精品解析：江苏省南京市第二十九中学2025-2026学年高一上学期10月学情调研测试数学试题

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29中2025级高一10月学情调研测试 数学试卷 一.选择题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知关于的方程有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（ ） A. 17 B. -1 C. 17或-1 D. -17或1 7. 已知集合，，若A，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 二.多选题 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 集合是有限集 B. 若，则（为全集） C. 集合，，若，则 D. 若，则 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三.填空题 12. 已知集合，则中元素的个数为_____. 13. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______. 14. 已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______. 四.解答题 15. （1）求值：； （2）已知，求和的值. 16. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 17. 设集合，. （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值范围. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 20. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 29中2025级高一10月学情调研测试 数学试卷 一.选择题 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合，再利用集合的交集运算即可得到结论． 【详解】， ，， 故选：． 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，考查了一元二次不等式的解法，比较基础． 2. 设命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对特称命题的否定为全称命题即可求解. 【详解】由于:存在一个自然数使得， 其否定符号为. 故选：A. 3. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，利用作差法，逐一验证A、B、D，对于C，利用特殊值法，可得答案. 【详解】对于A，，由，则，，即，故A错误； 对于B，，由，则，，即，故B错误； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，，由，则，显然，即，故D正确. 故选：D. 4. 已知正实数满足.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“的代换”的方法，结合基本不等式，求得的最小值. 【详解】由，得， 因为为正实数， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题. 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先解含绝对值的不等式求得参数，再解高次不等式即可. 【详解】由|x－3|＜4，得－1＜x＜7， ∵不等式|x－3|＜4的解集为{x|a＜x＜b}， ∴a＝－1，b＝7， ∴由， 得， ∴， 则或， ∴不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值不等式和高次不等式的解法，属于中档题. 6. 已知关于的方程有两个不等实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，则实数m的值是（ ） A. 17 B. -1 C. 17或-1 D. -17或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出方程的两个实根分别为，结合方程有两实根条件，利用韦达定理把问题转化为含参数的方程来解即可. 【详解】设方程有两个不等实数根分别为， 有，这两个实数根的平方和比两个根的积大21， 则有，即， 解得或， 方程有两个不等实数根，， 得，所以. 故选：B 7. 已知集合，，若A，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由区间的概念，列出不等式，同时由集合间的包含关系，列出不等式，求解即可. 【详解】由题意，解得， 由A可得：则，其中等号不能同时成立， 解得， 综上可知，的取值范围是. 故选：D 8. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【详解】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 二.多选题 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 集合是有限集 B. 若，则（为全集） C. 集合，，若，则 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据集合的定义、运算以及包含关系，结合常见数集，可得答案. 【详解】对于选项A，为有限集，故选项A正确； 对于选项B，若，则正确，故选项B正确； 对于选项C，，若，则当为空集时，符合题意；当不为空集时，此时，且或，解得或，所以，故选项C错误； 对于选项D，根据有理数的定义，若，则正确，故选项D正确； 故选：ABD. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 设，则“”是“且”的充分不必要条件 C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：“由得不到，由， 所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B：由 ，取，得不到且 ， 由且 ， 所以“”是“且”的必要不充分条件，故B错误； 对于C：“” 由韦达定理可知：一元二次方程有一正一负根， 所以”是“一元二次方程有一正一负根的充要条件，故C正确； 对于D：由得且， 故是“”的必要不充分条件，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为1 B. 的最大值为 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件，对于AC由基本不等式即可判断，对于B，由 结合基本不等式可判断，通过乘“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，所以的最大值为1，故A错误； 对于B：， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，故B正确； 对于C：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为2，故C正确； 对于D：， 当且仅当时取等号，所以的最小值为，故D正确； 故选：BCD. 三.填空题 12. 已知集合，则中元素的个数为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数全部列举出来，即 ，共有9个. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型. 13. 若函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合已知条件，利用二次函数图像性质即可求解. 【详解】由可知对称轴为：， 因为函数的两个零点都在区间内， 所以， 故实数的取值范围为. 14. 已知x，y∈R，且满足4x+y+2xy+1=0，则x2+y2+x+4y的最小值是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 将已知整理为，令2，得，即可将所求最值的关于xy的表达式转化为mn的表达式，整理后由均值不等式可求得最小值. 【详解】因为4x+y+2xy+1=0，则4x+y+2xy+2=1，即 令2，所以 所以x2+y2+x+4y 由均值不等式，当且仅当取等号 所以x2+y2+x+4y的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查利用均值不等式求最值，属于难题. 四.解答题 15. （1）求值：； （2）已知，求和的值. 【答案】（1）18；（2）；18 【解析】 【分析】（1）由指数的运算性质即可求解； （2）通过和即可求解. 【详解】（1）； （2）因为， 所以， 所以， 因为，即， 所以. 16. 已知集合，. （1）当时，求，； （2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出，再根据集合的并集，交集的运算求解即可． （2）根据题意可得，再求得，列出方程组求出的取值范围即可得答案． 【小问1详解】 解：当时，，， ，． 【小问2详解】 解：是成立的充分不必要条件， ， ，，， 则，， 经检验知，当时，，不合题意， 实数的取值范围． 17. 设集合，. （1）当时，求集合； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)通过解分式不等式即可求解集合；(2)首先通过绝对值不等式解集合，然后由已知条件可知，结合集合之间的关系，对集合是否为空集以及参数进行分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， ①当时，，，满足题意； ②当时， (i)当时，即时，， 故，即； (ii)当时，即时，， 只需，即. 综上所述，的取值范围为：. 18. 某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. （1）求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； （2）求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】（1）， （2）当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【解析】 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，， 因为时，，所以， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和最小，为. 19. 已知函数． （1）若不等式的解集为R，求m的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. （3）. 【解析】 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【小问1详解】 根据题意，当，即时，，不合题意；  当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． 【小问2详解】 ，即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. 【小问3详解】 ，即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 20. 已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”. （1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)； （2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； （3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】（1） （2） 法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，， 故可设，，两边同时除以得，，因为， 所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立， 元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则，可以看成一元二次方程的两正根，则， 解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2； （3）存在1个，，理由如下： 设正整数集为“三元和谐集”，则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有，满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 【解析】 【分析】(1)令得到答案； (2)法一：利用反证法进行证明；法二：构造一元二次方程利用判别式法证明； (3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案. 【小问1详解】 不妨令，此时，满足要求； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $