5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象4题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册）

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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象4题型分类 一、正弦函数的图象 1．正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线. 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象； ②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． (2)“五点法” ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 二、余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线. (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． （一） 用“五点法”作三角函数的图象 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sinx (或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1) y b (或A＋b) A＋b (或b) b(或 －A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． 题型1：用“五点法”作三角函数的图象 1-1．（2024高一·全国·课堂例题）（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 1-2．（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． (4)，; (5)，． (6)， 1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    （二） 用图象变换法作函数图象 用图象变换法作函数图象 对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图． (1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象． (2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象． 题型2：用图象变换法作函数图象 2-1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 2-2．（2024高一下·上海·课后作业）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. （三） 正弦函数、余弦函数图象的应用 1、三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan. (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 2、三角函数式的化简注意: (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数; (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数; (3)注意“1”的变形应用. 题型3：利用图象解三角不等式 3-1．（2024高一下·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3-2．（2024高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 ． 3-3．（2024高一下·陕西西安·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3-4．（2024高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 3-5．（2024高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型4：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 4-1．（2024高一下·全国·单元测试）方程的解的个数是 ． 4-2．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）函数的零点个数为 ． 4-3．（2024高一上·河南新乡·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 4-4．（2024高一下·全国·课后作业）函数的零点个数为 . 4-5．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ． 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）函数的简图是（    ） A．B． C．D． 2．（2024高一下·上海·课后作业）函数与图像交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024高一下·全国·课后作业）从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2024高一·全国·专题练习）三角函数在区间上的图像为（　　） A． B． C． D． 5．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 6．（2024高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024高一下·辽宁·阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   8．（2024高一上·安徽合肥·期末）函数，的图象在区间的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（2024·全国·模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一下·江苏扬州·期中）设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 11．（2024高一下·江西抚州·期中）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 三、填空题 13．（2024高三上·湖南株洲·开学考试）若函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为 . 14．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 ， . 15．（2024高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数，若存在实数满足互不相等，则的取值范围是 . 16．（2024高一下·湖北武汉·期中）已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为 ． 17．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为 ． 18．（2024高一下·贵州遵义·期中）已知函数在区间上有且仅有10个零点，则ω的取值范围是 . 四、解答题 19．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象 20．（2024高一·全国·课后作业）用五点法作出函数的大致图象． 21．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 22．（2024高一上·全国·课前预习）作函数的图象. 23．（2024高三·全国·专题练习）函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） 24．（2024高一·全国·课后作业）用五点法分别画下列函数在上的图象: (1); (2). 25．（2024高一下·北京·阶段练习）用五点法画出函数一个周期的图象. 26．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.    27．（2024高三·福建厦门·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象4题型分类 一、正弦函数的图象 1．正弦曲线 正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线. 2．正弦函数图象的画法 (1)几何法 ①利用单位圆画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象； ②将图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． (2)“五点法” ①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)，用光滑的曲线连接； ②将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． 二、余弦函数的图象 (1)余弦曲线 余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫做余弦曲线. (2)余弦函数图象的画法 ①要得到y＝cosx的图象，只需把y＝sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx＝sin. ②用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．将所得图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)． （一） 用“五点法”作三角函数的图象 用“五点法”画函数y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表 x 0 π 2π sinx (或cosx) 0(或1) 1(或0) 0(或－1) －1 (或0) 0(或1) y b (或A＋b) A＋b (或b) b(或 －A＋b) －A＋b (或b) b (或A＋b) (2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，y)，，(π，y)，，(2π，y)，这里的y是通过函数式计算得到的． (3)连线：用光滑的曲线将描出的五个点连接起来，不要用线段进行连接． 题型1：用“五点法”作三角函数的图象 1-1．（2024高一·全国·课堂例题）（1）作出函数的简图； （2）作出函数的简图． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】根据列表描点连线作图即可. 【详解】（1）列表： 0 0 1 0 0 0 2 0 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    （2）列表： 0 0 1 0 1 0 1 2 1 0 描点并用光滑的曲线连接起来，可得函数的图象，如图所示：    1-2．（2024高一上·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数的简图. (1)，； (2)，. (3)在一个周期（）内的图像． (4)，; (5)，． (6)， 【答案】(1)图象见解析 (2)图象见解析 (3)图象见解析 (4)图象见解析 (5)图象见解析 (6)图象见解析 【分析】根据五点画图法的原则：描点、连线、绘图，找到函数中对应的五个点，操作画图即可. 【详解】（1）列表： 描点、连线、绘图，如图所示. （2）列表： 1 －1 描点连线如图. （3） 列表: 0 0 1 0 -1 0 图像如图所示： （4） 解:由题知，， 列表如下: 2 1 2 3 2 根据表格画出图象如下: （5）解:由题知，， 列表如下: 1 0 -1 0 1 根据表格画出图象如下: （6） 根据五点法作图列表得： 画图像得： 1-3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： x 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    【答案】填表见解析；作图见解析 【分析】由五点作图法的步骤：列表（此题找特殊点），描点，连线（用一条光滑的曲线连接）. 【详解】由题意列出以下表格： 0 x 0 0 2 0 函数图象如图所示：    （二） 用图象变换法作函数图象 用图象变换法作函数图象 对于某些函数的图象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通过图象变换，如平移变换、对称变换等作图． (1)把y＝sinx的图象在x轴上方的保留，在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，就可得y＝|sinx|的图象． (2)把y＝sinx的图象在y轴右侧的保留，去掉y轴左侧的图象，再把y轴右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧，就可得y＝sin|x|的图象． 题型2：用图象变换法作函数图象 2-1．（24-25高一上·上海·课堂例题）利用图象变换法作出，的简图，并说明该图象如何由正弦曲线的相关部分通过图象变换得到. 【答案】答案见解析 【分析】先作出，的图象，然后将x轴下方的部分翻转到x轴上方去可得答案. 【详解】解：作，的图象，并将x轴下方的部分翻转到x轴上方（原x轴上方的部分不变）， 得，的图象，如图所示. 2-2．（2024高一下·上海·课后作业）当时，作出下列函数的图象，把这些图象与的图象进行比较，你能发现图象变换的什么规律？ （1）； （2）； （3）. 【答案】答案见解析 【分析】（1）作出图象，根据图象观察即可解出； （2）作出图象，根据图象观察即可解出； （3）作出图象，根据图象观察即可解出． 【详解】（1）该图象与的图象关于轴对称，故将的图象作关于轴对称的图象即可得到的图象. （2）将的图象在轴上方部分保持不变，下半部分作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （3）将的图象在轴右边部分保持不变，并将其作关于轴对称的图形，即可得到的图象. （三） 正弦函数、余弦函数图象的应用 1、三角函数式化简的常用方法 (1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数． (2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数． (3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝tan. (4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简． 2、三角函数式的化简注意: (1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数; (2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数; (3)注意“1”的变形应用. 题型3：利用图象解三角不等式 3-1．（2024高一下·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的图象与性质可得的解集． 【详解】解： 函数图象如下所示：    ， 不等式的解集为：． 故选：． 3-2．（2024高一·全国·课堂例题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】可先求出，的解集，在将代替解出，则不等式的解集可求. 【详解】画出时，的图象．    令，，解得或 又的周期为，所以的解集为． 用代替解出．可得 则的解集为. 故答案为：. 3-3．（2024高一下·陕西西安·阶段练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出在上的图象，运用数形结合的思想方法即可求解 【详解】 如图所示，不等式，的解集为 故选：A 3-4．（2024高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【详解】    画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 3-5．（2024高一·全国·课后作业）在(0，2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦函数在各象限的符号并结合正弦、余弦函数图像即可求解. 【详解】因为sinx>|cosx|且x∈(0，2π)， 所以sinx>0， 所以x∈(0，π)， 在同一平面直角坐标系中画出y=sinx，x∈(0，π)与y=|cosx|，x∈(0，π)的图象， 观察图象易得x∈． 故选：A. 题型4：利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 4-1．（2024高一下·全国·单元测试）方程的解的个数是 ． 【答案】7 【分析】根据题意可知，在同一坐标系下分别画出和的图象，找出两函数图象交点个数即可. 【详解】由正弦函数值域可得， 又因为当时，； 所以，分别画出和在上的图象如下图所示：      根据图像并根据其对称性可知，在上两函数图象共有7个交点； 由函数与方程可知，方程有7个解. 故答案为：7 4-2．（2024高一下·新疆塔城·阶段练习）函数的零点个数为 ． 【答案】7 【分析】数形结合，求函数的零点个数转化为求函数与的交点个数. 【详解】依题意求函数的零点个数，可以转化为求函数与的交点个数， ， 如图，对于函数，当时，；当时，；当时，；当时，； 所以在轴非负半轴上两个函数图像有4个交点， 当时，；当时，；所以在轴负半轴上两个函数图像有3个交点，    综上，函数的零点个数为7. 故答案为：7. 4-3．（2024高一上·河南新乡·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再按余弦函数零点分布情况分类求解作答. 【详解】由且，得， 若在上无零点，则在上恰有2个零点，则，无解； 若在上恰有1个零点，则在上恰有1个零点，则，解得； 若在上恰有2个零点，则在上无零点，则，无解， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：涉及求正(余)型函数在指定区间上的零点问题，根据给定的自变量取值区间求出相位的范围，再利用正(余)函数值为0列式求解即得. 4-4．（2024高一下·全国·课后作业）函数的零点个数为 . 【答案】3 【分析】在同一坐标系中画出函数的图像，则函数零点个数为两函数图象交点个数 【详解】由，则函数零点个数为 图象交点个数，在同一坐标系中画出两函数图象如下，则交点有3个，即有3个零点. 故答案为：3 4-5．（2024高一下·四川广安·阶段练习）已知关于x的方程在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题化为与在上有两个交点，数形结合即可求参数范围. 【详解】由题设在上有两个不同的实数根， 又，故在的图象如下， 只需与在给定区间内有两个交点即可， 如图，，则. 故答案为： 一、单选题 1．（2024高一·全国·课后作业）函数的简图是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【解析】由cos（﹣x）＝cosx及余弦函数的图象即可得解． 【详解】由知，其图象和的图象相同， 故选B． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，属于基础题． 2．（2024高一下·上海·课后作业）函数与图像交点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】作出直线与函数在上的图象，观察图形即可得解. 【详解】作出函数在上的图象，并作出直线，如图：    观察图形知：函数在上的图象与直线有两个公共点， 所以函数与图像交点的个数为2. 故选：C 3．（2024高一下·全国·课后作业）从函数的图象来看，当时，对于的x有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】画出和的图象，看它们有几个交点即可. 【详解】先画出，的图象，即A与D之间的部分， 再画出的图象，如下图： 由图象可知它们有2个交点B、C， 所以当时，的x的值有2个. 故选：C 4．（2024高一·全国·专题练习）三角函数在区间上的图像为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合三角函数的奇偶性，以及函数的最值点，即可求解. 【详解】解：∵为奇函数， ∴的图像关于原点对称，故排除A、D选项， 三角函数在区间上的最大值为，故排除B选项. 故选：C. 5．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据五点作图法结合余弦函数的图象即可得解. 【详解】由“五点法”作图知：令，，，，， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：B. 6．（2024高三·全国·专题练习）函数 的图象中与y 轴最近的最高点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】五点法作图，根据图象分析即可. 【详解】用五点法画出函数的部分图象如图所示，由图易知与y 轴最近的最高点的坐标为.    故选：B 7．（2024高一下·辽宁·阶段练习）华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数的部分图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据图象的区别，取验证即可排除错误选项. 【详解】因为，所以ACD错误. 故选：B 8．（2024高一上·安徽合肥·期末）函数，的图象在区间的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】作出正、余弦函数图象，利用图象直接判断两者交点个数. 【详解】分别作出，在区间上的图象，如图所示，    由图象可知：，的图象在区间的交点个数为3. 故选：A. 9．（2024·全国·模拟预测）若()在上有且只有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，，得，结合正弦函数性质，确定的位置范围即可求出ω的范围﹒ 【详解】∵，，∴， 函数在区间上有且只有两个零点， 则﹒解得. 故选：A 10．（2024高一下·江苏扬州·期中）设函数的定义域为R，，，当时，，则函数在区间上零点的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】分析函数的性质，结合幂函数的图象，作出在上的图象，再作出在上的图象，求出两图象的交点个数作答. 【详解】由，得的图象关于y轴对称，由，得的图象关于直线对称， 令，得，函数是周期为1的偶函数，当时，， 在同一坐标系内作出函数在上的图象，函数在上的图象，如图，    观察图象知，函数与的图象在上的交点有7个， 所以函数在区间上零点的个数为7. 故选：D 二、多选题 11．（2024高一下·江西抚州·期中）函数，的图像与直线（t为常数，）的交点可能有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】ABC 【分析】作出函数图像，通过观察判断结果. 【详解】作出，的图像观察可知，    当或时，的图像与直线的交点个数为0； 当或或时，的图像与直线的交点个数为l； 当或时，的图像与直线的交点个数为2. 故选：ABC. 12．（2024高一上·全国·课后作业）（多选）函数与有一个交点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BD 【分析】根据函数图象的交点个数，即可结合图象求解. 【详解】画出的图象. 如图：直线和与的图象只有一个交点，    故或. 故选：BD. 三、填空题 13．（2024高三上·湖南株洲·开学考试）若函数在上有且仅有3个零点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先令，得，再结合题意得到，解不等式即可. 【详解】令，得， 由得， 依题意，在上有且仅有3个零点，则， 解得， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．（2024高二上·河北衡水·阶段练习）已知函数，令在区间上恰有2个零点，则 ， . 【答案】 / /0.75 【分析】转化为在上恰有2个零点，当时，，画出在时的解析式，得到，求出，所以. 【详解】由题意得在上恰有2个零点， 即在上恰有2个零点， 当时，， 画出在时的函数图象，    关于对称，故， 即，解得， 且，， 因为，所以 故答案为：， 15．（2024高一下·上海青浦·阶段练习）已知函数，若存在实数满足互不相等，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出分段函数的图象，利用和对称性，分类讨论求解. 【详解】函数的图象如下图所示： 存在实数满足互不相等，不妨设，则由图可知关于对称，所以； 当时，，，则，此时； 当时，因为解得或，故而，，且由图可得，即，可得， 所以 设，则，在上单调递减，所以，所以，综上所述； 故答案为：. 16．（2024高一下·湖北武汉·期中）已知函数），若方程在 上恰有5个实数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可得，运用换元法令，将问题转化为在上恰有5条对称轴，画图象运用数形结合列式即可求得结果. 【详解】当时，， 因为函数在区间上恰好有5个x，使得， 故在上恰有5条对称轴．令， 则在上恰有5条对称轴，如图： 所以，解得． 故答案为：. 17．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数，则在上的零点个数为 ． 【答案】2 【分析】根据题意分析可得原题意等价于求与在上的交点个数，结合余弦函数分析运算. 【详解】令，可得， 原题意等价于求与在上的交点个数， ∵，则， 且， 有余弦函数可知与在上有2个交点 所以与在上有2个交点. 故答案为：2. 18．（2024高一下·贵州遵义·期中）已知函数在区间上有且仅有10个零点，则ω的取值范围是 . 【答案】 【分析】将看成一个整体，找出其范围，再根据余弦函数的性质列出不等式求解. 【详解】由，则， 因为函数在区间上有且仅有10个零点， 所以由余弦函数的性质可知：解得， 故答案为：. 四、解答题 19．（2024高三·全国·专题练习）作出函数的图象 【答案】见解析 【分析】去绝对值后，结合函数的图象，即可画出函数的图象. 【详解】，， 作出函数图象后，将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，即为函数的图象，如图    20．（2024高一·全国·课后作业）用五点法作出函数的大致图象． 【答案】图象见解析 【分析】根据“五点法”列表、描点、连线即可得到函数图象. 【详解】解：因为， 列表： 描点、连线，函数图象如下图所示： 21．（2024高一下·上海·课后作业）已知函数 （1）作出该函数的图象； （2）若，求的值； （3）若，讨论方程的解的个数． 【答案】（1）图见解析；（2）或或；（3）当或时，解的个数为0；当或时，解的个数为1；当时，解的个数为3． 【分析】（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论的范围根据解析式即可求解； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数，结合图象即可得出. 【详解】（1）的函数图象如下： （2）当时，，解得， 当时，，解得或， 综上，或或； （3）方程的解的个数等价于与的图象的交点个数， 则由（1）中函数图象可得， 当或时，解的个数为0； 当或时，解的个数为1； 当时，解的个数为3． 22．（2024高一上·全国·课前预习）作函数的图象. 【答案】图象见解析. 【分析】根据诱导公式化简可得函数解析式，根据余弦函数图象性质，可画出函数图象. 【详解】 故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图 23．（2024高三·全国·专题练习）函数，用五点作图法画出函数在上的图象；（先列表，再画图） 【答案】答案见解析 【分析】先写出分段函数，列出表格，从而画出函数图象. 【详解】， 按五个关键点列表： 0 0 1 0 0 0 3 0 1 0 描点并将它们用光滑的曲线连接起来如下图所示： 24．（2024高一·全国·课后作业）用五点法分别画下列函数在上的图象: (1); (2). 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可. 【详解】解: x 0 0 1 0 -1 0 3 2 1 2 3    【点睛】本题主要考查了五点作图法的运用,属于基础题. 25．（2024高一下·北京·阶段练习）用五点法画出函数一个周期的图象. 【答案】答案见解析 【分析】分别令的取值分别为、、、、，计算出对应的和值，经过列表、描点、连线可得出函数一个周期的图象. 【详解】令，则. 列表： 函数在一个周期内的图象如下图所示： 26．（2024高三·全国·专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.    【答案】答案见解析 【分析】根据函数解析式按照“五点法”的步骤，列表、描点、连线即可作出的图象. 【详解】列表： 0 1 2 0 0 1 描点，连线，画出在上的大致图像如图： 27．（2024高三·福建厦门·阶段练习）函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】将函数写为分段函数的形式，作出其图象，根据图象即可得实数的取值范围. 【详解】， 其图象如图所示．    若使的图象与直线有且仅有两个不同的交点， 根据图象，可得实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了正弦型三角函数的图象，将函数写为分段函数的形式是解题的关键，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$