1.4.2充要条件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

"该高中数学课件聚焦“充要条件”核心知识点，通过“整数a是6的倍数与是2和3的倍数关系”的思考问题导入，从具体实例抽象出概念，再结合例题、证明题构建从理解到应用的学习支架，衔接充分条件、必要条件等前置知识。\n其亮点在于以问题驱动和实例分析（如三角形相似与三边成比例、直线与圆相切的充要条件证明）培养数学思维，通过符号化小结（p⇒q等四种关系）强化数学语言表达，帮助学生提升逻辑推理能力，为教师提供层次分明的教学资源和清晰的教学路径。"

1.4.2充要条件 思考： 已知p：整数a是６的倍数， q：整数a是２和３的倍数， 那么p是q的什么条件？ 这里，p是条件，q是结论， ∴p是q的充分条件； ∴p是q的必要条件. 此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 ( sufficient and necessary condition).显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件 例如： (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若A∪B是空集，则A与B均是空集. (1)两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等， (2)若A∪B是空集， p是q的充要条件， q也是p的充要条件， p是q的充要条件， q也是p的充要条件， 例3下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直且平分； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； (3)p：xy>0，q：x>0 ，y>0； (4)p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，q：a+b+c＝0(a≠0) ∵p：四边形是正方形， q：四边形的对角线互相垂直且平分， ∴ p是q的充分不必要条件，不是的充要条件. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形三边成比例； ∵p：两个三角形相似， q：两个三角形三边成比例， ∴ p是q的充要条件. (3)p：xy>0，q：x>0 ，y>0； ∴ p是q的必要不充分条件，不是充要条件. (4)p：x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根， q：a+b+c＝0(a≠0) ∵p:x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根， q： a+b+c＝0(a≠0) ， ∴ p是q的充要条件. 例4已知：⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离为d， 求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件. 分析： 在本题中， p：d＝r是条件， q：直线l与⊙O相切是结论. 设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切. 要证明p是q的充要条件， 证明： 设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切. 如图， 过O作l的垂线OP，垂足为P 若d＝r, 则|OP|=d＝r, ∴点P在⊙O上， 设点Q是直线l上异于P的任意一点， 连接OQ 则△OPQ是直角三角形， OQ为斜边， ∴|OQ|>|OP| ＝r， ∴点Q在⊙O外. 从而，⊙O与直线l有且仅有一个公共点P 所以⊙O与直线l相切。 若⊙O与直线l相切， 设切点为P， 则OP⊥l. 因此，d＝|OP|＝r, 由(1)(2)可得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件. 思考： 变式. 已知：⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离为d， 求证：d＝r的充要条件是直线l与⊙O相切. 变式与例4有何不同？ 例4已知：⊙O的半径为r圆心O到直线l的距离为d， 求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件. 在例4中， p：d＝r是条件， q：直线l与⊙O相切是结论. 设p：d＝r，q：直线l与⊙O相切. 在变式中， p：d＝r是结论， q：直线l与⊙O相切是条件. 结论 在命题的叙述中，有可能把条件放在结论后面。 1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的_______________. 练习 A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 1.已知p是q的必要而不充分条件， 那么┐p是┐q的_______________. 练习 充分不必要条件 ∵ p是q的必要而不充分条件, ∴┐p是┐q的充分不必要条件. 注：等价法（转化为逆否命题） A.充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 小 结 判断充分条件，必要条件 的基本步骤和结果 (1).理清问题中谁是条件、谁是结论； 1.基本步骤 2.结果 (1).若条件能推出结论，则条件是结论成立的充分条件。 (2).若结论能推出条件，则条件是结论成立的必要条件。 (2).判断“条件能否推出结论”或“结论能否推出条件” ① 可先简化命题。 ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断。 ② 否定一个命题只要举出一个反例即可。 解题技巧: $