5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 教学设计 1、 教学目标 1.了解利用单位圆画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦曲线、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 2、 重点难点 教学重点：1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系， 2.会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象． 教学难点：1.利用单位圆画正弦曲线. 2.正弦曲线与余弦曲线的应用． 3.正弦函数与余弦函数图象间的关系, 图象变换. 3、 学情分析&教材分析 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1本（A版）》第五章的5.4.1正弦函数、余弦函数的图像。本节的主要内容是正弦函数的图象，过去学生已经学习了一次函数、二次函数、指数函数和对数函数等，此前还学了锐角的正弦函数和任意角的正弦函数，在此基础上来学习正弦函数y=sinx的图象，为今后正弦函数的性质、余弦函数、正切函数的图象与性质，函数y=Asin(ωx+φ) 的图象的研究打好基础，起到了承上启下的作用，因此，本节的学习有着极其重要的地位。发展学生数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。 4、 学习目标 1.理解正弦曲线和余弦曲线间的关系，会用“五点(画图)法”画给定区间上的正弦函数、余弦函数的图象． 2.掌握正弦函数与余弦函数图象间的关系以及图象的变换，能通过函数图象解决简单的问题． 5、 导入新知 1. 问题引入 同学们，我国著名数学家华罗庚教授写过这样一首诗：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞．数无形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离．”诗中充分肯定了数形结合这一重要的数学思想方法，前面我们主要从“数”的角度研究了三角函数的一些问题，这节课我们将从“形”上来研究三角函数． 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 问题1　结合所学，研究函数的一般步骤是什么？ 提示　先确定函数的定义域，然后画出函数图象，通过图象研究函数的值域、单调性、最值、对称性、奇偶性等函数的性质． 下面先研究函数，的图象，从画函数，的图象开始． 思考： 问题2　在上任取一个值，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值，并画出点? 【师生互动】教师提出问题,学生思考. 提示　如图，在[0,2π]上任取一个值x0，根据正弦函数的定义可知y0＝sin x0，此时弧AB的长度为x0，结合每一个角的弧度数与实数的一一对应关系，可得点T(x0，sin x0)． 如图5.4-1，在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴正半轴的交点为．在单位圆上，将点绕着点旋转弧度至点，根据正弦函数的定义，点的纵坐标．由此，以为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点． 若把轴上从到这一段分等份，使值分别为，，，，…，，它们所对应的角的终边与单位的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点(图5.4-2) 问题3我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？ 事实上，利用信息技术，可使在区间上取到足够多的值而画出足够多的点，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数，的图象（图5.4-3）． 提示　如图，借助单位圆，在x轴上把[0,2π]12等分，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，当然，把圆周等分的份数越多，将这些点用光滑的曲线连接起来，得到的正弦函数图象越精确(通过信息技术展示)，然后根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x轴向左和向右连续的平行移动，每次移动的距离为2π，就得到函数y＝sin x，x∈R的图象． 思考： 　根据函数，的图象，你能想象函数，的图象吗? 由诱导公式一可知，函数，，且的图象与，的图象形状完全一致．因此将函数，的图象不断向左、向右平移(每次移动个单位长度)，就可以得到正弦函数的图象（图5.4-4）． 正弦函数的图象叫做正弦曲线(sine curve)，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线． 思考： 在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点? 观察图5.4-3，在函数，的图象上，以下五个点： ，，，， 在确定图象形状时起关键作用．描出这五个点，函数，的图象形状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的． 由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象． 思考： 你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象? 对于函数，由诱导公式得， ， 而函数 ， 的图象可以通过正弦函数 ， 的图象向左平移个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图5.4-5所示．（你能说明理由吗?） 余弦函数的图象叫做余弦曲线（cosine curve)，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线． 探究： 类似于用“五点法”画正弦函数图象，找出余弦函数在区间上相应的五个关键点，将它们的坐标填入表5.4-1，然后画出，的简图． 表5 .4-1 6、 应用新知 例1 画出下列函数的简图： (1)，；(2)，． 解：(1) 按五个关键点列表： 描点并将它们用光滑的曲线连接起来图(5.4-6)： (2) 按五个关键点列表: 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(图5. 4-7)： 【变式】 用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0，2π]的简图． 【答案】作图见解析 【知识点】y=Asinx+B的图象、五点法画正弦函数的图象 【分析】由于正弦函数的周期是，取一个周期内的五个关键点，即令，分别将五个点的横坐标代入中，求出对应的纵坐标的值，列出表格，然后描点连线即可画出函数简图. 【详解】（1）取值列表如下： x 0 π 0 1 0 －1 0 （2）描点、连线，如图所示． 【点睛】本题考查了用五点法画三角函数简图问题，考查了数学运算能力和画图能力，属于一般题目. 思考: 你能利用函数，的图象，通过图象变换得到图象吗?同样地，利用函数，的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数，的图象? 7、 能力提升 题型一　用“五点法”作三角函数的图象 【练习1】用“五点法”作出函数的简图；并说明该图像如何由正弦曲线的相关部分通过图像变换得到. 【答案】答案见解析 【知识点】五点法画正弦函数的图象 【分析】利用五点法列表作图即可. 【详解】列表： 0 0 1 0 0 0 0 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，如图. 图像可以由正弦曲线在的部分通过x轴对称得到. 【感悟提升】用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0，2π]上简图的步骤 x 0 π 2π sinx (或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1(或0) 0(或1) y b(或A＋b) A＋b(或b) b(或－A＋b) －A＋b(或b) b(或A＋b) (1)列表： (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． 题型二 作正弦函数、余弦函数的简图 【练习2】画出下列函数的简图: (1),; (2),. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【知识点】五点法画余弦函数的图象、五点法画正弦函数的图象 【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可. 【详解】解:(1)按五个关键点列表: x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    (2)按五个关键点列表: x 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    【点睛】本题主要考查了五点作图法画三角函数图像的问题,属于基础题. 解题技巧：（简单三角函数图像画法） 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换. 题型三　用图象变换法作函数图象 【练习3】利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 【感悟提升】用图象变换法作函数图象 对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图． (1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象． (2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象． 题型四　利用图象解方程或不等式 【练习4】利用正弦函数和余弦函数的图象，求满足下列条件的x的集合. （1）sin x≥； （2）cos x≤. 【答案】（1），k∈Z；（2），k∈Z. 【知识点】余弦函数图象的应用、正弦函数图象的应用 【分析】（1）作出正弦函数在一个周期内的图象，作直线，由周期性可得不等式的解． （2）作出正弦函数在一个周期内的图象，作直线，由周期性可得不等式的解． 【详解】(1)作出正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z. (2)作出余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x的集合为，k∈Z. 【点睛】本题考查解三角不等式，解题方法作出正弦函数（余弦函数）的图象与直线，通过数形结合思想求解． 【感悟提升】利用图象解方程或不等式的方法 (1)作出相应直线和三角函数的图象． (2)在x∈[0，2π](或x∈[－π，π])范围内确定满足条件的x值或范围． (3)根据终边相同角的同一三角函数值相等确定方程或不等式的解集． 题型五　利用图象判断方程解的个数 【练习5】当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 【感悟提升】利用图象判断方程解的个数的策略 (1)作出相应的函数的图象． (2)函数图象交点的个数即为方程的解的个数． 8、 课堂总结 1.知识清单： (1)正弦函数、余弦函数图象的初步认识． (2)“五点(画图)法”作图． (3)正弦函数、余弦函数图象的应用． 2．方法归纳：数形结合法． 3．常见误区：五点的选取；正弦函数的图象和余弦函数的图象可相互平移得到． 4.解决正弦、余弦函数图象的注意点 对于正弦、余弦函数的图象问题，要画出正确的正弦曲线、余弦曲线，掌握两者的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 5.作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0，2π]的图象的三个步骤 6.利用三角函数图象解三角不等式sin x>a(cos x>a)的步骤 (1)作出相应的正弦函数(余弦函数)在[0,2π]上的图象． (2)确定在[0,2π]上sin x＝a(cos x＝a)的x值． (3)写出不等式在区间[0,2π]上的解集． (4)根据诱导公式一写出定义域内的解集． 9、 作业设计 课本200页练习，213习题5.4第1题. 10、 板书设计 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 1.“五点法”作正弦函数、余弦函数图象 四、归纳小结 一、问题引入 2.利用图象变换作余弦函数图象 五、布置作业 二、新课讲解 利用正弦线作正弦函数图象 三、应用举例 三、概念深化 例 思考 练习（第200页） 1．在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．通过观察两条曲线，说出它们的异同． 1．解析：可以用单位圆中的三角函数线作出它们的图象，也可以用“五点法”作出它们的图象．两条曲线形状相同、位置不同．例如函数的图象，可以通过将函数， 的图象向右平移个单位长度而得到（如图所示）． 2．用五点法分别画下列函数在上的图象： （1）； （2）． 2．解析：（1） 0 0 1 0 0 （2） 0 3 2 1 2 3 3．想一想函数与的图象及其关系，并借助信息技术画出函数的图象进行检验． 3．解析：把在轴下方的部分翻折到轴上方， 就得到的图象．如图所示． 4．（多项选择题）函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（ ） （A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个 （E）4个 4．答案：ABC 解析：函数的图象如图所示，当或时，无交点；当或时，只有 1 个交点；当 时，有2个交点，故选ABC． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$