精品解析：贵州省2025届高三下学期4月联考数学试卷

""

高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 15 2. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 5. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组数据1，4，5，，3，4，5，1，，7，4的平均数为4，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，：，则（ ） A. 与的离心率相等 B. 与的焦距相等 C. 与的长轴长相等 D. 的短轴长是的短轴长的两倍 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 11. 《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（ ） A. 当时，四面体为鳖臑 B. 当时，四面体为鳖臑 C. 当时，四面体外接球的表面积为 D. 当时，堑堵体积的最大值为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 13. 若，均为单位向量，且，则______． 14. 已知函数（）的图象经过点，．若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区组织居民去贵州旅游，他们每个人选择去黄果树瀑布、荔波小七孔、梵净山旅游的概率分别为0.6，0.2，0.2，假设该社区每人只选择这三个景区中的一个，且每人的选择相互独立，互不影响．已知甲、乙、丙是该社区的3位居民． （1）求甲、乙2人去贵州同一个景区旅游的概率； （2）设该社区去贵州旅游的100位居民中去荔波小七孔的人数为，求的期望； （3）在甲不去梵净山且乙去黄果树瀑布的前提下，记甲、乙、丙3人中去黄果树瀑布旅游的人数为，求的分布列． 16. 如图，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求曲线过原点的切线方程． 18. 对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． （1）若数列为数列的偶数列，求． （2）若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． （3）在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 19. 已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） （3）在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的最大值为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦函数的性质求出最大值. 【详解】函数中，，所以当时，. 故选：B 2. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的结果求出范围. 【详解】集合，，而，则， 所以的取值范围是. 故选：C 3. 已知，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知式求出，从而求出复数的共轭复数，根据复数的几何意义得到答案即可. 【详解】， ， 故复数的共轭复数为，在复平面内对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 4. 若直线：与圆：相切，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的切线性质，借助点到直线距离公式求解. 【详解】圆：的圆心，半径， 由直线：与圆相切，得，所以. 故选：A 5. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出边，再利用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由及余弦定理得，又， 所以由正弦定理得. 故选：A 6. 已知为偶函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分类讨论，分别对情况解不等式即可. 【详解】当时，，若，则； 当时，，成立； 当时，因为为偶函数，所以，即，； 综上：， 故选：B. 7. 已知一组数据1，4，5，，3，4，5，1，，7，4的平均数为4，其中，均为正整数，则当取得最小值时，这组数据的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的定义列式求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出取最小值的条件，然后利用方差的定义求解. 【详解】依题意，，解得， 则， 当且仅当，即时取等号，因此当时，取得最小值， 所以这组数据的方差为. 故选：D 8. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，利用待定系数法求出参数值. 【详解】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图， 设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm）， 则，，于是，解得， 故该抛物线的焦点到准线的距离为． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆：，：，则（ ） A. 与的离心率相等 B. 与的焦距相等 C. 与的长轴长相等 D. 的短轴长是的短轴长的两倍 【答案】BD 【解析】 【分析】求出给定的两个椭圆的长短半轴长、半焦距及离心率，再逐项判断即可. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，椭圆的离心率，A错误； 对于B，椭圆与的焦距长都为6，相等，B正确； 对于C，椭圆与的长轴长不相等，C错误； 对于D，椭圆的短轴长是的短轴长的两倍，D正确. 故选：BD 10. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用三角函数的相关公式将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】已知，根据二倍角公式，可得. 进一步整理可得， 即. 对于选项A：根据正弦函数的最小正周期（），对于，，所以，故选项A正确. 对于选项B：对于，当时，，所以的图象关于点对称，故选项B正确. 对于选项C：若函数的图象关于直线对称，则为函数的最值. 当时，，因为的最大值为，最小值为，所以的图象关于直线对称，故选项C正确. 对于选项D：令，，解不等式可得： ，.当时，单调递增区间为，而区间并不完全在内，所以在区间上不是单调递增的，故选项D错误. 故选：ABC. 11. 《九章算术·商功》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．在堑堵中，，则（ ） A. 当时，四面体为鳖臑 B. 当时，四面体为鳖臑 C. 当时，四面体外接球的表面积为 D. 当时，堑堵体积的最大值为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用鳖臑的定论，结合线面垂直的判定性质判断AB；求出外接球半径计算判断C；求出体积关系，结合基本不等式求得最大值判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 则，又，平面， 因此平面，而平面，于是， 四面体的四个面均为直角三角形，即四面体为鳖臑，A正确； 对于B，过作于，连接，由，得在线段上（除点）外， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是，均为锐角， 同理也为锐角，即是锐角三角形，四面体不是鳖臑，B错误； 对于C，当时，为中点，，， 由，得，四面体的外接球即为堑堵的外接球， 平面与平面截该外接球的截面小圆平行且全等，则球心到截面的距离， 而外接圆半径，因此该外接球半径，该球的表面积为，C正确. 对于D，，则，令，由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】220 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出展开式的项，进而求出其系数. 【详解】的展开式中项为， 所以所求系数为. 故答案为：220 13. 若，均为单位向量，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】作出图形，利用向量加法的几何意义求得答案. 【详解】作，以线段为一组邻边作平行四边形，如图， 则，而，均为单位向量，则， 因此为菱形，. 故答案为： 14. 已知函数（）的图象经过点，．若，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用给定函数所过点建立方程组，结合已知等式求出. 【详解】依题意，，整理得，则， 而，因此，又，则，而， 所以. 故答案为：5 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某社区组织居民去贵州旅游，他们每个人选择去黄果树瀑布、荔波小七孔、梵净山旅游的概率分别为0.6，0.2，0.2，假设该社区每人只选择这三个景区中的一个，且每人的选择相互独立，互不影响．已知甲、乙、丙是该社区的3位居民． （1）求甲、乙2人去贵州同一个景区旅游的概率； （2）设该社区去贵州旅游的100位居民中去荔波小七孔的人数为，求的期望； （3）在甲不去梵净山且乙去黄果树瀑布的前提下，记甲、乙、丙3人中去黄果树瀑布旅游的人数为，求的分布列． 【答案】（1） 0.44； （2） 20； （3） 的分布列为： 1 2 3 0.1 0.45 0.45 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式列式计算. （2）利用二项分布的期望公式求出期望. （3）利用条件概率求出去黄果树瀑布和荔波小七孔的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列. 【小问1详解】 甲、乙2人去同一个景区旅游的事件是都去黄果树瀑布的事件、都去荔波小七孔的事件、 都去梵净山旅游的事件和，它们彼此互斥， 所以甲、乙2人去贵州同一个景区旅游的概率. 【小问2详解】 该社区的一位居民去荔波小七孔旅游的概率为0.2，则， 所以的期望为. 【小问3详解】 在甲不去梵净山时，去黄果树瀑布的概率为，去荔波小七孔的概率为， 在甲不去梵净山且乙去黄果树瀑布的前提下，的可能值为， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 0.1 0.45 0.45 16. 如图，在四棱锥中，，，，． （1）证明：平面平面． （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 在四棱锥中，由，，得， 则，而，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直、面面垂直的判定推理得证. （2）由线面垂直的性质判定证得平面，再以为原点建立 空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 又平面，则平面，而平面， 则，由平面，平面，得， 又平面， 因此平面，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 令，由，得四边形是平行四边形， 则，由，得点， ， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面的法向量，则， 取，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知函数的图象在点处的切线斜率为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）求曲线过原点的切线方程． 【答案】（1）； （2）递减区间为，递增区间为； （3）或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出的值. （2）由（1）的信息，利用导数求出函数的单调区间. （3）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切点，进而求出切线的斜率即可. 【小问1详解】 函数，求导得，依题意，， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，其定义域为R，， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，递增区间为. 【小问3详解】 设曲线过原点的切线的切点为，则， 原点不在曲线上，于是，解得， 当时，；当时，， 所以曲线过原点的切线方程为或. 18. 对于数列，记区间内偶数的个数为，则称数列为的偶数列． （1）若数列为数列的偶数列，求． （2）若数列为数列的偶数列，证明：数列为等比数列． （3）在（2）的前提下，若数列为等差数列的偶数列，，，求数列的前项和． 【答案】（1）； （2） 在区间内的偶数为，则． 于是，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列. （3） 【解析】 【分析】（1）列出在区间内的偶数，再利用偶数列的定义求出. （2）求出在区间内的偶数个数，进而求出数列的通项公式，再利用等比数列的定义证明. （3）利用等差数列的通项公式，进而求出，再利用分组求和法及错位相减法求解. 【小问1详解】 在区间内的偶数为，共13个， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意，等差数列的公差， 则，， 由（2）知，，则， 令数列的前项和为，则， 于是， 两式相减得：， ， 因此，而数列前项和为， 所以. 19. 已知双曲线：（，）的左、右顶点分别为，，右焦点为，点是双曲线上异于，的一点，且直线，的斜率之积为． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若垂直于轴，且，直线与双曲线相切，直线与直线相交于点，与直线相交于点，证明为定值，并求此定值；（注：过双曲线上一点且与双曲线相切的直线方程为） （3）在（2）的条件下，已知直线与双曲线交于点，（异于点），若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】（1）； （2） 设，由轴，得，则， 解得，双曲线：， 设直线与双曲线相切的切点为，， 直线方程为，则点，点， ， 而，所以，即为定值. （3） 当直线斜率存在时，设其方程为：，，而， 由消去y并整理得， 有，，即且， ，， ，由以为直径的圆经过点，得， 则，， 于是，化简得， 即，而直线不过点，即，因此， 直线：过定点， 当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：， 由解得或，则点的横坐标均为， 即直线过定点，因此直线过定点， 由于，得点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径， 所以存在定点，使为定值. 【解析】 【分析】（1）利用斜率坐标公式，结合双曲线方程求出，进而求出渐近线方程. （2）结合（1）的结论求出双曲线方程，设出切点坐标，写出切线方程，求出点坐标即可求解. （3）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示求得，再讨论直线斜率不存在的情况，确定直线所过定点即可推理得证. 【小问1详解】 依题意，，设点，则，即， 直线，的斜率之积为，得，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $