第二十六章《二次函数》 单元测试卷 2026-2027学年人教版九年级数学上册

"**基本信息** \n初中数学《二次函数》提高单元卷，覆盖定义、图像性质、最值、实际应用等核心知识点，通过基础辨析与综合探究题梯度设计，考查抽象能力、模型意识及几何直观，适配单元复习巩固与能力提升。 \n**题型特征** \n|题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色|\n|----|-----------|----------|----------|\n|选择题|10/30|二次函数定义（第1题）、图像平移（第4题）、性质辨析（第8题）|基础概念与图像认知结合，突出抽象能力|\n|填空题|6/18|解析式转化（第11题）、最值计算（第13题）、图形旋转规律（第14题）|知识迁移与规律探究，体现空间观念|\n|解答题|9/72|实际利润问题（第20题）、动点面积（第23题）、函数几何综合（第25题）|模型构建与推理能力，强化应用意识|"

第二十六章《二次函数》提高单元测试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________ 注意事项 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔填写姓名、班级、学号。 2. 选择题用2B铅笔填涂答题卡，非选择题用黑色字迹笔作答，书写在指定区域。 3. 保持卷面整洁，考试结束后将试卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题只有一个正确答案 1. 下列函数中，属于二次函数的是（） A. y=5x-1　　B. y=　　C. y=2x²-3x　　D. y=3(x+1)²-3x² 2. 二次函数 y=-3x²+2x-4 的二次项系数、一次项系数、常数项依次为（） A. -3、2、-4　　B. 3、2、4　　C. -3、-2、-4　　D. 3、-2、4 3. 抛物线 y=3(x-1)²+4 的顶点坐标是（） A. (1，4)　　B. (-1，4)　　C. (1，-4)　　D. (-1，-4) 4. 将抛物线 y=2x² 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线解析式为（） A. y=2(x+2)²+3　　B. y=2(x-2)²+3　　C. y=2(x+2)²-3　　D. y=2(x-2)²-3 5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列代数式：ab，ac，a+b+c，a-b+c, 2a+b，2a-b中，其值为正的代数式的个数为(   ) A．2个 B．3个 C．4个 D．4个以上 6. 二次函数 y=2x²-8x+5 的最值情况是（） A. 最小值-3　　B. 最大值-3　　C. 最小值5　　D. 最大值5 7. 抛物线 y=2x²-3x-2 与x轴的交点个数为（） A. 0个　　B. 1个　　C. 2个　　D. 无数个 8. 关于二次函数 y=-3x²，下列说法正确的是（） A. 开口向上　　 B. 对称轴为直线x=-3　　 C. 当x＜0时，y随x的增大而增大　　 D. 顶点坐标为(0，-3) 9. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax+a在同一坐标系中的图象大致为( ) A． B． C． D． 10. 如图，在矩形中，，，动点P沿折线运动到点B，同时动点Q沿折线运动到点C，点在矩形边上的运动速度为每秒1个单位长度，点P，Q在矩形对角线上的运动速度为每秒2个单位长度．设运动时间为t秒，的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是( ) A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 将二次函数 y=-3(x+2)²-1 化为一般形式为__________。 12. 抛物线 y=2x²-8x+1 的对称轴是直线__________。 13. 二次函数 y=-x²+6x+m 的最大值为2，则m=__________。 14. 一段抛物线 y=x(2-x)（0≤x≤2）记为C₁，与x轴交于O、A₁，顶点为P₁；将C₁绕A₁旋转180°得C₂，依次类推，则C₈的顶点P₈的坐标为__________。 15. 小球竖直上抛高度h(m)与时间t(s)的函数关系为 h=-2t²+8t，小球上升的最大高度为__________m。 16. 如图，一段抛物线y＝－x(x－1)(0≤x≤1)记为m1，它与x轴的交点为O，A1，顶点为P1；将m1绕点A1旋转180°得m2，交x轴于点A2，顶点为P2；将m2绕点A2旋转180°得m3，交x轴于点A3，顶点为P3……如此进行下去，直至得m10，顶点为P10，则P10的坐标为________． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 解答需写出必要文字说明、演算步骤 17.（4分）已知二次函数 y=x²-4x+2，求该抛物线的对称轴和顶点坐标。 18.（4分）已知抛物线顶点坐标为(-1，2)，且经过点(1，-2)，求抛物线的顶点式解析式。 19.（6分）如图，四边形中，，设的长为，四边形的面积为.求与之间的关系式. 20.（6分）某文具店定制笔记本进价10元，售价x元时，日均销量 y=-8x+320 件，求日均最大销售利润及对应销售单价。 21.（8分）已知二次函数 y=-x²+3x-2。 （1）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）直接写出 y＜0 时x的取值范围。 22.（10分）某配饰进价30元，售价40元时每月卖300件，售价每上涨1元，每月少卖15件（售价不高于60元，为整数）。设售价上涨x元，月利润为w元。 （1）售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？ （2）直接写出月利润不低于3360元的售价范围。 23.（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t， (1)AP＝　 　，BP＝　 　，BQ＝　 　； (2)t为何值△时△PBQ的面积为32cm2？ (3)t为何值时△PBQ的面积最大？最大面积是多少？ 24.（12分）如图，在四边形ABCD中，ABCD，∠D=90°，AC⊥BC，DC=8cm，AD=6cm．点F从A点出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，同时，点E从B点出发，以1 cm/s的速度沿BC向点C匀速运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为t(s)． (1)求AB长度； (2)设四边形ACEF的面积为y (cm2)，求y与t的函数关系式； (3)是否存在某一时刻t，使得四边形ACEF的面积是△ACD的面积的倍？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． (4)求t为何值时△BEF为直角三角形． 25.（12分）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴的交点为B，过A、B的直线为． (1)求二次函数的解析式及点B的坐标； (2)由图象写出满足的自变量x的取值范围； (3)在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由． 参考答案与详细解析 一、选择题（每题3分，共30分） 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】B 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】C 8.【答案】C 9.【答案】C 10.【答案】D 二、填空题（每题3分，共18分） 11.【答案】y=-3x²-12x-13 12.【答案】x=2 13.【答案】-7 14.【答案】(15，-1) 15.【答案】8 16.【答案】(，－) 三、解答题（72分） 17.【解】 y=x²-4x+2=(x-2)²-2 对称轴：直线x=2，顶点坐标(2，-2)。（4分） 18.【解】 设解析式y=a(x+1)²+2，代入(1，-2) 4a+2=-2，解得a=-1 解析式：y=-(x+1)²+2。（4分） 19.【解】 过作于点，如图 设，则， 而， ， ， 在中， ，即 又四边形的面积三角形的面积三角形的面积， 即与之间的关系式是 20.【解】 设利润为w，w=(x-10)(-8x+320)=-8(x-25)²+1800 x=25时，最大利润1800元。（6分） 21.【解】 （1）与y轴交点(0，-2)，与x轴交点(1，0)、(2，0)； （2）y＜0时，x＜1或x＞2。（8分） 22.【解】 （1）w=(10+x)(300-15x)=-15(x-5)²+3375 售价45元时，最大利润3375元； （2）售价44元～46元。（10分） 23.【解】 (1)根据题意得：AP＝2tcm，BQ＝4tcm， 所以BP＝(12﹣2t)cm， 故答案为：2tcm，(12﹣2t)cm，4tcm； (2)△PBQ的面积S＝ ＝(12﹣2t)×4t ＝﹣4t2+24t＝32， 解得：t＝2或4， 即当t＝2秒或4秒时，△PBQ的面积是32cm2； (3)S＝﹣4t2+24t ＝﹣4(t﹣3)2+36， 所以当t为3时△PBQ的面积最大，最大面积是36cm2． 24.【解】 (1)∵AB∥CD，∠D=90°， ∴∠DAB=90°，AC==10 cm， ∴∠DAC+∠BAC=90°, ∵AC⊥BC， ∴∠ACB=∠D =90°， ∴∠B+∠BAC=90°， ∴∠DAC=∠B， ∴△ADC∽△BCA， ∴,， 即,， ∴AB= cm ，BC=cm， ∴AB= cm； (2)∵BC=cm，AC=10cm， ∴S△BCA=， 设△BEF边BE上的高为h， 则， ∴， ∴S△BEF=， ∴y=S△BCA－S△BEF=； (3)由题意得S△ADC==24， 若四边形ACEF的面积是△ACD的面积的倍， 则， 解得或， 经检验符合题意，所以存在或 ； (4)①当∠EFB=90°时， ∵∠B=∠B， ∴△BFE∽△BCA， ∴， 即， 解得； ①当∠FEB=90°时， ∵∠B=∠B， ∴△BFE∽△BAC， ∴， 即， 解得求得； 经检验符合题意，所以或． 25.【解】 (1)将A点坐标代入，得：﹣16+13+c=0．解得c=3， ∴二次函数的解析式为， ∵当x=0时，=3， ∴B点坐标为(0，3)； (2)由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4， ∴x＜0或x＞4时，； (3)存在，解答如下： 根据线段垂直平分线上的点到线段两点间的距离相等，可得P在线段的垂直平分线上，作线段AB的垂直平分线l，垂足为C， ∵A(4，0)，B(0，3)，设直线AB解解析式为， 则有：，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设AB的垂直平分线l的解析式为：， ∵直线l过AB的中点为(2，)， ∴，解得：， ∴AB的垂直平分线l的解析式为， ①当x=0时，y=，P1(0，)， ②当y=0时，x=，P2(，0)， 综上所述：P1(0，)，P2(，0)，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $