第三十章《直线与圆的位置关系》单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

"**基本信息** \n九上数学《直线与圆的位置关系》单元卷，通过基础概念辨析、动态几何与综合应用，分层考查位置关系判定、切线性质及圆与坐标系综合，适配单元复习，落实几何直观、推理能力与模型意识等核心素养。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|选择题|10/30|位置关系判定（第2题d与r关系）、切线性质（第3题）|基础巩固，直接考查定义与性质|\n|填空题|6/18|切线长定理（第13题）、动态位置关系（第12题圆心移动）|结合动态情境，提升空间观念|\n|解答题|9/72|切线证明（21题）、圆与坐标系综合（22题）、新定义“位置矩形”（25题）|分层设计，从推理证明到创新应用，如25题以坐标系为背景，考查数学语言表达与模型意识|"

九上数学第三十章《直线与圆的位置关系》单元测试卷 考试时间：120 分钟 满分：120 分 姓名： 班级： 学号： . 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．均有可能 2. 设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是(　　) A．d=3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞3 3. 圆的切线垂直于（ ） A. 圆的任意一条半径 B. 过切点的半径 C. 圆的任意一条直径 D. 过圆心的直线 4. 已知⊙O半径为5，圆心到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 内含 5.如图， Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C为圆心作⊙C和AB相切，则⊙C的半径长为() A．8 B．4 C．9．6 D．4．8 6. 已知⊙O的半径为8，圆心O到直线m的距离为9，则直线m与⊙O的公共点个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 无数个 7. 从圆外一点可以引圆的几条切线（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 8. 如图，AB是的切线，A切点，连接OA，OB，若，则的度数为( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 9. Rt中，，AC=3，BC=4，以C为圆心，2为半径作圆，则斜边AB与⊙C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 10. 如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB=45°,点在数轴上运动，若过点P且与OA平行(或重合)的直线与⊙O有公共点, 设OP=x，则的取值范围是( ). A．－1≤≤1 B．≤≤ C．0≤≤ D．＞ 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分） 请将下列各题的答案填写在答题卡相应的位置上。 11. 若直线与圆相离，则圆心到直线的距离__________圆的半径（填“大于”“小于”或“等于”）。 12. 如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=30°，半径为1cm的的圆心P在射线OA上，且与点O的距离为6cm，以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么与直线CD相切时，圆心P的运动时间为 _____． 13. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长__________。 14. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______． 15. 如图所示，的底边BC的长为10cm，，，求它外接圆的直径 . 16. 已知⊙O1与⊙O2的半径、分别是方程 的两实根，若⊙O1与⊙O2的圆心距=5．则⊙O1与⊙O2的位置关系是 . 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 72 分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分 4 分） 如图所示，已知∠AOB=30°，P是OA上的一点，OP=12cm,以r为半径作⊙P． (1)当r=7cm时，试判断⊙P与OB位置关系； (2)若⊙P与OB相离，试求出r需满足的条件. 18.（本小题满分 4 分） 如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆的半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是多少？ 19.（本小题满分 6 分） 如图所示，⊙O的半径为5，点P为⊙O外一点，OP＝8．求：(1)以P为圆心作⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为多少?(2)当⊙P与⊙O相交时，⊙P的半径的取值范围为多少? 20. （本小题满分 6 分） 如图，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，，PA=8，求PB的长度和的度数。 21.（本小题满分 8 分） 如图，AB是半圆O的直径，过点O作弦AD的垂线交半圆O于点E，交AC于点C，使∠BED＝∠C．试判断直线AC与半圆O的位置关系，并说明理由． 22. （本小题满分 10 分） 如图，在直角坐标系中，点P的坐标为(2，0)，⊙P与x轴相交于原点O和点A，又B、C两点的坐标分别为(0，b)，(﹣1，0)． (1)当b＝2时，求经过B、C两点的直线解析式； (2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙P位置关系如何？并求出相应位置b的值 23.（本小题满分 10 分） 如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． (1)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； (2)若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取值范围． 24.（本小题满分 12 分） 如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，连接AC、BC，。 （1）求证：； （2）求证：DC=DB； （3）若CD=，求⊙O的半径。 25.（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中，点A在直线l上，以A为圆心，OA为半径的圆与y轴的另一个交点为E．给出如下定义：若线段OE，⊙A和直线l上分别存在点B，点C和点D，使得四边形ABCD是矩形(点A，B，C，D顺时针排列)，则称矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． 例如，图中的矩形ABCD为直线l的“位置矩形”． (1)若点A(-1，2)，四边形ABCD为直线x=-1的“位置矩形”，则点D的坐标为 ； (2)若点A(1，2)，求直线y=kx+1(k≠0)的“位置矩形”的面积； (3)若点A(1，-3)，直线l的“位置矩形”面积的最大值为 ，此时点D的坐标为 ． 参考答案与详细解析 一、选择题（每题3分，共30分） 1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】B 解析：，圆心距等于半径，直线与圆相切，故选B。 5.【答案】D 6.【答案】A 解析：，直线与圆相离，无公共点，故选A。 7.【答案】B 解析：几何基本结论：圆外一点可引圆的两条切线，故选B。 8.【答案】D 9.【答案】C 解析：由面积法求得点C到AB距离为2.4，，圆心距大于半径，直线与圆相离，故选C。 10.【答案】B 二、填空题（每题3分，共18分） 11.【答案】大于 解析：直线与圆相离。 12.【答案】4秒或8秒 13.【答案】相等 解析：切线长定理核心结论。 14.【答案】0＜x＜3 15.【答案】 16.【答案】相交 三、解答题（共72分） 17.（4分） 解(1)过点P作PC⊥OB于点C， ∵∠AOB=30°， ∴ ∵PC＜r, ∴⊙P与OB相交； (2)∵⊙P与OB相离， ∴0＜r＜PC, ∴0cm ＜r＜6cm. 18.（4分） 解：如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D， 连接OA，OD，可得OD⊥AB， ∴D为AB的中点，即AD=BD， 在Rt△ADO中，OD=3，OA=5， ∴AD=4， ∴AB=2AD=8； 当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点， 此时AB=10， 所以AB的取值范围是8＜AB≤10． 故答案为：8＜AB≤10. 19.（6分） 【答案与解析】 (1)当⊙P与⊙O外切时，则有5+r＝8， ∴ r＝3． 当⊙P与⊙O内切时，则有r-5＝8， ∴ r＝13． ∴ 当r＝3或13时，⊙O与⊙P相切． (2)当⊙P与⊙O相交时，则有| r-5|＜8＜r+5， 解得3＜r＜13， 即当3＜r＜13时，⊙P与⊙O相交． 20.（6分） 解：由切线长定理得：， ∵ PA、PB为切线，∴ ，， 四边形OAPB内角和为，故。 21.（8分） 试题分析： 猜想是相切的关系，只需要证∠CAO=90°，即证∠C+∠AOC=90°，而∠BAD+∠AOC=90°，所以需要证∠C=∠BAD，结合∠BAD=∠BED，∠BED=∠C即可. 试题解析： AC与半圆O相切．理由如下：∵是∠BED与∠BAD所对的弧， ∴∠BAD＝∠BED.∵OC⊥AD，∴∠AOC＋∠BAD＝90°. ∴∠BED＋∠AOC＝90°.即∠C＋∠AOC＝90°. ∴∠OAC＝90°.∴AB⊥AC，即AC与半圆O相切． 22.（10分） 解：(1)设BC直线的解析式：y＝kx+b 由题意可得： ∴解得：k＝2，b＝2 ∴BC的解析式为：y＝2x+2 (2)设直线BC在x轴上方与⊙P相切于点M，交y轴于点D，连接PM，则PM⊥CM． 在Rt△CMP和Rt△COD中， CP＝3，MP＝2，OC＝1，CM＝ ∵∠MCP＝∠OCD ∴tan∠MCP＝tan∠OCP ∴＝，b＝OD＝×1＝ 由轴对称性可知：b＝± ∴当b＝±时，直线BC与⊙P相切； 当b＞或b＜﹣时，直线BC与⊙P相离； 当﹣＜b＜时，直线BC与⊙P相交． 23.（10分） (1)AB＝AC，理由如下： 如图1，连结OB. ∵AB切⊙O于B，OA⊥AC， ∴∠OBA＝∠OAC＝90°， ∴∠OBP＋∠ABP＝90°，∠ACP＋∠APC＝90°， ∵OP＝OB， ∴∠OBP＝∠OPB， ∵∠OPB＝∠APC， ∴∠ACP＝∠ABC， ∴AB＝AC；　 (2)如图2，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，则可以推出； 又∵圆O与直线MN有交点， ∴， ， ， r2≥5， ∴， 又∵圆O与直线l相离， ∴r<5， 即. 图1 图2 24.（12分） （1）证明：∵ AB为直径，∴ ，， ∵ DC是切线，∴ ，， 又OC=OB，，故； （2）证明：∵，∴ ，， ，∴ ，DC=DB； （3）解：设半径为R，OD=2R，由勾股定理得， 代入得，解得，即半径为4。 25.（12分） (1)如图1， 点D的坐标为(-1，0)． 故答案为(-1，0)； (2)过点A作AF⊥y轴于点F，连接AO、AC，如图2． ∵点A的坐标为(1，2)， ∴AC=AO=，AF=1，OF=2． ∵点A(1，2)在直线y=kx+1上， ∴k+1=2， 解得k=1． 设直线y=x+1与y轴相交于点G， 当x=0时，y=1，点G(0，1)，OG=1， ∴FG=OF-OG=2-1=1=AF， ∴∠FGA=45°，AG=． 在Rt△GAB中，AB=AG•tan45°=． 在Rt△ABC中，BC=． ∴所求“位置矩形”ABCD面积为AB•BC=； (3)设“位置矩形”的一组邻边长分别为x、y， 则有x2+y2=AC2=AO2=12+32=10． ∵(x-y)2=x2+y2-2xy=10-2xy≥0， ∴xy≤5． 当且仅当x=y时，xy取最大值是5，此时“位置矩形”是正方形．  ①当点D在第四象限时，如图3， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点M，交过点D平行于y轴的直线于点N， ∵∠BAM+∠DAN=90°，∠BAM+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DAN， 在RtAMB和Rt△DNA中， ， ∴RtAMB≌Rt△DNA， 则有AN=BM=2，DN=AM=1， ∴点D的坐标为(1+2，-3+1)即(3，-2)． ②当点D在第三象限时，如图4， 过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，交过点D平行于y轴的直线于点M， 同①的方法得：RtANB≌Rt△DMA， 则有DM=AN=1，AM=BN=2， ∴点D的坐标为(1-2，-3+1)即(-1，-2)．   故答案为5、(3，-2)或(-1，-2)． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $