精品解析：辽宁省实验中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试卷

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辽宁省实验中学2025—2026学年度上学期10月份月考考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知全集是，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】借助补集与交集定义计算即可得. 【详解】，则. 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到集合间的关系后再利用交集定义即可得. 【详解】由，则，故. 故选：C. 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用必要不充分条件的判断方法得，即可求解. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 则，所以，解得， 当时，，满足题意， 当时，，满足题意，所以， 故选：A. 4. 已知方程的两个实根为，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用根与系数间的关系得到，再结合，即可求解. 【详解】因为方程的两个实根为， 则，， 所以， 整理得到，解得或， 又由，得到，所以， 故选：B. 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”妙用求出最小值. 【详解】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 6. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知，，对实数的取值范围进行分类讨论，求出集合，根据集合的包含关系验证可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则，且集合或，. 当时，则，合乎题意； 当时，则， 因为，则，解得； 当时，， 因为，则，解得，此时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 7. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】将原不等式因式分解后可得，计算即可得. 【详解】化简可得， 由该不等式有且只有两个整数解，可得两个整数解必为1和2， 则有 ，解得. 故选：A. 8. 高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用题设定义，分，，，和五种情况讨论，即可求解. 【详解】若，则，即，又，此时不等式无解， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，所以， 若时，则，由，得到， 解得，此时， 当时，，又，而，由，得到， 所以时，不等式无解， 综上所述，或， 故选：D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若实数满足，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A和C，结合选项条件，利用作差法，即可求解；对于B，利用作差法得，再利用不等式的性质，即可求解；对于D，利用不等式的性质，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，又，则，， 又，所以，即，所以A错误， 对于选项B，因为恒成立，则， 又，则，所以B正确， 对于选项C，因为， 又，则，所以， 即，所以C正确， 对于选项D，由，得到，又由知， 所以，即，所以D正确， 故选：BCD. 10. 已知实数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A和B，根据条件，利用不等式的性质，即可求解；对C，利用，再结合条件，即可求解；对D，利用，再结合条件，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，，两式相加得， 得到，所以A正确， 对于选项B，因为，则，又， 两式相加得，即，所以B正确， 对于选项C，因为，又，， 所以，，则，故C错误， 对于选项D，因为，又，， 所以，，则，所以D正确， 故选：ABD. 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为1 【答案】AC 【解析】 【分析】借助消元法结合基本不等式计算可得A；因式分解后结合基本不等式计算可得B、C；举反例可得D. 【详解】由，则； 对A：由，则， 则 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为，故A正确； 对B：， 当且仅当，即，时，等号成立， 故的最小值为，故B错误； 对C：由，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 但为正实数，不能取等，故，故C正确； 对D：由，取，则， 此时，故D错误. 故选：AC. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 命题：，的否定为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】根据条件，利用全称量词命题否定的求法，即可求解. 【详解】命题，的否定为，， 故答案为：，. 13. 若关于的不等式的解集为，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法，结合条件得，进而可得，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 则方程的两根为，所以， 解得，所以， 故答案为：. 14. 已知，，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到，进而可得，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】由，得到，又，所以，则， 所以， 又，则，所以， 当且仅当，即时取等号， 故答案为：. 四、解答题（本大题共5个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围． （2）若命题是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，由条件得，再利用集合间的关系，即可求解； （2）根据条件得，从而得，即可求解. 【小问1详解】 由，得到，等价于，解得， 所以，又命题是真命题，则， 又，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，又命题是真命题， 则，又， 所以，解得. 16. （1）求解方程组的解集． （2）求解方程组的解集． （3）求解方程组的解集． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）两式相加，即可得，进而求出，即可求解； （2）将，代入，即可求解； （3）两式相除得，进而得或，再代入，即可求解. 【详解】（1）两式相加得，解得，代入，得到， 所以的解集为. （2）由得到，代入，得到， 解得或， 当时，，当时，， 所以方程组的解集为. （3）因为①，②， 易知，由①②得到， 整理得到，所以或， 当时，代入中得到，所以， 当时，代入中得到，所以， 所以方程组的解集为. 17. （1）已知，使得恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于不等式． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）分与讨论即可得； （2）分、、，结合根判别式分类讨论即可得. 【详解】（1）当时，有恒成立，符合； 当时，则有，解得； 综上所述：； （2）①当时，有恒成立，则解集为； ②当时，，则有两根， 分别为，，且， 则解集为； ③当时， （i）若，即时，有， 则解集为； （ii）若，即时，此时， 则解集为； （iii）若，即时，恒成立， 则解集为； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. （1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立的充要条件是． 【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析，且同号；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接利用分析法证明的方法，即可求解； （2）利用基本不等式，可得，即可求解； （3）利用充要条件的证明方法，即可求解. 【详解】（1），分析法证明如下， 要证明，即，即证明， 又，则，即证明， 即，也即，即证明，显然成立. （2）因为为正数， 则， 当且仅当，即且同号时取等号， 又为正数，则，当且仅当且同号时取等号. （3）先证明充分性，因为，则，所以， 即， 必要性，因为，则，又， 所以，即，故成立的充要条件是. 19. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）R （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）根据不等式的解，利用两根式及多项式相等得到，进而求解不等式即可； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【小问1详解】 因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． 【小问2详解】 因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. 【小问3详解】 令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省实验中学2025—2026学年度上学期10月份月考考试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）. 1. 已知全集是，集合，或，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知方程的两个实根为，若，则（ ） A. 4 B. C. 或 D. 1 5. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. 6 D. 6. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C D. 8. 高斯，著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称，函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3个小题，每题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分或3分或4分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的为（ ） A. 若，，则 B. 若实数满足，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知实数满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 的取值范围为 11. 已知正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为2 B. 的最小值为 C. D. 的最大值为1 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 命题：，的否定为_____． 13. 若关于的不等式的解集为，则_____． 14. 已知，，则的最小值为_____． 四、解答题（本大题共5个小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，． （1）若命题是真命题，求实数的取值范围． （2）若命题是真命题，求实数的取值范围． 16. （1）求解方程组的解集． （2）求解方程组的解集． （3）求解方程组的解集． 17. （1）已知，使得恒成立，求实数的取值范围． （2）解关于不等式． 18 （1）已知，，，试比较与大小，并用分析法证明． （2）已知正数，求证权方和不等式：，并说明取等条件． （3）已知，求证：成立充要条件是． 19. 已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $