奥数培优专题16 有序搭配与分类计数（综合拓展专题）（讲义）2026-2027学年三年级上册数学（人教版）

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专题十六 有序搭配与分类计数 第一部分 核心方法论与知识体系构建 1 一、知识体系全景梳理 1 二、解题方法图表记忆法 1 三、奥数思维提升 1 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 3 考点一：简单搭配问题 3 考点二：路线搭配问题 4 考点三：数字组数问题 6 考点四：分类枚举计数 7 考点五：搭配综合应用 9 第三部分 易错避坑指南 12 第四部分 分层进阶专题精练 14 一、基础夯实篇（8题） 14 二、能力进阶篇（7题） 14 三、思维跃迁篇（5题） 15 第五部分 精准解析 17 一、基础夯实篇解析 17 二、能力进阶篇解析 18 三、思维跃迁篇解析 20 学科网（北京）股份有限公司 第一部分 核心方法论与知识体系构建 一、知识体系全景梳理 本专题是三年级上册全册综合拓展专题，核心是"搭配与分类计数"，依托简单搭配、路线搭配、数字组数、分类枚举、综合应用五大考点，系统梳理乘法原理入门和有序枚举的方法，培养不重不漏的有序思维，为后续排列组合学习打基础。 类型 核心方法 计算公式 常见场景 两类搭配 乘法原理 A种 × B种 = 总搭配 衣服配裤子、主食配菜 三类搭配 连乘 A种 × B种 × C种 上衣+裤子+鞋子 路线问题 分步相乘 每段路线数相乘 从A到B到C几条路 数字组数 分步确定每一位 高位开始依次选数 用卡片摆两位数三位数 分类计数 加法原理 几类方法数相加 分类枚举、不重不漏 二、解题方法图表记忆法 方法名称 适用题型 操作步骤 技巧口诀 连线法 两类简单搭配 第一类列左边，第二类列右边→连线→数线数 画连线，一条线一种搭配 列举法 所有搭配问题 按顺序一一列举→检查不重复不遗漏 按顺序，一个个列出来 乘法计算 多类搭配 每一步有几种选择→各步种数相乘 分步乘，几类就乘几个数 树形图法 路线、数字组数 第一层第一类→分支第二层→数末端 画树杈，末端数就是总数 分类相加法 多种情况分类 按标准分几类→每类计数→各类相加 分类加，不重不漏是关键 三、奥数思维提升 1. 有序思想：按顺序才不会乱 核心要点：搭配和计数最怕乱，一乱就会重复或漏掉。按一定顺序（从左到右、从小到大、先固定第一个再换第二个）来枚举，才能保证不重不漏。 示例：用1、2、3摆两位数，固定十位：十位1→12、13；十位2→21、23；十位3→31、32。共6个，按顺序就不会漏。 2. 分步思想：一件事分几步做 核心要点：完成一件事需要分几步，每步有几种选择，总的方法数就是每步选择数相乘。这就是乘法原理的入门思想。 示例：选上衣和裤子：3件上衣2条裤子。第一步选上衣3种，第二步选裤子2种，共3×2=6种搭配。每件上衣都能配2条裤子。 3. 分类思想：分情况讨论相加 核心要点：完成一件事有几类不同的方法，每类方法都能独立完成。总方法数就是各类方法数相加。这就是加法原理。 示例：从北京到上海，可以坐高铁（5趟）、飞机（3班）、汽车（2班）。一共5+3+2=10种走法。每一种都能直接到上海。 4. 对应思想：连线和搭配一一对应 核心要点：用连线法做搭配题，每一条连线对应一种搭配。有几条线就有几种搭配。画图能让抽象的搭配变得直观可见。 示例：3个小朋友两两握手。A连B、A连C、B连C，三条线=握3次手。画图一目了然。 5. 逆向思想：排除法计数 核心要点：有时候正着数麻烦，可以先算总数，再减去不符合条件的。特别是有特殊限制（如0不能在首位）的题目，排除法更简单。 示例：用0、1、2摆两位数。不考虑0的话3×2=6个，去掉0在十位的：01、02两个，剩6-2=4个。分别是10、12、20、21。 第二部分 典型例题解构与解题策略精讲 考点一：简单搭配问题 典型例题 1（基础型）—— 衣服搭配 题目：小红有3件不同的上衣，2条不同的裤子。一共有多少种不同的穿法？ 解题步骤： ① 方法一：连线法。3件上衣分别连2条裤子，每件上衣连2条线； ② 3件上衣共3×2=6条线，即6种穿法； ③ 方法二：列举法。上衣A配裤子1、2；上衣B配裤子1、2；上衣C配裤子1、2； ④ 共2+2+2=6种； ⑤ 答：一共有6种不同的穿法。 【答案】6种穿法 【知识点睛】两类搭配：第一类种数×第二类种数=总搭配数。乘法原理入门。 典型例题 2（提高型）—— 三餐搭配 题目：早餐有4种主食、3种饮品。选一种主食和一种饮品，一共有多少种不同的搭配？ 解题步骤： ① 主食4种，饮品3种； ② 每种主食都能配3种饮品； ③ 4种主食共：4 × 3 = 12种搭配； ④ 答：一共有12种不同的搭配。 【答案】12种搭配 【知识点睛】每一种A都能配全部的B，所以A的数量×B的数量=总数。 典型例题 3（奥数型）—— 三类搭配 题目：小明有2顶帽子、3件上衣、4条裤子。帽子可选可不选，上衣和裤子必须各穿一件。一共有多少种不同的穿法？ 解题步骤： ① 方法一：分两类——戴帽子和不戴帽子； ② 不戴帽子：3×4=12种； ③ 戴帽子：2×3×4=24种； ④ 总共：12+24=36种； ⑤ 方法二：帽子相当于2+1=3种选择（2顶+不戴），3×3×4=36种； ⑥ 答：一共有36种不同的穿法。 【答案】36种穿法 【知识点睛】可选可不选相当于多一种选择（不选）。三类搭配连乘。 考点二：路线搭配问题 典型例题 1（基础型）—— 两段路线 题目：从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路。从甲地经过乙地到丙地，一共有多少种不同的走法？ 解题步骤： ① 第一步：甲到乙，3种选择； ② 第二步：乙到丙，2种选择； ③ 总共：3 × 2 = 6种走法； ④ 画图验证：每条甲→乙的路都能接2条乙→丙的路； ⑤ 答：一共有6种不同的走法。 【答案】6种走法 【知识点睛】路线分步走，每段路数相乘。乘法原理：分步相乘。 典型例题 2（提高型）—— 三条路线 题目：从学校到公园有2条路，从公园到图书馆有3条路，从图书馆到体育馆有2条路。从学校经过公园、图书馆到体育馆，一共有多少种走法？ 解题步骤： ① 学校→公园：2种； ② 公园→图书馆：3种； ③ 图书馆→体育馆：2种； ④ 总共：2 × 3 × 2 = 12种； ⑤ 答：一共有12种不同的走法。 【答案】12种走法 【知识点睛】多段路线，每段种数连乘。几步就乘几个数。 典型例题 3（奥数型）—— 多条直达+中转 题目：从A城到B城，可以坐直达火车（每天4班），也可以坐汽车经过C城中转（A到C每天3班汽车，C到B每天2班汽车）。从A到B一共有多少种不同的走法？ 解题步骤： ① 分两类：直达和中转； ② 直达火车：4种； ③ 中转汽车：3 × 2 = 6种； ④ 总共：4 + 6 = 10种； ⑤ 答：一共有10种不同的走法。 【答案】10种走法 【知识点睛】分类用加法，分步用乘法。既有直达又有中转，先分类再分步。 考点三：数字组数问题 典型例题 1（基础型）—— 摆两位数 题目：用数字卡片1、3、5摆两位数，一共能摆出多少个不同的两位数？ 解题步骤： ① 固定十位法：十位选1，个位可以是3或5→13、15（2个）； ② 十位选3，个位可以是1或5→31、35（2个）； ③ 十位选5，个位可以是1或3→51、53（2个）； ④ 一共：2+2+2=6个； ⑤ 或乘法：十位3种选择，个位剩2种，3×2=6个。 【答案】6个不同的两位数 【知识点睛】数字组数从高位开始确定。n个数字摆两位数（无0）：n×(n-1)个。 典型例题 2（提高型）—— 含0的两位数 题目：用0、2、4、6四个数字卡片摆两位数，一共能摆出多少个不同的两位数？ 解题步骤： ① 十位不能是0，所以十位有3种选择：2、4、6； ② 十位选2，个位可以是0、4、6→3个； ③ 十位选4，个位可以是0、2、6→3个； ④ 十位选6，个位可以是0、2、4→3个； ⑤ 一共：3×3=9个； ⑥ 答：一共能摆出9个不同的两位数。 【答案】9个不同的两位数 【知识点睛】0不能在最高位。先确定高位的选择数，再算个位。十位(n-1)种，个位(n-1)种。 典型例题 3（奥数型）—— 三位数 题目：用1、2、3、4四个数字摆三位数，一共能摆出多少个不同的三位数？ 解题步骤： ① 百位：4种选择； ② 选完百位剩3个数字，十位：3种选择； ③ 选完十位剩2个数字，个位：2种选择； ④ 一共：4 × 3 × 2 = 24个； ⑤ 答：一共能摆出24个不同的三位数。 【答案】24个不同的三位数 【知识点睛】n个数字摆m位数（无0）：n×(n-1)×(n-2)×… 乘m个数。 考点四：分类枚举计数 典型例题 1（基础型）—— 握手问题 题目：4个小朋友两两握手，一共要握多少次手？ 解题步骤： ① 方法一：列举法。设4人为A、B、C、D； ② A握：AB、AC、AD（3次）； ③ B握：BC、BD（2次，BA已算过）； ④ C握：CD（1次，CA、CB已算过）； ⑤ D都握过了； ⑥ 总共：3+2+1=6次； ⑦ 答：一共要握6次手。 【答案】6次手 【知识点睛】n人两两握手：(n-1)+(n-2)+…+1 = n×(n-1)÷2次。每两人只算一次。 典型例题 2（提高型）—— 付钱方法 题目：小明有1元、5元、10元纸币各若干张，要买一本12元的书，有多少种不同的付钱方法（不找零）？ 解题步骤： ① 按10元张数分类； ② 1张10元：剩2元=2张1元（1种）； ③ 0张10元：按5元张数分； ④ 2张5元：剩2元=2张1元（1种）； ⑤ 1张5元：剩7元=7张1元（1种）； ⑥ 0张5元：12张1元（1种）； ⑦ 共：1+3=4种付钱方法。 【答案】4种付钱方法 【知识点睛】付钱问题按面值从大到小分类枚举，保证不重不漏。 典型例题 3（奥数型）—— 数线段 题目：一条直线上有5个点，一共能数出多少条线段？ 解题步骤： ① 给5个点编号A、B、C、D、E； ② 从A出发：AB、AC、AD、AE（4条）； ③ 从B出发：BC、BD、BE（3条）； ④ 从C出发：CD、CE（2条）； ⑤ 从D出发：DE（1条）； ⑥ 总共：4+3+2+1=10条； ⑦ 公式：n个点，线段数 = n×(n-1)÷2 = 5×4÷2 = 10条。 【答案】10条线段 【知识点睛】数线段和握手是同一类问题。n个点，每两点一条线段，共n(n-1)/2条。 考点五：搭配综合应用 典型例题 1（基础型）—— 比赛场次 题目：5支球队进行单循环比赛（每两队赛一场），一共要赛多少场？ 解题步骤： ① 单循环就是每两队赛一场，和握手问题一样； ② 第1队和其他4队赛4场； ③ 第2队和剩下3队赛3场（和第1队已算）； ④ 第3队和剩下2队赛2场； ⑤ 第4队和第5队赛1场； ⑥ 总共：4+3+2+1=10场； ⑦ 公式：5×4÷2=10场。 【答案】一共要赛10场 【知识点睛】单循环比赛场次 = 队数×(队数-1)÷2。 典型例题 2（提高型）—— 车票问题 题目：一条铁路线上有6个车站，一共需要准备多少种不同的车票？（往返算不同的） 解题步骤： ① 从每个站出发到其他站都需要一种车票； ② 每个站有5个目的地，6个站共6×5=30种； ③ 或者：单程车票种类=5+4+3+2+1=15种； ④ 往返不同，所以15×2=30种； ⑤ 答：一共需要准备30种不同的车票。 【答案】30种车票 【知识点睛】车票往返不同，有顺序，是排列问题：n×(n-1)种。握手无顺序是组合问题。 典型例题 3（奥数型）—— 长方形计数 题目：一个大长方形被分成2行3列的小长方形（共6个小格）。图中一共有多少个长方形？ 解题步骤： ① 方法：数线段法。长方形由上下两条横线和左右两条竖线组成； ② 横线方向：有3条横线（2行+上下边），选2条，有3×2÷2=3种选法； ③ 竖线方向：有4条竖线（3列+左右边），选2条，有4×3÷2=6种选法； ④ 总长方形数 = 横向选法 × 纵向选法 = 3 × 6 = 18个； ⑤ 答：一共有18个长方形。 【答案】18个长方形 【知识点睛】数长方形：横向线段数×纵向线段数。每条横线和每条竖线组合成一个长方形。 第三部分 易错避坑指南 易错点：有顺序和没顺序搞混 错误示例：3人两两握手算成3×2=6次（实际只有3次） 正确分析：握手、比赛、数线段这些是没顺序的，AB和BA算一次；车票、排队、两位数这些有顺序，AB和BA不同。要区分是否考虑顺序。 修正方法：判断有没有顺序：交换位置算不算同一种？算同一种就用组合（要除以2），不算就用排列（直接乘）。 易错点：数字组数忘记0不能在首位 错误示例：用0、1、2摆两位数，3×2=6个（实际只有4个） 正确分析：0不能在最高位，十位只能从非0的数字里选。不考虑0的话会把01、02也算进去，但这些不是两位数。 修正方法：有0的数字组数：先看最高位有几种选择（去掉0），再依次看后面每一位。高位优先考虑。 易错点：分类有重叠，重复计数 错误示例：1到10中，偶数有5个，3的倍数有3个，一共5+3=8个（6被算了两次） 正确分析：分类的原则是不重不漏。如果两类有重叠（既是偶数又是3的倍数），直接加就重复了，要用容斥原理减一次。 修正方法：分类要保证各类之间没有重叠。如果有重叠，用A+B-重叠。或者重新分类让各类互斥。 易错点：分步和分类搞反，乘加乱用 错误示例：从甲到乙有2条路，乙到丙有3条路，一共2+3=5种（应该2×3=6种） 正确分析：分步完成一件事（必须先…再…）用乘法；分类方法（要么…要么…）用加法。看是必须都做还是选一种做。 修正方法：分步（缺一不可）用乘法，分类（任选其一）用加法。"先…再…"是分步，"或者…或者…"是分类。 第四部分 分层进阶专题精练 一、基础夯实篇（8题） 1. 有3种不同的铅笔和2种不同的橡皮，选一支铅笔和一块橡皮，有多少种不同的选法？ 2. 用2、5、8三个数字摆两位数，能摆出多少个不同的两位数？ 3. 4个好朋友见面，每两人拥抱一次，一共要拥抱多少次？ 4. 从学校到少年宫有2条路，从少年宫到动物园有4条路。从学校经过少年宫到动物园有多少种走法？ 5. 用0、3、6摆两位数，一共能摆多少个？ 6. 一条线段上有4个端点，一共有多少条线段？ 7. 早餐有3种粥、4种包子。选一种粥和一种包子，有多少种搭配？ 8. 5个球队踢单循环赛，一共要踢多少场？ 二、能力进阶篇（7题） 9. 用1、2、3、4四个数字摆三位数，一共能摆出多少个不同的三位数？ 10. 有5个车站，单程需要准备多少种不同的车票？往返呢？ 11. 小明有2件上衣、3条裤子、2双鞋。一共有多少种不同的穿法？ 12. 用1元、2元、5元凑10元（每种都有足够多张），有多少种不同的凑法？ 13. 图中有3行4列的小方格，一共有多少个长方形？ 14. 从5名同学中选2人当正副组长，有多少种不同的选法？ 15. 一把钥匙开一把锁，现在有4把钥匙和4把锁弄混了，最多试多少次能全部配对？ 三、思维跃迁篇（5题） 16. 用0、1、2、3四个数字摆三位数，一共能摆出多少个不同的三位数？其中偶数有多少个？ 17. 6个点在一个圆周上，每两点连一条线段，一共能连多少条线段？这些线段把圆内分成多少个交点（交点不重合）？ 18. 有红、黄、蓝、绿四种颜色的信号旗各一面，从中选2面排成一行表示信号，一共可以表示多少种不同的信号？ 19. 从1到100的自然数中，数字2一共出现了多少次？ 20. 甲、乙、丙、丁四人排队，甲不站排头，乙不站排尾，一共有多少种不同的排法？ 第五部分 精准解析 一、基础夯实篇解析 1. 【答案】6种 解题步骤： ① 3×2=6种。 【知识点睛】两类搭配相乘。 2. 【答案】6个 解题步骤： ① 十位3种，个位2种，3×2=6个。 【知识点睛】无0数字摆两位数：n×(n-1)。 3. 【答案】6次 解题步骤： ① 3+2+1=6次；或4×3÷2=6次。 【知识点睛】握手问题：n(n-1)/2。 4. 【答案】8种 解题步骤： ① 2×4=8种。 【知识点睛】两段路线相乘。 5. 【答案】4个 解题步骤： ① 十位只能是3或6，2种； ② 个位剩2种（包括0）； ③ 2×2=4个：30、36、60、63。 【知识点睛】0不能在首位。十位(n-1)种，个位(n-1)种。 6. 【答案】6条 解题步骤： ① 3+2+1=6条；或4×3÷2=6条。 【知识点睛】数线段：n个点，n(n-1)/2条。 7. 【答案】12种 解题步骤： ① 3×4=12种。 【知识点睛】两类搭配相乘。 8. 【答案】10场 解题步骤： ① 4+3+2+1=10场；或5×4÷2=10场。 【知识点睛】单循环比赛：队数×(队数-1)÷2。 二、能力进阶篇解析 9. 【答案】24个 解题步骤： ① 百位4种，十位3种，个位2种； ② 4×3×2=24个。 【知识点睛】n个数字摆三位数：n×(n-1)×(n-2)。 10. 【答案】单程10种，往返20种 解题步骤： ① 单程：4+3+2+1=10种； ② 往返：10×2=20种；或5×4=20种。 【知识点睛】车票有顺序，往返不同。单程n(n-1)/2，往返n(n-1)。 11. 【答案】12种 解题步骤： ① 2×3×2=12种。 【知识点睛】三类搭配连乘。 12. 【答案】10种 解题步骤： ① 按5元张数分类： ② 2张5元：0张2元（1种）； ③ 1张5元：2元0-2张（3种）； ④ 0张5元：2元0-5张（6种）； ⑤ 共1+3+6=10种。 【知识点睛】付钱问题按大面值分类枚举。 13. 【答案】60个 解题步骤： ① 横线4条，选2条：4×3÷2=6种； ② 竖线5条，选2条：5×4÷2=10种； ③ 共6×10=60个。 【知识点睛】数长方形：横向线段数×纵向线段数。 14. 【答案】20种 解题步骤： ① 正组长5种选法，副组长4种； ② 5×4=20种。 【知识点睛】有顺序（正副不同），用排列：5×4。 15. 【答案】6次 解题步骤： ① 第一把钥匙最多试3次（第4把不用试）； ② 第二把最多试2次；第三把最多试1次； ③ 共3+2+1=6次。 【知识点睛】最不利原则，每次都最后一个才对。最后一把不用试。 三、思维跃迁篇解析 16. 【答案】18个三位数，其中偶数10个 解题步骤： ① 百位：1、2、3三种； ② 十位：剩3个数字（含0）三种； ③ 个位：剩2个数字两种； ④ 共3×3×2=18个； ⑤ 偶数：个位为0或2； ⑥ 个位0：百位3种十位2种=6个； ⑦ 个位2：百位2种（1、3）十位2种=4个； ⑧ 偶数共6+4=10个。 【知识点睛】含0的三位数：百位n-1种。偶数看个位，分类讨论。 17. 【答案】15条线段 解题步骤： ① 6个点，每两点一条线段； ② 6×5÷2=15条。 【知识点睛】圆周上n个点连线数=n(n-1)/2。 18. 【答案】12种 解题步骤： ① 第一面4种选择，第二面3种； ② 4×3=12种。 【知识点睛】选2面排成一行，有顺序，用排列。 19. 【答案】20次 解题步骤： ① 个位是2的：2、12、22……92，共10个； ② 十位是2的：20-29，共10个； ③ 22的个位十位都是2，算2次； ④ 共10+10=20次。 【知识点睛】按数位分别计数，再加起来。数字出现次数和数的个数不同。 20. 【答案】14种 解题步骤： ① 总排法：4×3×2×1=24种； ② 甲站排头：3×2×1=6种； ③ 乙站排尾：3×2×1=6种； ④ 甲排头且乙排尾：2×1=2种（减重复了）； ⑤ 甲不排头且乙不排尾：24-6-6+2=14种。 【知识点睛】容斥原理：总-甲头-乙尾+甲头乙尾。减多了要加回来。 1 学科网（北京）股份有限公司 $