项等比数列中，若，，则______. 【答案】1024## 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式即可求出公比，再求首项，最后可得通项，从而可求解. 【详解】由题意知，， 因为正项等比数列，所以， 由，可得， 所以，即. 故答案为： 13. 已知函数，是函数的一个极值点，则实数_______． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，经检验，符合. 考点：导数与极值． 14. 如图，在正四棱台中，，，该棱台体积，则该棱台外接球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，找到球心的位置，求出外接球半径，得到外接球表面积. 【详解】连接，取的中点，连接， 则外接球球心在直线上，设球心为，如图所示，则， 则⊥平面， 因为正四棱台中，，， 故，所以， 设四棱台的高为， 故，解得， 故， 设，则， ， 故，解得， 故半径， 故该棱台外接球的表面积为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了人，得到如下列联表： 正常 不正常 合计 患该疾病 未患该疾病 合计 （1）记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为，求的估计值； （2）根据所选择的个人的数据，能否有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关？ 附： ， 【答案】（1） （2）有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算求解即可， （2）设出零假设，计算出卡方，与临界值比较即可判断. 【小问1详解】 由题可知，超声波检查结果不正常者有人，这人中患该疾病的有人， 则，所以的估计值为． 【小问2详解】 假设：超声波检查结果与是否患该疾病无关， 根据列联表中的数据，则， 因为当成立时，，而， 所以我们有的把握认为超声波检查结果与是否患该疾病有关． 16. 如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是和的中点． （1）求AC到平面BEF的距离； （2）求平面与平面BEF的夹角的余弦值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先证明出平面BEF，所以AC到平面BEF的距离即为点A到平面BEF的距离，建立空间直角坐标系，根据点到平面的距离向量公式即可求出； （2）分别求出平面与平面BEF的一个法向量，根据平面夹角的定义即可求出． 【详解】（1）如图所示，以点A为原点建立空间直角坐标系， 依题意，得，，，，，，则，，∴， 又∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF． ∴AC到平面BEF的距离等于点A到平面BEF的距离． ，， 设平面BEF的法向量为，则即，即， 取，则，，∴是平面BEF的一个法向量． 又，所以点A到平面BEF的距离为 ． （2）∵平面，∴是平面的一个法向量． 设平面与平面BEF的夹角θ，则 ， ∴平面与平面BEF的夹角的余弦值为． 17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且. （1）证明：； （2）若的面积为，证明为等边三角形. 【答案】（1） 由正弦定理得， 即， 所以， 所以， 所以，由正弦定理得． （2） 因为，所以， 因为，所以为锐角，所以． 由余弦定理得， 又，代人化简得， 所以， 所以为等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边换角并结合三角恒等变换得，再利用正弦定理角换边即可； （2）利用三角形面积公式得，再结合余弦定理即可得到，则得其为等边三角形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程； （2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合） （3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设，计算得，结合其在椭圆上，代入化简即可得，同理，则得到斜率比值； （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【小问1详解】 由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. 【小问2详解】 设，则， 又因为，所以， 则，同理可得，所以. 【小问3详解】 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线，联立得， 即有，所以，代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 19. 已知函数，其中为自然对数的底数． （1）当时，求的单调区间； （2）若方程有两个不同的根． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在区间内单调递增，在区间内单调递减； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数及其零点，分区间分析导函数的正负，结合导数与单调性的关系求单调区间； （2）方程可化为，结合（1）确定函数的性质，由条件确定的取值范围； （3）设，由（i），由已知，法一：先证明时结论成立，构造函数，，并证明，由此可得，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明当时，结论成立；法二：构造函数，证明当时，，由此可证，结合的单调性证明，再结合基本不等式证明结论. 【小问1详解】 由题意得，，则， 由，解得． 当时，单调递增， 当时，单调递减； 综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 【小问2详解】 （i）由，得， 设， 由（1）得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根， 故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 法一： 当时，结合（i）知，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增，又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $